北京市2022-2023学年高三第三次模拟考试数学试卷（含解析）

这是一份北京市2022-2023学年高三第三次模拟考试数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
北京市2022-2023学年高三第三次模拟考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：__________一、单选题1．已知集合，则（    ）A． B． C． D．2．在复平面内，复数对应的点的坐标为（    ）A． B． C． D．3．设为非零实数，且，则（    ）A． B．C．  D．以上三个选项都不对4．已知m，n为两条不同的直线，为两个不同的平面，且，则是的（    ）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件5．装有3个红球、2个白球的袋中任取2个球，则所取的2个球中至少有1个白球的概率是（    ）A． B． C． D．6．下列叙述中正确的是（    ）A．若，，则“”的充要条件是“”.B．函数的最小值是2.C．命题“，”的否定是“，”.D．当时，函数在区间上为增函数.7．在中，“对于任意，”是“为直角三角形”的（    ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件8．已知数列的通项公式为．若数列的前n项和为，则取得最大值时n的值为（    ）A．2 B．3 C．4 D．59．在中，．P为边上的动点，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．10．若函数（其中a，b，）的图像关于点对称，函数是的导数，则下列说法中，正确命题的个数有（    ）①函数是奇函数；②，使得；③是函数图像的对称轴；④一定存在极值点.A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题11．的展开式中常数项是______.（用数字作答）12．设向量，，函数.若函数的定义域为，值域为.给出下列四个结论：①；  ②；  ③；  ④.则的值可能是__________.（填上所有正确的结论的序号）13．函数的定义域为________ 三、双空题14．已知双曲线的一条渐近线为，且为双曲线上的一点，双曲线的离心率为__________；顶点坐标为__________．15．，且，则__________；__________. 四、解答题16．在中，．(1)求A；(2)若，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积．条件①：；条件②：；条件③：．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．17．如图，在三棱柱中，D，E，G分别为的中点，与平面交于点F，，，．(1)求证：F为的中点；(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线FG与平面BCD所成角的正弦值．条件①：平面平面；条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．18．某校为举办甲乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二、为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机袖样，获得数据如下表： 男生女生支持不支持支持不支持方案一人人人人方案二人人人人 假设所有学生对活动方案是否支持相互独立.(1)从该校全体男生及全体女生中各随机抽取人（i）分别估计该校男生支持方案一的概率，该校女生支持方案一的概率；（ii）并依此计算这人中恰有人支持方案一的概率；(2)从该校上述支持方案一的样本中，按性别分层抽样选取人，再从这人中任取人进行访谈，设随机变量表示人中男生的人数，求的分布列；(3)将该校学生支持方案二的概率估计值记为，假设该校一年级有名男生和名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为，试比较与的大小.（结论不要求证明）19．已知椭圆经过点.(1)求椭圆的方程及其离心率；(2)若为椭圆上第一象限的点，直线交轴于点，直线交轴于点，且有，求点的坐标.20．已知函数．(1)若曲线与直线相切，求实数a的值(2)若函数有且只有1个零点，求a的取值范围．21．已知无穷数列满足性质，，记.（1）直接写出，的所有可能值；（2）判断能否取到下面的值：-4，-6，-9，并说明理由；（3）证明：，.
参考答案：1．B【分析】根据公式法解绝对值得即可解决.【详解】由题知，，因为，即，所以，所以.故选：B2．A【分析】根据复数的乘法运算化简后直接写出对应点的坐标即可.【详解】因为，故可得其对应点的坐标为.故选：A.3．C【解析】直接利用不等式的性质，结合特例，利用排除法，即可求解.【详解】设为非零实数，且，所以对于选项A：当时，，故错误.对于选项B：当时，无意义，故错误.对于选项C：由于，所以，故正确.对于选项D：由于C正确，所以选项D错误.故选：C.【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，其中解答中不等式的基本性质，以及合理利用特例，结合排除法求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.4．C【分析】利用两者之间的推出关系可得正确的选项.【详解】若，因为，故，而，故.若，则或相交，故是的必要不充分条件，故选：C.5．C【分析】利用对立事件即可求得概率.【详解】“2个球中至少有1个白球”的对立事件为“2个球中没有白球”，设事件为2个球中至少有1个白球，则.故选：C6．D【分析】依次判断各选项正误即可.【详解】对于A选项，，其中.，故“”不是“”的充要条件，故A错误.对于B选项，当时，得，方程无解.则，无最小值.故B错误.对于C选项，命题“，”的否定是“”，故C错误.对于D选项，，则在上单调递增，又，则，得在区间上为增函数，故D正确.故选：D7．A【分析】设，根据平面向量的运算可得，从而可得；若为直角三角形，不一定有，根据充分条件与必要条件的定义判断即可.【详解】设，则，所以即为，所以是边上的高，即,即,故为直角三角形.若为直角三角形，不一定有，故不一定有.所以“对于任意，”是“为直角三角形”的充分而不必要条件.故选:A.8．C【分析】根据单调性分析出数列的正数项有哪些即可求解.【详解】由条件有，当时，，即；当时，，即.即，所以取得最大值时n的值为.故选：C9．B【分析】以为坐标原点建立合理直角坐标系，求出直线所在直线方程为，设，得到，利用二次函数的性质即可求出其值域.【详解】以为坐标原点，，所在直线分别为轴，轴，建立直角坐标系，则，直线所在直线方程为，设，，则，，，当时，，当时，，故其取值范围为，故选：B.10．C【分析】利用图象平移变换判断①，根据三次函数的性质即三次函数图象与轴交点结论判断②；对求导后的结论判断③；举反例判断④．【详解】函数的图象关于点对称，把它向左平移1个单位，对称点变为，即函数是奇函数，①正确；是三次函数，其图象与轴一定有公共点，因此，使得，②正确；的图象关于对称，则，两边求导得，所以的图象关于直线对称，③正确；例如，满足题意设条件，但，单调递增，无极值．④错误．因此正确的个数是3，故选：C．11．【分析】根据的展开式的通项公式可求出结果.【详解】的展开式的通项为，令，得，所以的展开式中常数项是.故答案为：.12．②③④【分析】由已知可得，由于函数的定义域为，值域为，所以结合正弦函数的性图像和性质可求出的最大值和最小值，从而可得答案【详解】解：，因为函数的定义域为，值域为，所以的最小值为（），最大值为（），所以 ，此时②③④满足；故答案为：②③④13．【分析】根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解得结果.【详解】由题意得，即定义域为.【点睛】本题考查函数定义域，考查基本求解能力.属基础题.14．          【分析】依题意设双曲线方程为，将代入方程，求出，即可求出双曲线方程，从而求出离心率与顶点坐标.【详解】解：因为双曲线的一条渐近线为，所以设双曲线方程为，又为双曲线上的一点，所以，解得，所以双曲线方程为，所以、，即、，所以，则双曲线的离心率，顶点坐标为.故答案为：，.15．          【分析】利用平面向量的线性运算与数量积的坐标表示即可求得，从而利用模的运算公式即可求得.【详解】因为，所以，又因为，，所以，则，所以，则.故答案为：；.16．(1)或；(2)答案见解析. 【分析】（1）由正弦定理边化角可得，即可求出结果；（2）若选①：根据已知可得为钝角，则为锐角，，三角形唯一，根据两角和的正弦公式可求出，根据正弦定理求出的值，根据即可求出面积；若选②：根据正弦定理可求出，为直角，三角形唯一确定，可求出，即可求出；若选③：由，可知或，有两解.【详解】（1）由可得，.因为，所以，又，所以或.（2）若选①：.因为，所以为钝角，为锐角，又，又，所以，即，所以存在且唯一确定.则，由可得..根据正弦定理可得，，所以；若选②：.因为，所以，由正弦定理可得，，因为，所以，所以存在且唯一确定.则，所以，；若选③：.因为，所以，此时或，所以，此时存在但不唯一.17．(1)见解析(2) 【分析】（1）由线面平行的性质定理可证得，即可证明；（2）根据条件建立空间直角坐标系，求出各点坐标，利用方程组解得平面一个法向量，利用直线的方向向量和平面的法向量计算即可.【详解】（1）由三棱柱的性质知，，平面，平面，所以平面，又因为平面，平面平面，所以，因为E为的中点，所以F为的中点.（2）选条件①，因为平面平面，平面平，又因为，E为的中点，所以，所以平面，又因为平面，所以，又因为，，平面，所以平面，如图建立空间直角坐称系.由题意得，.设平面的法向量，,，则，平面BCD的法向量，又,设直线与平面所成的角为,则，所以直线FG与平面BCD所成角的正弦值为.选条件②，因为，，，则，所以，又因为，，平面，所以平面，因为，E为的中点，所以，如图建立空间直角坐称系.由题意得，.设平面的法向量，,，则，平面BCD的法向量，又,设直线与平面所成的角为,则，所以直线FG与平面BCD所成角的正弦值为.18．(1)（i）男生支持方案一的概率为；女生支持方案一的概率为；（ii）(2)分布列见解析(3) 【分析】（1）（i）由频率估计概率即可得到结果；（ii）由独立事件概率乘法公式计算可得结果；（2）按照分层抽样原则可得人中的男女生人数，由此可得所有可能的取值，利用超几何分布概率公式计算可得每个取值对应的概率，由此可得分布列；（3）由表格数据计算可得，并计算出男生和女生支持方案二的概率，由概率计算可得一年级中支持方案二的人数，由此计算可得.(1)（i）由表格数据可得：该校男生支持方案一的概率为；该校女生支持方案一的概率为；（ii）人中恰有人支持方案一的概率为.(2)支持方案一的男女生比例为，抽取的人中，有男生人，女生人，则所有可能的取值为，，，，的分布列为： (3)由表格数据知：该校学生支持方案二的概率估计值；其中男生支持方案二的概率估计值为，女生支持方案二的概率估计值为；一年级学生支持方案二的人数为人，设该校共有学生人，则，.19．(1)，离心率为；(2) 【分析】（1）由题意可得，继而求出，即可得方程和离心率；（2）设，则，又由可得，继而得到，联立即可解得，的值.【详解】（1）依题知：，所以.所以椭圆方程为，离心率.（2）如图：设，第一象限有，①；由得：，又，，因此②，联立①②解得，故.20．(1)；(2)a的取值范围为或. 【分析】（1）根据导数的几何意义及点在切线上和曲线上，结合对数方程即可求解；（2）根据函数的零点的定义，利用导数法求函数的最值，结合函数的单调性进行讨论即可求解.【详解】（1）的定义域为且设的图像与直线相切于，则,所以，所以；（2）的定义域为且，当时，在上恒成立，所以在上单调递增，又，，所以函数在上存在唯一零点，满足要求；当；由及，得，由及，得所以在上单调递减，在上单调递增；所以当时，函数取最小值，最小值为，因为函数有且只有1个零点，所以，所以.综上所述，a的取值范围为或.【点睛】利用导数研究函数的零点，一般先利用导数研究函数的单调性，再结合零点存在性定理确定函数的零点区间或零点个数.21．（1）；的所有可能值为 ；（2）可能取到.理由解析；（3）证明见解析.【分析】(1)由递推关系，将代入，分别求出，可得答案.(2)先分析出为整数，然后将平方得到，再累加可得，从而分析可得答案.(3) 由由，，结合可证明.【详解】（1）由，则，所以由，所以或当时，，则当时，，则或所以,或，或（2）由,则为整数, 可得,,所以 则所以，即则则，当时，当数列为 时满足条件，故可以.当时，,则不为整数，此时不成立.当时，,则不为整数，此时不成立.故可能取到.(3) 由上可得，由，，所以，即.所以，成立.【点睛】关键点睛：本题考查利用数列的递推关系解决数列的相关问题，解答本题的关键是将平方得到，再累加可得，属于中档题.