北京市房山区2022-2023学年高三第二次模拟考试数学试卷（含解析）

这是一份北京市房山区2022-2023学年高三第二次模拟考试数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，集合．则集合（ ）
A．B．
C．D．
2．双曲线的一个焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
3．设，，，则（ ）
A．B．C．D．
4．角以为始边，它的终边与单位圆O相交于第四象限点P，且点P的横坐标为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．若数列满足，则“，，”是“为等比数列”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
6．设集合，，则（ ）．
A．B．C．D．
7．已知圆，直线l过点且倾斜角为，则“直线l与圆C相切”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
8．向量“，不共线”是“| +| < ||+||”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
9．已知等差数列的前项和为，则等于（ ）
A．27B．24C．21D．18
10．下表是某生活超市2021年第四季度各区域营业收入占比和净利润占比统计表：
该生活超市本季度的总营业利润率为（营业利润率是净利润占营业收入的百分比），给出下列四个结论：
①本季度此生活超市营业收入最低的是熟食区；
②本季度此生活超市的营业净利润超过一半来自生鲜区；
③本季度此生活超市营业利润率最高的是日用品区；
④本季度此生活超市生鲜区的营业利润率超过.
其中正确结论的序号是（ ）
A．①③B．②④C．②③D．②③④
二、填空题
11．已知抛物线C：，则抛物线C的准线方程为______．
12．已知复数（是虚数单位），则____
13．已知函数若函数在上不是增函数，则a的一个取值为___________.
14．已知函数，给出下列四个结论：
①函数是奇函数； ②函数在和上都单调；
③当时，函数恒成立； ④当时，函数有一个零点.
其中所有正确结论的序号是____________ .
三、双空题
15．在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点P，直线过定点A，点A的坐标为____，的最大值为___
四、解答题
16．如图，在锐角中，，，，点在边的延长线上，且.
(1)求；
(2)求的周长.
17．如图，在直三棱柱中，，，，交于点E，D为的中点.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
18．北京2022年冬奥会，向全世界传递了挑战自我､积极向上的体育精神，引导了健康､文明､快乐的生活方式.为了激发学生的体育运动兴趣，助力全面健康成长，某中学组织全体学生开展以“筑梦奥运，一起向未来”为主题的体育实践活动.为了解该校学生参与活动的情况，随机抽取100名学生作为样本，统计他们参加体育实践活动时间（单位：分钟），得到下表：
(1)从该校随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，估计该学生参加体育实践活动时间在的概率；
(2)从参加体育实践活动时间在和的学生中各随机抽取1人，其中初中学生的人数记为X，求随机变量X的分布列和数学期望；
(3)假设同组中每个数据用该组区间中点值代替，样本中的100名学生参加体育实践活动时间的平均数记为，初中､高中学生参加体育实践活动时间的平均数分别记为，当m满足什么条件时，.（结论不要求证明）
19．已知函数，
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数在时取得极小值，求的值；
(3)若存在实数，使对任意的，都有，求的取值范围.
20．已知椭圆的离心率为，经过点B（0，1）．设椭圆G的右顶点为A，过原点O的直线l与椭圆G交于P，Q两点（点Q在第一象限），且与线段AB交于点M．
（Ⅰ）求椭圆G的标准方程；
（Ⅱ）是否存在直线l，使得△BOP的面积是△BMQ的面积的3倍？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．
21．已知数集具有性质P：对任意的，使得成立.
(1)分别判断数集与是否具有性质P，并说明理由；
(2)已知，求证：；
(3)若，求数集A中所有元素的和的最小值.
生鲜区
熟食区
乳制品区
日用品区
其它区
营业收入占比
净利润占比
参考答案
1．C
【分析】已知集合、集合，由集合的基本运算，直接求解.
【详解】集合，集合，则集合.
故选：C
2．C
【解析】利用双曲线方程求出，然后求解焦点坐标即可.
【详解】由双曲线得，
，
故选：C.
3．A
【分析】利用幂函数，指数函数以及对数函数的单调性以及中间值法即可比较大小.
【详解】因为，，，
所以．
故选：A
4．A
【分析】由勾股定理求出，则
【详解】P为第四象限点，故，故.
故选：A
5．A
【分析】利用等比数列的定义通项公式即可判断出结论．
【详解】解：“，，”，取，则，
为等比数列．
反之不成立，为等比数列，设公比为，则，，只有时才能成立满足．
数列满足，则“，，”是“为等比数列”的充分不必要条件．
故选：A．
6．B
【分析】计算，，再计算交集得到答案.
【详解】，，.
故选：B
7．B
【分析】先化简“直线l与圆C相切”得到或者，再利用充分条件必要条件的定义判断得解.
【详解】当直线l没有斜率时，,与圆不相切.
当直线l有斜率时，设直线方程为，
由题得或者.
所以或者.
所以“直线l与圆C相切”成立，则“”不一定成立；“”成立，则“直线l与圆C相切”成立.
所以“直线l与圆C相切”是“”的必要不充分条件.
故选：B
8．A
【分析】利用向量的线性运算的几何表示及充分条件，必要条件的概念即得.
【详解】当向量“，不共线”时，由向量三角形的性质可得“| +|<||+||”成立，即充分性成立，
当“，方向相反”时，满足“| +| < ||+||”，但此时两个向量共线，即必要性不成立，
故向量“，不共线”是“| +| < ||+||”的充分不必要条件.
故选：A.
9．A
【分析】由等差数列性质求得公差，即可得出通项公式及求和公式求值.
【详解】设等差数列的公差为，则，又，可得，∴，
∴.
故选：A
10．D
【分析】根据表中数据以及营业利润率的概念逐项进行分析并判断.
【详解】由题中数据知，其它类营业收入占比，为最低的，故①错；
生鲜区的净利润占比，故②正确；
生鲜区的营业利润率为，故④正确；
熟食区的营业利润率为；
乳制品区的营业利润率为；
其他区的营业利润率为；
日用品区为，最高，故③正确．
故选：D.
11．
【分析】根据抛物线的方程求出的值，进一步得出答案.
【详解】因为抛物线，
所以，∴
所以的准线方程为.
故答案为：
12．
【分析】化简得到，即得到模长.
【详解】由，
∴.
故答案为：.
13．-2(答案不唯一，满足或即可)
【分析】作出y=x和y=的图象，数形结合即可得a的范围，从而得到a的可能取值．
【详解】y=x和y=的图象如图所示：
∴当或时，y=有部分函数值比y=x的函数值小，
故当或时，函数在上不是增函数．
故答案为：-2．
14．③④
【分析】由奇偶性的定义可判断① ；结合导数可判断函数的单调性，进而可判断② ；结合函数的单调性可求当时函数的最小值，比较最小值与0的大小关系即可判断③ ；由，结合函数的零点存在定理可判断④ .
【详解】由题得，的定义域为，
① ，
且，所以不是奇函数，故 ① 错误；
② ，当时，，
则，令，则，
，所以存在，使得，
所以当时，， 是单调减函数；
当时，，是单调增函数，所以② 错误；
③ 由② 可知，当时，在上有最小值，且，
所以，因为，
由，则，即，所以，
所以当时，恒成立，故③ 正确；
④ 当时，，，
令，则令，解得，
当时，，则单调递减；
当时，，则单调递增；
所以当时，
，则，
所以在上单调递减，由，，
所以在内有一个零点，故④ 正确.
故答案为：③④
15． 5
【分析】根据直线方程的点斜式可求出直线过的定点A的坐标；
根据题意得出，从而得到点在以为直径的圆周上，结合图形及等积法可知点位于线段的垂直平分线与圆的交点的时候，的最大值.
【详解】由，得，
所以直线过的定点A的坐标为；
因为，所以点在以为直径的圆周上，且，
设点到直线的距离为，则，
当点位于线段的垂直平分线与圆的交点的时候，的最大值，且最大为.
故答案为：；.
16．(1)；
(2)30.
【分析】（1）在中，利用正弦定理即可求解；
（2）由（1）可求得，在中，利用余弦定理可求，从而可求的周长.
【详解】（1）在中，，，，
由正弦定理可得，故，
因为是锐角三角形，所以 .
（2）由（1）得，所以.
在中，，，，
所以.
所以的周长为.
17．(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）先证明，再根据线面垂直的判定定理即可证明结论；
（2）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，确定平面的法向量，根据空间角的向量求法可得答案.
【详解】（1）在直三棱柱中，平面，
因为平面，
所以 ．因为 ， ，平面,
所以 平面，因为平面，
所以 ．又因为 ，平面，
所以平面.
（2）由（1）知知 两两垂直，
则以点A为原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，
则 ，
设 ,, ，
因为 ，∴ ，
故,
由（1）知平面
故平面的一个法向量为 ，,
设直线与平面所成角为，
则.
18．(1)
(2)分布列答案见解析，数学期望：
(3)
【分析】（1）方法一：根据条件概率公式求解即可；方法二：根据古典概型的方法分析即可；
（2）方法一：根据相互独立事件同时发生的概率公式求解即可；方法二：根据二项分布的公式求解；
（3）补全初中段的人数表格，再分别计算关于的解析式，代入求解的范围即可
（1）
方法一：女生共有人，记事件A为“从所有调查学生中随机抽取1人，女生被抽到”，事件B为“从所有调查学生中随机抽取1人，参加体育活动时间在”
由题意可知，
因此
所以从该校随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，估计该学生参加体育活动时间在的概率为
方法二：女生共有人，记事件M为“从所有调查学生中随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，该学生参加体育活动时间在”
由题意知，从所有调查学生中随机抽取1人，抽到女生所包含的基本事件共45个，抽到女生且参加体育活动时间在所包含的基本事件共9个
所以
所以从该校随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，估计该学生参加体育活动时间在的概率为
（2）
方法一：X的所有可能值为0，1，2，时间在的学生有人，活动时间在的初中学生有人.
记事件C为“从参加体育活动时间在的学生中随机抽取1人，抽到的是初中学生”，事件D为“从参加体育活动时间在的学生中随机抽取1人，抽到的是初中学生”.由题意知，事件C､D相互独立，且
所以
所以X的分布列为：
故X的数学期望
方法二：X的所有可能值为0，1，2，
因为从参加体育活动时间在和的学生中各随机抽取1人是相互独立，且抽到初中学生的概率均为，故
所以
所以X的分布列为：
故X的数学期望
（3）
根据男女生人数先补全初中学生各区间人数：
内初中生的总运动时间，内高中生的总运动时间，
则由题，，又，，，由可得
，当时成立，故的取值范围
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由导数的几何意义，即可求解；
（2）由求得值，并验证此时是极小值点；
（3）求出导函数，，然后根据的正负或0分类，注意由导函数的连续性得出在（存在正实数）上与同号，从而得函数的单调性，得函数值的正负．
【详解】（1），，又，
∴切线方程为；
（2）由（1），函数在处取得极小值，则，即，，
设，则，，由的图象的连续性知在附近是正值，
因此在附近是递增的，又，
所以在附近从左到右，由负变正，在左侧递减，在右侧递增，是极小值，符合题意；
所以．
（3），，
当，即时，由的图象的连续性知必存在，使得对任意，，对应递增，因此，不合题意，
当，即时，由的图象的连续性知必存在，使得对任意，，对应递减，因此，满足题意，
时，，时，，，恒成立，在上递增，，不合题意，
综上，的取值范围是．
20．（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析
【分析】（Ⅰ）根据离心率为的椭圆过点，结合，列出、、 的方程，即可得到椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设，则，经分析可知要使的面积是的3倍，等价于
，由此可表示出点的坐标，由点在线段上与点在椭圆上分别代入直线与椭圆的方程化简可得到关于的一元二次方程，解方程即可知是否存在直线，使得的面积是的面积的3倍．
【详解】（Ⅰ）由题意可知：，解得．
∴椭圆G的标准方程为．
（Ⅱ）设，则，可知．
若使的面积是的面积的3倍，只需使得，
即，即．
由 ，∴直线的方程为．
∵点在线段上，∴，整理得，①
∵点在椭圆上，∴，②把①式代入②式可得，
∵判别式小于零，该方程无解．∴不存在直线，使得的面积是的面积的3倍．
【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查满足条件的直线方程是否存在的判断与求法，考查学生的运算能力，属于中档题．
21．(1)不具有性质P，具有性质P，理由见解析；
(2)证明见解析；
(3)75．
【分析】(1)对于，，故可判断它不具有性质P；对于可逐项验证2、3、6均满足对任意的，使得成立，故可判断它具有性质P；
(2)根据题意可知，从而，故而可得，将这些式子累加即可得，从而可变形为要证的结论；
(3)根据题中已知条件可得该数集，，从而可得该数集元素均为整数，再根据可构造一个满足性质P的数集或，这两个数集元素之和为75，证明75是最小值即可．
【详解】（1）∵，∴不具有性质P；
∵，∴具有性质P；
（2）∵集合具有性质P：
即对任意的，使得成立，
又∵，
∴，∴，
即，
将上述不等式相加得，
∴，由于，
∴，∴；
（3）最小值为75．
首先注意到，根据性质P，得到，
∴易知数集A的元素都是整数．
构造或者，
这两个集合具有性质P，此时元素和为75．
下面，证明75是最小的和：
假设数集，满足(存在性显然，∵满足的数集A只有有限个)．
第一步：首先说明集合中至少有7个元素：
由(2)可知，…
又，∴；
∴；
第二步：证明；
若，设，∵，为了使得最小，在集合A中一定不含有元素，使得，从而；
假设，根据性质P，对，有，使得，
显然，∴，
而此时集合A中至少还有4个不同于的元素，
从而，矛盾，
∴，进而，且；
同理可证：；
(同理可以证明：若，则)．
假设．
∵，根据性质P，有，使得，
显然，∴，
而此时集合A中至少还有3个不同于的元素，
从而，矛盾，
∴，且；
至此，我们得到了，
根据性质P，有，使得，
我们需要考虑如下几种情形：
①，此时集合中至少还需要一个大于等于4的元素，才能得到元素8，
则；
②，此时集合中至少还需要一个大于4的元素，才能得到元素7，则；
③，此时集合的和最小，为75；
④，此时集合的和最小，为75．
【点睛】本题第二问考察对题设条件的理解，根据数集要满足性质P，得到其元素之间应该满足的大小关系，利用数列的累加法思想即可得数集的“前n项和”的范围；本题第三问采用枚举法即可证明，根据题设信息不断地确定数集A中的具体元素，将抽象问题具体化，从而证明出结论，过程中需用反证法证明猜想．
X
0
1
2
P
X
0
1
2
P