2022北京通州高二（上）期末数学（教师版）

2022北京通州高二（上）期末

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一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．（4分）椭圆上一点到一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离是　　

A．47 B．7 C．5 D．2

2．（4分）已知双曲线，则双曲线的离心率为　　

A． B． C． D．

3．（4分）已知双曲线，则双曲线的渐近线方程为　　

A． B． C． D．

4．（4分）设，，则与的等比中项为　　

A．4 B． C． D．

5．（4分）等差数列的公差，且，，则数列的通项公式是　　

A． B． 

C． D．

6．（4分）设数列的前项和为，且，则　　

A．32 B．31 C．16 D．15

7．（4分）设抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，点坐标为，则的最小值为　　

A． B．3 C．16 D．15

8．（4分）已知数列的通项公式为，则“”是“数列为单调递增数列”的　　

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

9．（4分）如图是抛物线拱形桥，当水面在时，拱顶离水面，水面宽，若水面上升，则水面宽是　　（结果精确到

（参考数值：．

A． B． C． D．

10．（4分）已知数列满足：，，则　　

A．4 B．3 C．2 D．1

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

11．（5分）已知等比数列，，，则公比　　．

12．（5分）若曲线是焦点在轴上的双曲线，则的一个取值为 　　．

13．（5分）设数列为等差数列，若，则　　．

14．（5分）设数列满足，则　　，　　．

15．（5分）设为坐标原点，点是上一个动点，为与线段的交点，经点作轴的垂线，经点作直线垂线，为垂足．则点的轨迹方程为 　　．

16．（5分）已知曲线．关于曲线有四个结论：

①直线是曲线的一条对称轴．

②曲线是中心对称图形．

③设曲线所围成的区域面积，则．

④曲线上的点到原点距离的最小值是．

则其中所有正确的结论序号是 　　．

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

17．（12分）已知等差数列的前项和为，且，．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列的前项和．

18．（13分）在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合．

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）求抛物线的方程；

（Ⅲ）设是抛物线上一点，且，求点的坐标．

19．（13分）设等差数列的前项和为，为各项均为正数的等比数列，且，，再从条件①：；②：；③：这三个条件中选择一个作为已知，

解答下列问题：

（Ⅰ）求和的通项公式；

（Ⅱ）设，数列的前项和为，求证：．

20．（13分）已知直线与双曲线交于，两点，为坐标原点．

（Ⅰ）当时，求线段的长；

（Ⅱ）若以为直径的圆经过坐标原点，求的值．

21．（14分）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，直线与交于，两点．

（Ⅰ）求椭圆的方程及焦点坐标；

（Ⅱ）若线段的垂直平分线经过点，求的取值范围．

22．（15分）设数列的前项和为，，且．

（Ⅰ）若．

（ⅰ）求；

（ⅱ）求证数列成等差数列．

（Ⅱ）若数列为递增数列，且，试求满足条件的所有正整数的值．

参考答案

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．【分析】先根据条件求出；再根据椭圆定义得到关于所求距离的等式即可得到结论．

【解答】解：设所求距离为，由题得：．

根据椭圆的定义椭圆上任意一点到两个焦点距离的和等于得：．

故选：．

【点评】本题主要考查椭圆的定义．在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是解题的突破口．

2．【分析】利用双曲线方程，求解，，求解离心率．

【解答】解：双曲线，，，则，

可得．

故选：．

【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，是基础题．

3．【分析】利用双曲线方程，求解渐近线方程即可．

【解答】解：双曲线，则双曲线的渐近线方程为．

故选：．

【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，渐近线方程的求法，是基础题．

4．【分析】根据等比中项的性质即可求出．

【解答】解：，，则与的等比中项为．

故选：．

【点评】本题考查了等比中项的性质，属于基础题．

5．【分析】由题意列式求出公差，然后代入等差数列的通项公式求解．

【解答】解：由，，且，解得，．

所以．

则．

故选：．

【点评】本题考查了等差数列的通项公式，如果给出了等差数列公差和第项，则，是基础题．

6．【分析】数列的前项和为，且，利用公式直接求解．

【解答】解：数列的前项和为，且，

．

故选：．

【点评】本题考查数列的第5项的求法，考查公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

7．【分析】设点在准线上的射影为，则根据抛物线的定义可知，进而把问题转化为求取得最小，进而可推断出当，，三点共线时最小，即可求解．

【解答】解：设点在准线上的射影为，则根据抛物线的定义可知，

要求取得最小值，即求取得最小，

当，，三点共线时最小，为．

故选：．

【点评】本题考查抛物线的定义、性质的应用，考查了数形结合思想，属于中档题．

8．【分析】根据题意，假设数列为单调递增数列，求出的取值范围，由此结合充分必要条件的定义，分析可得答案．

【解答】解：根据题意，已知数列的通项公式为，

若数列为单调递增数列，则有，且

变形可得，又由且，则，

故当时，数列为单调递增数列，反之不一定成立，

故“”是“数列为单调递增数列”充分而不必要条件，

故选：．

【点评】本题考查数列的函数特性，涉及充分必要条件的判断，属于基础题．

9．【分析】先建立直角坐标系，将点代入抛物线方程求得，得到抛物线方程，再把代入抛物线方程求得，即可得到答案．

【解答】解：如图建立直角坐标系，

设抛物线方程为，

将代入，

得，

可得抛物线的方程为，

代入，，得

故水面宽度为．

故选：．

【点评】本题主要考查抛物线的应用．考查了学生利用抛物线解决实际问题的能力，属于基础题．

10．【分析】由，，利用递推思想，求出数列的前11项，推导出数列从第6项起是周期为3的周期数列，由此能求出．

【解答】解：数列满足：，，

，，，

，，，，

，，，

数列从第6项起是周期为3的周期数列，

，

．

故选：．

【点评】本题考查数列的第2022项的求法，考查递推公式、递推思想，周期数列等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

11．【分析】由已知结合等比数列的通项公式即可求解．

【解答】解：等比数列，，，

则，

即，

解得．

故答案为：4．

【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式的简单应用，属于基础试题．

12．【分析】将双曲线的方程化为标准方程，由题意可得且，解不等式即可得到所求范围．

【解答】解：曲线是焦点在轴上的双曲线，

可得，即有，且，

解得．故可取1．

故答案为：1（答案不唯一）．

【点评】本题考查双曲线的方程和性质，注意化为标准方程，考查运算能力，属于基础题．

13．【分析】由已知直接利用等差中项的概念得答案．

【解答】解：数列为等差数列，且，

，得．

故答案为：3．

【点评】本题考查等差数列的性质，考查等差中项的概念，是基础题．

14．【分析】当时，，当时，，作差得：，由此能求出．

【解答】解：数列满足，①

当时，，

当时，，②

①②，得：，，

，，

当时，成立，故．

故答案为：1，．

【点评】本题考查数列的首项和第项的求法，考查数列的递推公式、递推思想等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

15．【分析】设，，，根据条件求得，进而利用，在圆上，可得到的轨迹方程．

【解答】解：设，，，

过点作轴的垂线，设交轴于，则，，

因为点是上一个动点，为与线段的交点，

显然为的中点，

所以，，

因为轴，

所以为中点，

故，即，

因为，在圆上，

所以，

即，

整理得，

所以点的轨迹方程为，

故答案为：．

【点评】本题考查了动点轨迹方程的求解，属于基础题．

16．【分析】①设是曲线上的点，则此点关于对称点为，将代入验证是否一定等于1；

②代入验证和原表达式是否一致，即可判断；

作出图象验证③④．

【解答】解：①设是曲线上的点，则此点关于对称点为，

因为，

代入点则有，只有时，才可能值为1，故不正确；

②代入得，故曲线关于中心对称；

当则，曲线的方程可化为，两边平方化简得：，

同理当时，曲线的方程化简为：，

作出图象，如图所示：

③所围成的区域面积大于四个直角三角形的面积之和，小于矩形面积，

故，所以正确；

④由图象可得上的点到原点的距离最小值为，故错误．

故答案为：②③．

【点评】本题考查了推理能力、作图能力、数形结合思想，属于中档题．

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

17．【分析】（1）设等差数列公差为，首项为，根据条件列出方程组求解，，代入通项公式可得结果；

（Ⅱ）采用分组求和法求和即可．

【解答】解：（Ⅰ）设等差数列公差为，首项为，

则有，解得，

所以，

即数列的通项公式；

（Ⅱ），

所以．

【点评】本题考查了等差数列通项公式，分组求和的知识，属于基础题．

18．【分析】（Ⅰ）由椭圆的方程可得，的值，进而求出值，求出椭圆的离心率；

（Ⅱ）由（1）可得焦点的坐标，进而求出的值级抛物线的方程；

（Ⅲ）设的坐标，由抛物线的性质可得的值，由题意求出的坐标．

【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的方程可得，，可得，

所以，，

可得椭圆的离心率；

（Ⅱ）由（1）可得椭圆的右焦点为，由题意可得，

即，所以，

所以抛物线的方程为：；

（Ⅲ）由（2）可知抛物线的准线方程为，

设，由抛物线的性质可得，而，

所以，可得，代入抛物线的方程可得，可得，

所以的坐标为．

【点评】本题考查椭圆的性质的应用及抛物线的性质的应用，属于中档题．

19．【分析】（Ⅰ）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，，由等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，解方程可得公差和公比，进而得到所求；

（Ⅱ）求得，再由数列的裂项相消求和及不等式的性质可得证明．

【解答】解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，，

选①：，又，，可得，，

解得，，

则；；

选②：，又，，可得，，

解得，，

则；；

选③：，又，，可得，，

解得，，

则；；

（Ⅱ）证明：，

则．

【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式、求和公式的运用，以及数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．

20．【分析】由，消去得，，，由弦长公式可得线段的长；

联立直线和双曲线的方程，化为关于的一元二次方程后利用根与系数关系求出，两点的横纵坐标的积，由以为直径的圆经过坐标原点得到，代入后即可求得的值，最后验证是否符合判别式大于0．

【解答】解：当时，由，消去得．

设，，，．

，，

所心；

联立，消去得，．

直线与双曲线相交于、两点，

，即．

由△，得．

，且．

设，，，．

则，．

所以

．

因为以为直径的圆经过坐标原点，

所以．

即，解得．

满足，

所以的值是．

【点评】本题考查了直线与双曲线的关系，考查了弦长公式，是中档题．

21．【分析】（Ⅰ）根据题意可得，解得，，，即可得出答案．

（Ⅱ）设，，，，线段的中点，，则，作差可得①，又线段的垂直平分线过点，则②，联立直线与椭圆的方程可得，由△，得，结合韦达定理可得③，由①②③化简即可得出答案．

【解答】解：（Ⅰ）根据题意可得，

解得，，，

所以椭圆的方程为，焦点为，．

（Ⅱ）设，，，，

线段的中点，，

所以，

所以，

所以，

所以，①

因为线段的垂直平分线过点，

所以，即，②

联立，得，

△，

即，

所以，

所以③，

把③代入②，得，④

把③④代入①得，①

所以，

所以，即，

代入得，，

所以，且，

所以的取值范围为，，．

【点评】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．

22．【分析】（Ⅰ）推导出，，，由，利用递推公式依次求出数列的前7项，由此能求出．

（ⅱ）由，，，，猜想是首项，公差的等差数列，从而，再利用数学归纳法证明．

（Ⅱ）设，由，得，，，，由数列为递增数列，得，由此利用已知条件能求出满足条件的所有正整数的值．

【解答】解：（Ⅰ）数列的前项和为，，且，

，

，，，

，，解得，

，解得，

，解得，

，解得，

，解得，

．

（ⅱ）证明：由，，，，

猜想是首项，公差的等差数列，，

用数学归纳法证明：

①当时，，成立；

②假设时，等式成立，即，，

则时，，解得，

综上，，

是首项，公差的等差数列．

（Ⅱ）设，由，

，

得，

，

又，

，，，

，，，

，，，

，

数列为递增数列，

，解得，

由

，

，，

解得．

【点评】本题考查数列的前7项和的求法，考查等差数列的证明，考查等比数列、等差数列、数列的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．