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    湖南省长沙市长郡中学2023届高三高考前保温卷(1)数学试题(含解析)

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    这是一份湖南省长沙市长郡中学2023届高三高考前保温卷(1)数学试题(含解析),共21页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    湖南省长沙市长郡中学2023届高三高考前保温卷(1)数学试题

    学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

     

    一、单选题

    1.设全集,若集合,则    

    A B C D

    2.函数上的图像大致为(    

    A B

    C D

    3.已知向量在单位向量上的投影向量为,则    

    A-3 B-1 C3 D5

    4.若,则    

    A0 B C1 D

    5.黄山市歙县三阳镇叶村历史民俗叠罗汉已被列入省级非物质文化遗产保护项目,至今已有500多年的历史,表演时由二人以上的人层层叠成各种样式,魅力四射,光彩夺目,好看又壮观.小明同学在研究数列时,发现其递推公式就可以利用叠罗汉的思想来处理,即 ,如果该数列的前两项分别为,其前项和记为,若,则    

    A B C D

    6.已知函数的定义域为是偶函数,是奇函数,则的最小值为(    

    A B C D

    7.若椭圆的离心率为,两个焦点分别为为椭圆上异于顶点的任意一点,点的内心,连接并延长交于点,则    

    A2 B C4 D

    8.如图,底面同心的圆锥高为在半径为3的底面圆上,在半径为4的底面圆上,且,当四边形面积最大时,点到平面的距离为(    

    A B C2 D

     

    二、多选题

    9.近年来,网络消费新业态、新应用不断涌现,消费场景也随之加速拓展,某报社开展了网络交易消费者满意度调查,某县人口约为万人,从该县随机选取人进行问卷调查,根据满意度得分分成以下组:,统计结果如图所示.由频率分布直方图可认为满意度得分(单位:分)近似地服从正态分布,且,其中近似为样本平均数,近似为样本的标准差,并已求得.则(    

    A.由直方图可估计样本的平均数约为

    B.由直方图可估计样本的中位数约为

    C.由正态分布可估计全县的人数约为万人

    D.由正态分布可估计全县的人数约为万人

    10.已知双曲线C经过点,且与椭圆有公共的焦点,点M为椭圆的上顶点,点PC上一动点,则(    

    A.双曲线C的离心率为 B

    C.当PC的交点时, D的最小值为1

    11.如图,已知正方体的棱长为为底面内(包括边界)的动点,则下列结论正确的是(    ).

    A.三棱锥的体积为定值

    B.存在点,使得

    C.若,则点在正方形底面内的运动轨迹长为

    D.若点的中点,点的中点,过作平面平面,则平面截正方体的截面面积为

    12.已知函数定义域为,满足,当时,.若函数的图象与函数的图象的交点为,(其中表示不超过的最大整数),则(    

    A是偶函数 B

    C D

     

    三、填空题

    13173174166172170165165168164173175178,则这组数据的上四分位数为________

    14.若函数的最小值为,则常数的一个取值为___________.(写出一个即可)

    15.设直线与两坐标轴的交点分别为,点为线段的中点,若圆上有且只有一个点,使得直线平分,则______.

    16.已知函数),若对任意,则实数a的取值范围为________

     

    四、解答题

    17.已知数列的前项和为.

    (1)求证:数列为等比数列,并求出数列的通项公式;

    (2) ,求数列的前项和.

    这两个条件中任意选择一个填入上面横线上,并完成解答.:若选择多个条件作答,则按第一个解答计分.

    18.如图,在直角梯形ABCD中,,四边形为平行四边形,对角线相交于点H,平面平面G是线段上一动点(不含端点).

        

    (1)当点G为线段BE的中点时,证明:平面

    (2),且直线与平面角,求二面角的正弦值.


    参考答案:

    1C

    【分析】根据题意,将集合化简,然后结合集合的运算即可得到结果.

    【详解】因为,即,且

    ,所以.

    故选:C

    2B

    【分析】根据给定的函数,由奇偶性排除两个选项,再取特值即可判断作答.

    【详解】函数定义域为

    ,且

    即函数既不是奇函数也不是偶函数,其图象关于原点不对称,排除选项CD

    而当时,,排除选项A,选项B符合要求.

    故选:B

    3A

    【分析】根据投影向量可求得向量的数量积,再根据数量积的运算即可得所求.

    【详解】因为向量在单位向量上的投影向量为,所以,又,所以

    .

    故选:A.

    4C

    【分析】根据题意和正弦的倍角公式,化简得到,再由余弦的倍角公式,得到,令,求得,结合,即可求解.

    【详解】解:由

    可得

    又由正弦的倍角公式,可得

    ,则,解得

    所以.

    故选:C.

    5D

    【分析】根据,得,将中每一项逐一拆解,即可求解.

    【详解】解:由得,

    所以

    .

    故选:D.

    6B

    【分析】利用函数奇偶性的定义可求得函数的解析式,再利用基本不等式可求得的最小值.

    【详解】因为函数为偶函数,则,即

    又因为函数为奇函数,则,即

    联立①②可得

    由基本不等式可得

    当且仅当时,即当时,等号成立,

    故函数的最小值为.

    故选:B.

    7A

    【分析】根据三角形面积公式、三角形内切圆的性质,结合椭圆的定义、离心率公式进行求解即可.

    【详解】  

    如图,连接,设轴距离为轴距离为

    内切圆的半径为,则

    不妨设,则

    因为椭圆的离心率为

    故选:A.

    8A

    【分析】根据给定条件,确定四边形的形状,再求出四边形面积最大时,圆心O到边的距离,然后在几何体中作出点到平面的垂线段,借助直角三角形计算作答.

    【详解】如图,直线交大圆于点,连接,由,知四边形为等腰梯形,

     

    的中点,连接,则,由,知四边形是矩形,

    因此四边形为矩形,过OQ,连接

    从而四边形的面积

    当且仅当,即时取等号,此时

    如图,在几何体中,连接,因为平面平面,则,又

    平面,于是平面,而平面

    则有平面平面,显然平面平面,在平面内过OR

    从而平面,即长即为点到平面的距离,

    中,

    所以点到平面的距离是.

    故选:A

    【点睛】方法点睛:求点到平面的距离可以利用几何法,作出点到平面的垂线段求解;也可以用向量法,求出平面的法向量,再求出这一点与平面内任意一点确定的向量在法向量的投影即可.

    9ABD

    【分析】利用频率分布直方图计算出样本的平均数与中位数,可判断AB选项;利用正态分布原则可判断CD选项.

    【详解】对于A选项,由直方图可估计样本的平均数为

    A对;

    对于B选项,前两个矩形的面积为

    前三个矩形的面积之和为

    设样本的中位数为,则

    由中位数的定义可得,解得B对;

    对于C选项,因为

    所以,

    所以,由正态分布可估计全县的人数约为万人,C错;

    对于D选项,因为

    所以,

    所以,由正态分布可估计全县的人数约为万人,D.

    故选:ABD.

    10ACD

    【分析】根据题意中的点求出双曲线方程,结合离心率的定义即可判断A;根据双曲线的渐近线,结合图形即可判断B;根据椭圆与双曲线的定义,结合余弦定理计算即可判断C;由两点距离公式,结合二次函数的性质即可判断D.

    【详解】A:由题意,,设双曲线的标准方程为

    将点代入得,所以双曲线方程为

    得其离心率为,故A正确;

    B:由A选项的分析知,双曲线的渐近线方程为,如图,

    ,所以,得,故B错误;

    C:当P为双曲线和椭圆在第一象限的交点时,由椭圆和双曲线的定义知,

    ,解得

    ,在中,由余弦定理得,故C正确;

    D:设,则

    所以

    时,,故D正确.

    故选:ACD.

    11ABD

    【分析】根据等体积法可计算出三棱锥的体积,可判断选项A,建立空间直角坐标系,写出对应点的坐标与向量的坐标,设,根据垂直得向量数量积为列式,从而判断选项BC,利用线面垂直的判定定理得平面,再证明四点共面,从而得平面,再由面面平行的性质可得平面截正方体的截面为正六边形,根据正六边形的性质计算面积即可判断选项D.

    【详解】对于A,由等体积法,三棱锥的高为

    底面积,所以

    所以三棱锥的体积为定值,A正确;

    对于B,建立如图所示的空间直角坐标系,

    ,则

    ,取,此时点与点重合,满足题意,

    所以存在点,使得B正确;

    对于C,若

    ,即

    所以点的轨迹就是线段

    轨迹长为C错误;

    对于D,如图取中点,连接

    由题可得平面

    连接,因为平面

    ,又    

    平面,则平面

    又取中点为,则

    四点共面,则平面即为平面

    又由两平面平行性质可知,

    都是中点,故中点,中点,

    则平面截正方体的截面为正六边形,

    又正方体棱长为,则

    故截面面积为D正确.

    故选:ABD

    12BCD

    【分析】举例说明判断选项A;分析函数的性质,作出部分函数图象,结合图象与性质推理、计算判断选项BCD作答.

    【详解】对于A,函数,显然,而,即,因此不是偶函数,故A错误;

    函对于B,数定义域为R,满足,当时,

    时,

    时,

    时,

    时,

    因此当时,函数上递减,

    上递增,当时,取得最大值

    时,

    时,

    时,

    因此当时,函数

    在同一坐标平面内作出函数的部分图象,如图,

    时,函数的图象有唯一公共点

    因为,因此,而满足的整数有个,即,故B正确;

    对于C,显然

    所以,故C正确;

    对于D,数列是首项为,公比为的等比数列,所以,故D正确.

    故选:BCD.

    【点睛】关键点睛:求两个分段函数的公共点的坐标,自变量属于哪一段区间,再代入该段的解析式求值是关键.

    13173.5

    【分析】根据百分位数的定义即可求解.

    【详解】由题意可得

    12位同学的身高从小到大排列为:,故这组数据的上四分位数为第9和第10个数据的平均数,即.

    故答案为:173.5.

    14(答案不唯一).

    【分析】化简函数解析式,由条件结合正弦函数性质求常数的一个取值即可.

    【详解】可化为

    所以

    ,设

    因为函数的最小值为

    所以

    所以,其中

    故答案为:(答案不唯一).

    151

    【分析】根据点为线段的中点,直线平分可得的垂直平分线上,且垂直平分线与圆仅有一个不与C重合的交点可求解.

    【详解】为线段的中点,直线平分

    的垂直平分线上,

    因为所以中垂线的斜率为

    的中点为,由点斜式得

    化简得

    在圆满足条件的有且仅有一个,

    直线与圆相切或圆过点C

    当直线与圆相切时,

    当直线过点C时,.

    故答案为: 1.

    16

    【分析】分为两种情况,当时,,只需,当,令,对求导求出的最大值,即可求出答案.

    【详解】当时,

      

    由图可知,,此时若对任意

    只需,即,即

    ,此时若对任意

    ,所以只需

    ,则

    单调递增,当单调递减,

    综上,

    故答案为:.

    17(1)证明见解析,

    (2)答案见解析

     

    【分析】(1)通过消去,得到从而得到证明;

    2)若选,则要运用错位相减法求和,若选,先化简,然后分奇数偶数,利用分组求和计算.

    【详解】(1)依题意可得

    两式相减并化简得,所以                  

    ,解得.

    所以,故

    由于,所以,于是.

    故数列是首项为3,公比为3的等比数列      

    ,即

    2)选①: 由(1)得,则     

       

    两式相减得:

        

    所以      

    ②: 由(1)得,所以

    i)当为偶数时,

      

    ii)当为奇数时,

    综上所述

    18(1)证明见解析

    (2)

     

    【分析】(1)连接,由三角形中位线和边长关系可知四边形是平行四边形,即可证明平面

    2)根据题意可知,以为原点建立空间直角坐标系,可设利用空间向量即可表示出,进而确定点位置,再分别求得两平面的法向量即可得出二面角的正弦值为.

    【详解】(1)证明:

    连接,如下图(1)中所示:

    因为四边形为平行四边形,所以中点,

    点为线段的中点,则,且,

    ,所以

    所以四边形是平行四边形,所以

    平面平面,所以平面

      

    2)以为原点,轴,过且在平面内与垂直的直线为轴,建立空间直角坐标系,如图(2)所示:

    由平面平面可知,

    均为边长为2的正三角形,

    则有

    为平面的法向量,

    所以

    解得(其中舍去),所以

    设平面的法向量为,则有

    ,则,故可取

    设平面的法向量为,则有

    ,则,故可取

    所以

    所以二面角的正弦值为

    即二面角的正弦值为.

     

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