湖南省长沙市长郡中学2023届高三高考前保温卷(1)数学试题(含解析)
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学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、单选题
1.设全集,若集合,,则( )
A. B. C. D.
2.函数在上的图像大致为( )
A. B.
C. D.
3.已知向量在单位向量上的投影向量为,则( )
A.-3 B.-1 C.3 D.5
4.若,则( )
A.0 B. C.1 D.
5.黄山市歙县三阳镇叶村历史民俗“叠罗汉”已被列入省级非物质文化遗产保护项目,至今已有500多年的历史,表演时由二人以上的人层层叠成各种样式,魅力四射,光彩夺目,好看又壮观.小明同学在研究数列时,发现其递推公式就可以利用“叠罗汉”的思想来处理,即 ,如果该数列的前两项分别为,其前项和记为,若,则( )
A. B. C. D.
6.已知函数的定义域为,是偶函数,是奇函数,则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.若椭圆的离心率为,两个焦点分别为,,为椭圆上异于顶点的任意一点,点是的内心,连接并延长交于点,则( )
A.2 B. C.4 D.
8.如图,底面同心的圆锥高为,,在半径为3的底面圆上,,在半径为4的底面圆上,且,,当四边形面积最大时,点到平面的距离为( )
A. B. C.2 D.
二、多选题
9.近年来,网络消费新业态、新应用不断涌现,消费场景也随之加速拓展,某报社开展了网络交易消费者满意度调查,某县人口约为万人,从该县随机选取人进行问卷调查,根据满意度得分分成以下组:、、、,统计结果如图所示.由频率分布直方图可认为满意度得分(单位:分)近似地服从正态分布,且,,,其中近似为样本平均数,近似为样本的标准差,并已求得.则( )
A.由直方图可估计样本的平均数约为
B.由直方图可估计样本的中位数约为
C.由正态分布可估计全县的人数约为万人
D.由正态分布可估计全县的人数约为万人
10.已知双曲线C经过点,且与椭圆有公共的焦点,点M为椭圆的上顶点,点P为C上一动点,则( )
A.双曲线C的离心率为 B.
C.当P为C与的交点时, D.的最小值为1
11.如图,已知正方体的棱长为,为底面内(包括边界)的动点,则下列结论正确的是( ).
A.三棱锥的体积为定值
B.存在点,使得
C.若,则点在正方形底面内的运动轨迹长为
D.若点是的中点,点是的中点,过,作平面平面,则平面截正方体的截面面积为
12.已知函数定义域为,满足,当时,.若函数的图象与函数的图象的交点为,(其中表示不超过的最大整数),则( )
A.是偶函数 B.
C. D.
三、填空题
13.173,174,166,172,170,165,165,168,164,173,175,178,则这组数据的上四分位数为________.
14.若函数的最小值为,则常数的一个取值为___________.(写出一个即可)
15.设直线与两坐标轴的交点分别为,点为线段的中点,若圆上有且只有一个点,使得直线平分,则______.
16.已知函数(且),若对任意,,则实数a的取值范围为________.
四、解答题
17.已知数列的前项和为,.
(1)求证:数列为等比数列,并求出数列的通项公式;
(2)若 ,求数列的前项和.
从①和②这两个条件中任意选择一个填入上面横线上,并完成解答.注:若选择多个条件作答,则按第一个解答计分.
18.如图,在直角梯形ABCD中,,,四边形为平行四边形,对角线和相交于点H,平面⊥平面,,,G是线段上一动点(不含端点).
(1)当点G为线段BE的中点时,证明:平面;
(2)若,且直线与平面成角,求二面角的正弦值.
参考答案:
1.C
【分析】根据题意,将集合化简,然后结合集合的运算即可得到结果.
【详解】因为,即,且,
则,所以.
故选:C
2.B
【分析】根据给定的函数,由奇偶性排除两个选项,再取特值即可判断作答.
【详解】函数定义域为,
而,且,
即函数既不是奇函数也不是偶函数,其图象关于原点不对称,排除选项CD;
而当时,,排除选项A,选项B符合要求.
故选:B
3.A
【分析】根据投影向量可求得向量的数量积,再根据数量积的运算即可得所求.
【详解】因为向量在单位向量上的投影向量为,所以,又,所以,
则.
故选:A.
4.C
【分析】根据题意和正弦的倍角公式,化简得到,再由余弦的倍角公式,得到,令,求得,结合,即可求解.
【详解】解:由,
可得,
又由正弦的倍角公式,可得,
即,
令,则,解得,
所以.
故选:C.
5.D
【分析】根据,得,将中每一项逐一拆解,即可求解.
【详解】解:由得,
所以
,
.
故选:D.
6.B
【分析】利用函数奇偶性的定义可求得函数的解析式,再利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】因为函数为偶函数,则,即,①
又因为函数为奇函数,则,即,②
联立①②可得,
由基本不等式可得,
当且仅当时,即当时,等号成立,
故函数的最小值为.
故选:B.
7.A
【分析】根据三角形面积公式、三角形内切圆的性质,结合椭圆的定义、离心率公式进行求解即可.
【详解】
如图,连接,,设到轴距离为,到轴距离为,
则
设△内切圆的半径为,则,
∴
不妨设,则,
∴,
因为椭圆的离心率为,
∴,
故选:A.
8.A
【分析】根据给定条件,确定四边形的形状,再求出四边形面积最大时,圆心O到边的距离,然后在几何体中作出点到平面的垂线段,借助直角三角形计算作答.
【详解】如图,直线交大圆于点,连接,由,知四边形为等腰梯形,
取的中点,连接,则,由,知四边形是矩形,
因此四边形为矩形,过O作于Q,连接,
从而四边形的面积,
当且仅当,即时取等号,此时,
如图,在几何体中,连接,因为平面,平面,则,又,
平面,于是平面,而平面,
则有平面平面,显然平面平面,在平面内过O作于R,
从而平面,即长即为点到平面的距离,
在中,,,,
所以点到平面的距离是.
故选:A
【点睛】方法点睛:求点到平面的距离可以利用几何法,作出点到平面的垂线段求解;也可以用向量法,求出平面的法向量,再求出这一点与平面内任意一点确定的向量在法向量的投影即可.
9.ABD
【分析】利用频率分布直方图计算出样本的平均数与中位数,可判断AB选项;利用正态分布原则可判断CD选项.
【详解】对于A选项,由直方图可估计样本的平均数为
,A对;
对于B选项,前两个矩形的面积为,
前三个矩形的面积之和为,
设样本的中位数为,则,
由中位数的定义可得,解得,B对;
对于C选项,因为,,,
所以,,
所以,由正态分布可估计全县的人数约为万人,C错;
对于D选项,因为,,
所以,
,
所以,由正态分布可估计全县的人数约为万人,D对.
故选:ABD.
10.ACD
【分析】根据题意中的点求出双曲线方程,结合离心率的定义即可判断A;根据双曲线的渐近线,结合图形即可判断B;根据椭圆与双曲线的定义,结合余弦定理计算即可判断C;由两点距离公式,结合二次函数的性质即可判断D.
【详解】A:由题意,,设双曲线的标准方程为,
将点代入得,所以双曲线方程为,
得其离心率为,故A正确;
B:由A选项的分析知,双曲线的渐近线方程为,如图,
,所以,得,故B错误;
C:当P为双曲线和椭圆在第一象限的交点时,由椭圆和双曲线的定义知,
,解得,
又,在中,由余弦定理得,故C正确;
D:设,则,
所以,
当时,,故D正确.
故选:ACD.
11.ABD
【分析】根据等体积法可计算出三棱锥的体积,可判断选项A,建立空间直角坐标系,写出对应点的坐标与向量的坐标,设,根据垂直得向量数量积为列式,从而判断选项B,C,利用线面垂直的判定定理得平面,再证明四点共面,从而得平面,再由面面平行的性质可得平面截正方体的截面为正六边形,根据正六边形的性质计算面积即可判断选项D.
【详解】对于A,由等体积法,三棱锥的高为,
底面积,所以,
所以三棱锥的体积为定值,A正确;
对于B,建立如图所示的空间直角坐标系,
设,,,,,,
,,
若,则,
即,取,此时点与点重合,满足题意,
所以存在点,使得,B正确;
对于C,,若,
,即,
所以点的轨迹就是线段,
轨迹长为,C错误;
对于D,如图取中点,连接,
由题可得,平面,
连接,因为,平面,
则,,又,
平面,则平面,
又取中点为,则,
有四点共面,则平面即为平面,
又由两平面平行性质可知,,,,
又都是中点,故是中点,是中点,
则平面截正方体的截面为正六边形,
又正方体棱长为,则,
故截面面积为,D正确.
故选:ABD
12.BCD
【分析】举例说明判断选项A;分析函数与的性质,作出部分函数图象,结合图象与性质推理、计算判断选项B、C、D作答.
【详解】对于A,函数,显然,而,即,因此不是偶函数,故A错误;
函对于B,数定义域为R,满足,当时,,
当时,,,
当时,,,
当时,,,
当时,,,
因此当时,函数在上递减,
在上递增,当时,取得最大值,
当时,,,
当时,,,
当时,,,
因此当时,函数,
在同一坐标平面内作出函数的部分图象,如图,
当时,函数的图象有唯一公共点,
因为,因此,,而满足的整数有个,即,故B正确;
对于C,显然,
所以,故C正确;
对于D,,数列是首项为,公比为的等比数列,所以,故D正确.
故选:BCD.
【点睛】关键点睛:求两个分段函数的公共点的坐标,自变量属于哪一段区间,再代入该段的解析式求值是关键.
13.173.5
【分析】根据百分位数的定义即可求解.
【详解】由题意可得,
将12位同学的身高从小到大排列为:,故这组数据的上四分位数为第9和第10个数据的平均数,即.
故答案为:173.5.
14.(答案不唯一).
【分析】化简函数解析式,由条件结合正弦函数性质求常数的一个取值即可.
【详解】可化为,
所以,
设,
则,设,
则,
因为函数的最小值为,
所以,,
所以或,其中,
故答案为:(答案不唯一).
15.或1
【分析】根据点为线段的中点,直线平分可得在的垂直平分线上,且垂直平分线与圆仅有一个不与C重合的交点可求解.
【详解】点为线段的中点,直线平分,
在的垂直平分线上,
因为所以中垂线的斜率为,
的中点为,由点斜式得,
化简得,
在圆满足条件的有且仅有一个,
直线与圆相切或圆过点C,
当直线与圆相切时,;
当直线过点C时,.
故答案为: 或1.
16.
【分析】分为两种情况,当时,,只需,当即,令,对求导求出的最大值,即可求出答案.
【详解】当时,,
由图可知,,此时若对任意,
只需,即,即.
当,此时若对任意,
即,所以只需.
令,则,
当单调递增,当单调递减,
.
综上,.
故答案为:.
17.(1)证明见解析,
(2)答案见解析
【分析】(1)通过消去,得到从而得到证明;
(2)若选①,则要运用错位相减法求和,若选②,先化简,然后分奇数偶数,利用分组求和计算.
【详解】(1)依题意可得,
两式相减并化简得,所以
又,,解得.
所以,故
由于,所以,于是.
故数列是首项为3,公比为3的等比数列
,即
(2)选①: 由(1)得,则
两式相减得:
所以
选②: 由(1)得,所以
(i)当为偶数时,
(ii)当为奇数时,
综上所述
18.(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)连接,由三角形中位线和边长关系可知四边形是平行四边形,即可证明平面;
(2)根据题意可知,以为原点建立空间直角坐标系,可设利用空间向量即可表示出,进而确定点位置,再分别求得两平面的法向量即可得出二面角的正弦值为.
【详解】(1)证明:
连接,如下图(1)中所示:
因为四边形为平行四边形,所以是中点,
又点为线段的中点,则,且,
又且,所以,
所以四边形是平行四边形,所以,
又平面,平面,所以平面;
(2)以为原点,为轴,过且在平面内与垂直的直线为轴,建立空间直角坐标系,如图(2)所示:
由平面⊥平面,,可知,
均为边长为2的正三角形,
则有,
设,
则,
为平面的法向量,
所以,
解得(其中舍去),所以,
设平面的法向量为,则有,
令,则,故可取.
设平面的法向量为,则有,
令,则,故可取
所以.
所以二面角的正弦值为.
即二面角的正弦值为.
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