2023年中考数学压轴题专项训练 专题28以圆为载体的几何综合问题（试题+答案）

挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）

专题28以圆为载体的几何综合问题      

【例1】（2022·河北·育华中学三模）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝4，BC＝10，sinC＝，以AB为直径作⊙O，把⊙O沿水平方向平移x个单位，得到⊙O′，A'B'为直径AB平移后的对应线段．

(1)当x＝0，且M为⊙O上一点时，求DM的最大值；

(2)当B′与C重合时，设⊙O′与CD相交于点N，求点N到AB的距离；

(3)当⊙O′与CD相切时，直接写出x的值 　   　．

【例2】（2022·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知是的直径，点A，点B是上的两个点，连接，点D，点E分别是半径的中点，连接，且．

(1)如图1，求证：；

(2)如图2，延长交于点F，若，求证：；

(3)如图3，在（2）的条件下，点G是上一点，连接，若，，求的长．

【例3】（2022·黑龙江绥化·中考真题）如图所示，在的内接中，，，作于点P，交于另一点B，C是上的一个动点（不与A，M重合），射线交线段的延长线于点D，分别连接和，交于点E．

(1)求证：．

(2)若，，求的长．

(3)在点C运动过程中，当时，求的值．

【例4】（2022·湖北荆州·中考真题）如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点O是边AB上一个动点（不与点A重合），连接OD，将△OAD沿OD折叠，得到△OED；再以O为圆心，OA的长为半径作半圆，交射线AB于G，连接AE并延长交射线BC于F，连接EG，设OA＝x．

(1)求证：DE是半圆O的切线；

(2)当点E落在BD上时，求x的值；

(3)当点E落在BD下方时，设△AGE与△AFB面积的比值为y，确定y与x之间的函数关系式；

(4)直接写出：当半圆O与△BCD的边有两个交点时，x的取值范围．

25．（2022·浙江温州·中考真题）如图1，为半圆O的直径，C为延长线上一点，切半圆于点D，，交延长线于点E，交半圆于点F，已知．点P，Q分别在线段上（不与端点重合），且满足．设．

(1)求半圆O的半径．

(2)求y关于x的函数表达式．

(3)如图2，过点P作于点R，连结．

①当为直角三角形时，求x的值．

②作点F关于的对称点，当点落在上时，求的值．

一、解答题【共20题】

1．（2022·黑龙江·哈尔滨市萧红中学校模拟预测）如图，在中，AD、BC是弦，．

(1)如图1，求证：；

(2)如图2，如果，求证：AC是直径；

(3)如图3，在（2）的条件下，点F在AC上，点E在AB上，，，连接CE、BF交于点G，作于点G，交BC于点H，，求OF的长．

2．（2022·安徽·合肥市五十中学新校二模）如图，为的内接三角形，且为的直径，与相切于点，交的延长线于点，连接交于点，连接、，．

(1)求证：平分；

(2)若，，求的半径．

3．（2022·黑龙江·哈尔滨市第八十四中学校一模）如图，内接于⊙为⊙O的直径，AD交BC于点E，且．

(1)如图1，求证：AD平分；

(2)如图2，点P为弧CD上一点，连接AP交BC于点F，过点P作⊙O的切线，交BC的延长线于点G，点H是PF的中点，求证：；

(3)如图3，在（2）的条件下，连接DF，且，点R在CG上，连接交CH于点N，，求DE的长．

4．（2022·北京市第十九中学三模）如图，中，平分交于，以为直径的交于点，交于点．

(1)求证：是切线；

(2)连接交与、连接交于，连接，若的半径为，，求和的长．

5．（2022·上海·华东师范大学松江实验中学三模）如图，在梯形中，动点在边上，过点作，与边交于点，过点作，与边交于点，设线段．

(1)求关于的函数解析式，并写出定义域；

(2)当是以为腰的等腰三角形时，求的值；

(3)如图，作的外接圆，当点在运动过程中，外接圆的圆心落在的内部不包括边上时，求出的取值范围．

6．（2022·河北·石家庄市第四十四中学三模）如图：在矩形中，，，点在线段上，其中，；以为半径作圆交线段于点，并将线段绕点逆时针旋转得线段（备注：若圆与有两个交点，规定位于点上方的交点为点）

（1）特例探究：如图，当点在射线上时，______，点到直线的距离是______；

变式研究：当点在上方时，

（2）如图，当点落在线段上时，求点、到直线的距离之比；

（3）当圆与边相切时，求线段的长；

（4）若点到的距离为，直接写出点到的距离．

7．（2022·湖南·长沙市华益中学三模）如图，以为直径作⊙O，点是直径上方半圆上的动点，连接，，过点C作的平分线交⊙O于点D，过点作的平行线交的延长线于点．

(1)当时，求的大小；

(2)若⊙O的半径为5，，求CD的长；

(3)如图2，当不过点O时，过点O作交于点M，试判断是否为定值，若是，求出该值；若不是，请说明理由．

8．（2022·江苏镇江·中考真题）如图1是一张圆凳的造型，已知这张圆凳的上、下底面圆的直径都是，高为．它被平行于上、下底面的平面所截得的横截面都是圆．小明画出了它的主视图，是由上、下底面圆的直径、以及、组成的轴对称图形，直线为对称轴，点、分别是、的中点，如图2，他又画出了所在的扇形并度量出扇形的圆心角，发现并证明了点在上．请你继续完成长的计算．

参考数据：，，，，，．

9．（2022·上海·中考真题）平行四边形，若为中点，交于点，连接．

(1)若，

①证明为菱形；

②若，，求的长．

(2)以为圆心，为半径，为圆心，为半径作圆，两圆另一交点记为点，且．若在直线上，求的值．

10．（2022·广东深圳·中考真题）一个玻璃球体近似半圆为直径，半圆上点处有个吊灯 的中点为

(1)如图①，为一条拉线，在上，求的长度．

(2)如图②，一个玻璃镜与圆相切，为切点，为上一点，为入射光线，为反射光线，求的长度．

(3)如图③，是线段上的动点，为入射光线，为反射光线交圆于点在从运动到的过程中，求点的运动路径长．

11．（2022·吉林长春·中考真题）如图，在中，，，点M为边的中点，动点P从点A出发，沿折线以每秒个单位长度的速度向终点B运动，连结．作点A关于直线的对称点，连结、．设点P的运动时间为t秒．

(1)点D到边的距离为__________；

(2)用含t的代数式表示线段的长；

(3)连结，当线段最短时，求的面积；

(4)当M、、C三点共线时，直接写出t的值．

12．（2022·江苏常州·中考真题）（现有若干张相同的半圆形纸片，点是圆心，直径的长是，是半圆弧上的一点（点与点、不重合），连接、．

(1)沿、剪下，则是______三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）；

(2)分别取半圆弧上的点、和直径上的点、．已知剪下的由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为的菱形．请用直尺和圆规在图中作出一个符合条件的菱形（保留作图痕迹，不要求写作法）；

(3)经过数次探索，小明猜想，对于半圆弧上的任意一点，一定存在线段上的点、线段上的点和直径上的点、，使得由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为的菱形．小明的猜想是否正确？请说明理由．

13．（2022·湖北恩施·中考真题）如图，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，切点分别为A、B，直线PO交⊙O于点D、E，交AB于点C．

(1)求证：∠ADE=∠PAE．

(2)若∠ADE=30°，求证：AE=PE．

(3)若PE=4，CD=6，求CE的长．

14．（2022·浙江舟山·中考真题）如图1．在正方形中，点F，H分别在边，上，连结，交于点E，已知．

(1)线段与垂直吗？请说明理由．

(2)如图2，过点A，H，F的圆交于点P，连结交于点K．求证：．

(3)如图3，在（2）的条件下，当点K是线段的中点时，求的值．

15．（2022·四川凉山·中考真题）如图，已知半径为5的⊙M经过x轴上一点C，与y轴交于A、B两点，连接AM、AC，AC平分∠OAM，AO＋CO＝6

(1)判断⊙M与x轴的位置关系，并说明理由；

(2)求AB的长；

(3)连接BM并延长交圆M于点D，连接CD，求直线CD的解析式．

16．（2021·江苏镇江·中考真题）如图1，正方形ABCD的边长为4，点P在边BC上，⊙O经过A，B，P三点．

（1）若BP＝3，判断边CD所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）如图2，E是CD的中点，⊙O交射线AE于点Q，当AP平分∠EAB时，求tan∠EAP的值．

17．（2022·湖南·炎陵县教研室一模）如图1，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交AC于点E，连接BE，BD平分∠ABE交AC于F，交⊙O于点D，且．

(1)求证：BC是⊙O的切线；

(2)如图2，延长ED交直线AB于点P，若．

①求的值；

②若，求⊙O的半径长．

18．（2022·湖南·长沙市北雅中学模拟预测）如图，内接于，过O作的垂线，垂足为E，交于F，

(1)求证：；

(2)连交于M，过E作的平行线交于D，求证：；

(3)在（2）条件下，连交于N，若，，，求的长．

19．（2022·浙江宁波·一模）如图1，在中，，于D，E为边上的点，过A、D、E三点的交于F，连接，．

(1)求证：．

(2)若，求的面积．

(3)如图2，点P为上一动点，连接，，．

①若P为的中点，设为x，的面积为S，求S关于x的函数表达式；

②在点P运动过程中，试探索，，之间的数量关系，并证明．

20．（2022·广东·佛山市华英学校三模）如图，内接于，过点作于点，过点作于点，交于点，延长交于点，连接，且．

(1)求证：；

(2)过点作交于点，连接、，交于点，连接，求证：；

(3)在（2）的条件下，连接，若，，求的长．