专题28以圆为载体的几何综合问题-挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（教师版含解析）

这是一份专题28以圆为载体的几何综合问题-挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（教师版含解析），共70页。

【例1】（2022·河北·育华中学三模）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝4，BC＝10，sinC＝45，以AB为直径作⊙O，把⊙O沿水平方向平移x个单位，得到⊙O′，A'B'为直径AB平移后的对应线段．
(1)当x＝0，且M为⊙O上一点时，求DM的最大值；
(2)当B′与C重合时，设⊙O′与CD相交于点N，求点N到AB的距离；
(3)当⊙O′与CD相切时，直接写出x的值 ．
【答案】(1)42+4
(2)15425
(3)2或12．
【分析】（1）当x＝0，连接DO并延长交⊙O于点M，则此时DM的值最大，过点D作DE⊥BC于E，易证四边形ABED是矩形，可得AB＝DE，AD＝BE＝4，解Rt△DEC求出DE＝8，CD＝10，可得⊙O的半径为4，利用勾股定理求出OD，即可得到DM的最大值；
（2）当B′与C重合时，⊙O′与CD相交于点N，则⊙O向右平移了10个单位长度，连接OO′，则OO′=10，连接A′N，过点N作NF⊥A′B′于点F，如图，解Rt△A′B′N，求出A′N，B′N，然后根据等积法求出NF即可解决问题；
（3）当⊙O′与CD相切，在CD的左边时，设切点为P，如图，则A′B′ED是矩形，A′D、CD、B′C都是⊙O′的切线，根据切线长定理可得A′D=PD，B′C=PC，求出A′D=4−x，B′C=10−x，根据CD=PD+PC=A′D+B′C列方程求出x即可；当⊙O′与CD相切，在CD的右边时，同理求解即可．
（1）
解：如图，当x＝0，连接DO并延长交⊙O于点M，则此时DM的值最大，过点D作DE⊥BC于E，
∵∠A＝∠B＝∠DEB＝90°，
∴四边形ABED是矩形，
∴AB＝DE，AD＝BE＝4，
∴EC＝BC－BE＝10－4＝6，
∵在Rt△DEC中，sinC＝DECD=45，
∴设DE＝4k，CD＝5k（k＞0），
由勾股定理得：EC2+DE2=CD2，即62+4k2=5k2，
整理得：k2=4，
∵k＞0，
∴k=2，
∴DE＝4k＝8，CD＝5k＝10，
∴AB＝DE＝8，
∴OA＝OB＝4，
∴OD＝42+42=42，
∴DM=42+4，
即DM的最大值为42+4；
（2）
当B′与C重合时，⊙O′与CD相交于点N，则⊙O向右平移了10个单位长度，连接OO′，则OO′=10，连接A′N，过点N作NF⊥A′B′于点F，如图，则∠A′NB′=90°，
在Rt△CDE中，sin∠CDE=CECD=35，cs∠CDE=DECD=45，
∵A′B′∥AB∥DE，
∴∠A′B′N=∠CDE，
在Rt△A′B′N中，A′B′=AB=8，
∵sin∠A′B′N=A′NA′B′=sin∠CDE=35，cs∠A′B′N=B′NA′B′=cs∠CDE=45，
∴A′N=35A′B′=35×8=245，B′N=45A′B′=45×8=325，
∵S△A′B′N=12A′B′⋅NF=12A′N⋅B′N，
∴NF=A′N⋅B′NA′B′=245×3258=9625，
∴点N到AB的距离为OO′−NF=10−9625=15425；
（3）
当⊙O′与CD相切，在CD的左边时，设切点为P，如图，则A′B′ED是矩形，A′D、CD、B′C都是⊙O′的切线，
∴A′D=PD，B′C=PC，
∵AA′=BB′=x，
∴A′D=4−x，B′C=10−x，
∵CD=PD+PC=A′D+B′C，
∴10=4−x+10−x，
解得：x=2；
当⊙O′与CD相切，在CD的右边时，设切点为Q，如图，则ABB′A′是矩形，A′D、CD、B′C都是⊙O′的切线，
∴A′D=QD，B′C=QC，
∵AA′=BB′=x，
∴A′D=x−4，B′C=x−10，
∵CD=QD+QC=A′D+B′C，
∴10=x−4+x−10，
解得：x=12；
综上，当⊙O′与CD相切时，x的值为2或12，
故答案为：2或12．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定，解直角三角形，勾股定理，点与圆的位置关系，平移的性质，圆周角定理，切线的性质以及切线长定理等知识，熟练掌握直径所对的圆周角是直角，从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等是解题的关键．
【例2】（2022·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知CH是⊙O的直径，点A，点B是⊙O上的两个点，连接OA,OB，点D，点E分别是半径OA,OB的中点，连接CD,CE,BH，且∠AOC=2∠CHB．
(1)如图1，求证：∠ODC=∠OEC；
(2)如图2，延长CE交BH于点F，若CD⊥OA，求证：FC=FH；
(3)如图3，在（2）的条件下，点G是BH上一点，连接AG,BG,HG,OF，若AG:BG=5:3，HG=2，求OF的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)OF=193
【分析】（1）根据SAS证明△COD≅△COE即可得到结论；
（2）证明∠H=∠ECO即可得出结论；
（3）先证明OF⊥CH，连接AH，证明AH=BH，设AG=5x，BG=3x，在AG上取点M，使得AM=BG，连接MH，证明△MHG为等边三角形，得MG=HG=2，根据AG=AM+MG可求出x=1，得AG=5，BG=3，过点H作HN⊥MG于点N，求出HB=19，再证HF=2OF，根据HB=3OF=19可得结论．
（1）
如图1．∵点D，点E分别是半径OA,OB的中点
∴OD=12OA，OE=12OB
∵OA=OB，
∴OD=OE
∵∠BOC=2∠CHB，∠AOC=2∠CHB
∴∠AOC=∠BOC
∵OC=OC
∴△COD≅△COE，
∴∠CDO=∠CEO；
（2）
如图2．∵CD⊥OA，
∴∠CDO=90°
由（1）得∠CEO=∠CDO=90°，
∴sin∠OCE=OEOC=12
∴∠OCE=30°，
∴∠COE=90°−∠OCE=60°
∵∠H=12∠BOC=12×60°=30°
∴∠H=∠ECO，
∴FC=FH
（3）
如图3．∵CO=OH，FC=FH
∴OF⊥CH
∴∠FOH=90°
连接AH．∵∠AOC=∠BOC=60°
∴∠AOH=∠BOH=120°，
∴AH=BH，∠AGH=60°
∵AG:BG=5:3
设AG=5x，
∴BG=3x
在AG上取点M，使得AM=BG，连接MH
∵∠HAM=∠HBG，
∴△HAM≌△HBG
∴MH=GH，
∴△MHG为等边三角形
∴MG=HG=2
∵AG=AM+MG，
∴5x=3x+2
∴x=1，
∴AG=5
∴BG=AM=3，
过点H作HN⊥MG于点N
MN=12GM=12×2=1，HN=HG⋅sin60°=3
∴AN=MN+AM=4，
∴HB=HA=NA2+HN2=19
∵∠FOH=90°，∠OHF=30°，
∴∠OFH=60°
∵OB=OH，
∴∠BHO=∠OBH=30°，
∴∠FOB=∠OBF=30°
∴OF=BF，
在Rt△OFH中，∠OHF=30°，
∴HF=2OF
∴HB=BF+HF=3OF=19，
∴OF=193．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理以及解直角三角形等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．
【例3】（2022·黑龙江绥化·中考真题）如图所示，在⊙O的内接△AMN中，∠MAN=90°，AM=2AN，作AB⊥MN于点P，交⊙O于另一点B，C是AM上的一个动点（不与A，M重合），射线MC交线段BA的延长线于点D，分别连接AC和BC，BC交MN于点E．
(1)求证：△CMA∽△CBD．
(2)若MN=10，MC=NC，求BC的长．
(3)在点C运动过程中，当tan∠MDB=34时，求MENE的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)310
(3)32
【分析】（1）利用圆周角定理得到∠CMA=∠ABC，再利用两角分别相等即可证明相似；
（2）连接OC，先证明MN是直径，再求出AP和NP的长，接着证明△COE∽△BPE，利用相似三角形的性质求出OE和PE，再利用勾股定理求解即可；
（3）先过C点作CG⊥MN，垂足为G，连接CN，设出GM=3x，CG=4x，再利用三角函数和勾股定理分别表示出PB和PG，最后利用相似三角形的性质表示出EG，然后表示出ME和NE，算出比值即可．
（1）
解：∵AB⊥MN，
∴∠APM=90°，
∴∠D+∠DMP=90°，
又∵∠DMP+∠NAC=180°，∠MAN=90°，
∴∠DMP+∠CAM=90°，
∴∠CAM=∠D，
∵∠CMA=∠ABC，
∴△CMA∽△CBD．
（2）
连接OC，
∵∠MAN=90°，
∴MN是直径，
∵MN=10，
∴OM=ON=OC=5，
∵AM=2AN，且AM2+AN2=MN2，
∴AN=25，AM=45，
∵S△AMN=12AM⋅AN=12MN⋅AP，
∴AP=4，
∴BP=AP=4，
∴NP=AN2−AP2=2，
∴OP=5−2=3，
∵MC=NC，
∴OC⊥MN，
∴∠COE=90°，
∵AB⊥MN，
∴∠BPE=90°，
∴∠BPE=∠COE，
又∵∠BEP=∠CEO，
∴△COE∽△BPE
∴COBP=OEPE=CEBE，
即54=OEPE=CEBE
由OE+PE=OP=3，
∴OE=53，PE=43，
∴CE=OC2+OE2=52+532=5310，
BE=BP2+PE2=42+432=4310，
∴BC=5310+4310=310．
（3）
过C点作CG⊥MN，垂足为G，连接CN，则∠CGM=90°，
∴∠CMG+∠GCM=90°，
∵MN是直径，
∴∠MCN=90°，
∴∠CNM+∠DMP=90°，
∵∠D+∠DMP=90°，
∴∠D=∠CNM=∠GCM，
∵tan∠MDB=34，
∴tan∠CNM=tan∠GCM=34，
∵tan∠GCM=GMCG
∴设GM=3x，CG=4x，
∴CM=5x，
∴CN=20x3， NG=16x3，
∴NM=25x3，
∴OM=ON=25x6，
∵AM=2AN，且AM2+AN2=MN2，
∴AN=553x，AM=1053x，
∵S△AMN=12AM⋅AN=12MN⋅AP，
∴AP=103x=PB，
∴NP=53x，
∴PG=163x−53x=113x，
∵∠CGE=∠BPE=90°，∠CEG =∠BEP，
∴△CGE∽△BPE，
∴CGBP=GEPE=CEBE，
即4x103x=GEPE=CEBE
∴GE=2x，PE=53x
∴ME=5x，NE=10x3，
∴ME:NE=3:2，
∴MENE的值为32．
【点睛】本题考查了圆的相关知识、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识，涉及到了动点问题，解题关键是构造相似三角形，正确表示出各线段并找出它们的关系，本题综合性较强，属于压轴题．
【例4】（2022·湖北荆州·中考真题）如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点O是边AB上一个动点（不与点A重合），连接OD，将△OAD沿OD折叠，得到△OED；再以O为圆心，OA的长为半径作半圆，交射线AB于G，连接AE并延长交射线BC于F，连接EG，设OA＝x．
(1)求证：DE是半圆O的切线；
(2)当点E落在BD上时，求x的值；
(3)当点E落在BD下方时，设△AGE与△AFB面积的比值为y，确定y与x之间的函数关系式；
(4)直接写出：当半圆O与△BCD的边有两个交点时，x的取值范围．
【答案】(1)见详解
(2)32
(3)y=9x24x2+36(0