2023年河北省唐山市路南区中考数学二模试卷

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这是一份2023年河北省唐山市路南区中考数学二模试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. −(+3)=( )
A. −3B. 3C. −2D. 1
2. 如图，用圆规比较两条线段的大小，其中正确的是( )
A. A′B′>A′C′
B. A′B′=A′C′
C. A′B′D. 不能确定
3. 如图，数轴上的两个点分别表示数a和−2，则a可以是( )
A. −3B. −1C. 1D. 2
4. 如图，已知AB=AC，BC=6，尺规作图痕迹可求出BD=( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
5. 已知a、b都是正整数，若 18=a 2， 8=2 b，则( )
A. a=bB. a6. 如图，将线段AB绕点A旋转，下列各点能够落到线段AB上的是( )
A. 点CB. 点DC. 点ED. 点F
7. 由棱长为1的小正方体组成新的大正方体，如果不允许切割，至少要几个小正方体( )
A. 4个B. 8个C. 16个D. 27个
8. 能与−(34−65)相加得0的是( )
A. −34−65B. 65+34C. −65+34D. −34+65
9. 如图，数轴上的点A、B分别表示数1、−2x+3，则表示数−x+2的点P与线段AB的位置关系是( )
A. P在线段AB上B. P在线段AB的延长线上
C. P在线段BA的延长线上D. 不能确定
10. 若x(a−3)y，则a的取值范围是( )
A. a<3B. a>3C. a≥3D. a≤3
11. 设“●”“■”“▲”分别表示不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要第三架天平也平衡，那么“？”处应放“■”的个数为( )
A. 5B. 4C. 3D. 2
12. 如图，从笔直的公路l旁一点P出发，向西走4km可到达公路l上的A点；从点P出发沿与l垂直的方向走4km可到达点P关于公路l的对称点B点；从点P出发向正北方向走到l上，需要走的路程是( )
A. 2km
B. 2.5km
C. 4 33km
D. 4 32km
13. 对于点P(2a3b,23)和直线l：y=x，下列说法正确的是( )
A. 若a=b=0，则l经过点PB. 若a=b=2，则l不经过点P
C. 若a=3，b=1，则点P在l上方D. 若a=2，b=1，则点P在l下方
14. 我国古代《孙子算经》记载“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”意思是说“每三人共乘一辆车，最终剩余2辆车；每2人共乘一辆车，最终有9人无车可乘，问人和车的数量各是多少？”则下列结论正确的是(( )
A. 设共有x人，根据题意得：x3−2=x−92
B. 共有37人
C. 设共有车y辆，根据题意得：3(y+2)=2y+9
D. 共有15辆车
15. 在数据4，5，6，5中去掉n(n>0)个数据，若平均数没有发生变化，则n的值是( )
A. 1或3B. 2或3C. 1或2或3D. 1或2
16. 如图，已知AB的半径为5，所对的弦AB长为8，点P是AB的中点，将AB绕点A逆时针旋转90°后得到AB′，三位同学提出了相关结论：
嘉嘉：点P到AB的距离为2
淇淇：AP的长为2 3
嘉淇：线段AP扫过的面积为2 5π
下列结论正确的是( )
A. 嘉嘉对，淇淇错B. 淇淇对，嘉淇错C. 嘉嘉错，嘉淇错D. 淇淇错，嘉淇对
二、填空题（本大题共3小题，共12.0分）
17. 已知b4=b×8，则b= ______ ，b的倒数为______ ．
18. 四边形具有不稳定性：如图，将面积为5的矩形“推”成面积为4的平行四边形，则csα的值为______ ；若α=30°，则平行四边形的面积为______ ．
19. 如图，在平面直角坐标系xOy中，等边△AOB的顶点A在第一象限，点B(3,0)，双曲线y=kx(k>0,x>0)把△AOB分成两部分．
(1)双曲线与边OA，AB分别交于C，D两点，若OC=2，点D的横坐标为______ ；
(2)连接CD，则△ACD的面积为______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20. (本小题8.0分)
老师在黑板上写下了下面的等式，让同学自己出题，并作出答案．
7+▢−5×〇=38
请你解答下列两个同学所提出的问题．
(1)甲同学提出的问题：当〇代表−2时，求▢所代表的有理数；
(2)乙同学提出的问题：若▢和〇所代表的有理数互为相反数，求〇所代表的有理数．
21. (本小题9.0分)
每年的3月5日，某中学毕业班的每位学生都会收到一封任课老师写给自己的信.九(10)班有48名同学，数学、语文、英语三位任课老师分别给其中的16名学生写信，三位老师用抽签的方式选择写信的同学(每位学生被抽到的可能性相同)．
(1)亦航特别希望自己能收到数学老师的信，当他看到同桌小越收到了数学老师的信后，心里很着急，认为自己收到数学老师的信的概率变小了，你同意他的想法吗？直接写出他收到数学老师的信的概率；
(2)若嘉嘉和淇淇都收到了老师的来信，求她们收到的信来自同一位老师的概率．
22. (本小题9.0分)
如图，约定：上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整式．
(1)求整式M、P；
(2)将整式P因式分解；
(3)P的最小值为______．
23. (本小题9.0分)
如图，将半径为5的扇形OAB，绕点O逆时针旋转α°得到扇形OCD.OC交AB于点G，OB交CD于点E，AB与CD交于点F．
(1)∠A与∠D的数量关系是：∠A ______ ∠D；
(2)在(1)的条件下，求证：△AOG≌△DOE；
(3)当AD为直径时，以OE为半径的⊙O切CD于点E，求α的值及优弧AB的
长.
24. (本小题9.0分)
如图，甲容器已装满水，高为20cm的乙容器装有一定高度的水，由甲容器向乙容器注水，单位时间注水量一定．设注水时间为t(分)，甲容器水面高度为h1(cm)，乙容器水面高度为h2(cm)，其中h1−8与t成正比例，且当t=4时，h1=4；h2与t成一次函数关系，部分对应值如下表，当两个容器的水面高度相同时，这个高度称为平衡高度．
(1)分别写出h1，h2与t的函数关系式，并求未注水时乙容器原有水的高度；
(2)求甲、乙两个容器的平衡高度；
(3)为使甲容器无水可注时，乙容器恰好注满，需要调整乙容器原有水的高度，求符合条件的乙容器原有水的高度．
25. (本小题10.0分)
如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AC=5，AB=4.动点P从点C出发，沿CA以每秒3个单位长度的速度向终点A匀速运动．过点P作CA的垂线交射线CB于点M，当点M不和点B重合时，作点M关于AB的对称点N.设点P的运动时间为t秒(t>0)．
(1)BC=______；
(2)求MN的长．(用含t的代数式表示)
(3)取PC的中点Q．
①连结MQ、PN，当点M在边BC上，且MQ//PN时，求MN的长．
②连结NQ，当∠CNQ=∠A时，直接写出t的值．
26. (本小题12.0分)
如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线G：y=ax2−4ax+1(a>0)．
(1)若抛物线过点A(−1,6)，求出抛物线的解析式；
(2)当1≤x≤5时，y的最小值是−1，求1≤x≤5时，y的最大值；
(3)已知直线y=−x+1与抛物线y=ax2−4ax+1(a>0)存在两个交点，若两交点到x轴的距离相等，求a的值；
(4)如图2，作与抛物线G关于x轴对称且对称轴相同的抛物线G′，当抛物线G与抛物线G′围成的封闭区域内(不包括边界)共有11个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：−(+3)=−3，
故选：A．
根据相反数的定义解答即可．
本题考查了相反数的定义，知道“只有符号不同的两个数叫做互为相反数”是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：如图用圆规比较两条线段的大小，A′B′故选：C．
由比较两条线段长短的方法：重合比较法，即可判断．
本题考查比较线段的长短，关键是掌握：比较两条线段长短的方法．
3.【答案】A
【解析】解：根据数轴得：a<−2，
∴a可以是−3．
故选：A．
根据数轴上，右边的数总比左边的大得到a的取值范围，进而得出答案．
本题考查了数轴，掌握数轴上，右边的数总比左边的大是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：由题意，AB=AC，BC=6，
∵AD平分∠BAC，
∴BD=CD=3，
故选：B．
根据等腰三角形的性质即可得到答案．
本题考查作图−基本作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
5.【答案】D
【解析】解：∵ 18=3 2， 8=2 2， 18=a 2， 8=2 b，a，b都是正整数，
∴a=3，b=2，
∴a−b=3−2=1．
故选：D．
把 18化为3 2的形式， 8化为2 2的形式，即可求出a，b的值，通过观察即可得出结论．
本题考查算术平方根，能够根据题意得出a，b的值是解答此题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：将线段AB绕点A旋转，
∵AC∴线段AB经过点C，
∴能够落到线段AB上的是点C，
故选：A．
比较各点与A点组成的线段的长度，线段长度小于AB长度的点能够落到线段AB上．
本题主要考查了旋转的性质，解题的关键是会运用旋转的性质解决问题，会比较线段的长短．
7.【答案】B
【解析】解：根据以上分析要组成新的正方体至少要2×2×2=8个．
故选B．
本题要求所得到的正方体最小，则每条棱是由两条小正方体的边组成．
本题主要考查空间想象能力，解决的关键是要能想象出正方体的形状．
8.【答案】C
【解析】解：−(34−65)=−34+65，与其相加得0，
0−(−34+65)=34−65，
故选：C．
本题考查有理数的减法，解本题的关键是掌握去括号和有理数的减法．
9.【答案】A
【解析】解：∵PA=|−x+2−1|=|−x+1|，PB=|(−x+2)−(−2x+3)|=|x−1|=|−x+1|，AB=|−2x+3−1=2|−x+1|，
∴PA+PB=AB，
∴点P在线段AB上．
故选：A．
根据绝对值的几何意义得出：PA=|−x+1|，PB=|−x+1|，AB=2|−x+1|，推出PA+PB=AB，即点P在线段AB上．
本题考查了数轴和绝对值的几何意义，在数轴上，若PA+PB=AB，则点P在线段AB上．
10.【答案】A
【解析】解：∵若x(a−3)y，
∴a−3<0，
∴a<3，
故选：A．
利用不等式的性质判断即可．
本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
11.【答案】A
【解析】解：设“●”“■”“▲”分别为x、y、z，由图(1)(2)可知，
2x=y+zz=x+y，
解得x=2y，z=3y，
所以x+z=2y+3y=5y，即“■”的个数为5．
故选：A．
设“●”“■”“▲”分别为x、y、z，由图列出方程组解答即可解决问题．
本题考查了二元一次方程组．解决此题的关键是列出方程组，求解时用其中的一个数表示其他两个数，从而使问题解决．
12.【答案】C
【解析】解：设从点P出发向正北方向走到l上的点C处，连接PC，如图，

则CP⊥AP，
设BP与AC交于点D，
∵点P与点B关于直线l对称，
∴BP⊥AC，PD=BD=12BP=2km，
∴cs∠DPA=PDPA=24=12，
∴∠DPA=60°，
∴∠DPC=90°−∠DPA=30°．
在Rt△DPC中，
∵cs∠DPC=PDPC，
∴2PC= 32，
∴PC=4 33km．
故选：C．
依据题意画出图形，利用直角三角形的边角关系和轴对称的性质解答即可．
本题主要考查了方向角，直角三角形的边角关系定理，轴对称的性质，依据题意画出图形是解题的关键．
13.【答案】D
【解析】解：A.当b=0时，3b=3×0=0，2a3b没有意义，选项A不符合题意；
B.当a=b=2时，2a3b=2×23×2=23，
∴点P的坐标为(23,23).
当x=23时，y=23，
∴若a=b=2，l经过点P，选项B不符合题意；
C.当a=3，b=1时，2a3b=2×33×1=2，
∴点P的坐标为(2,23).
当x=2时，y=2>23，
∴若a=3，b=1，则点P在l下方，选项C不符合题意；
D.当a=2，b=1时，2a3b=2×23×1=43，
∴点P的坐标为(43,23).
当x=43时，y=43>23，
∴若a=2，b=1，则点P在l下方，选项D符合题意．
故选：D．
A.当b=0时，2a3b没有意义；
B.代入a=b=2，可求出点P的坐标，再利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出若a=b=2，l经过点P；
C.代入a=3，b=1，可求出点P的坐标，再利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出若a=3，b=1，则点P在l下方；
D.代入a=2，b=1，可求出点P的坐标，再利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出若a=2，b=1，则点P在l下方．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b”是解题的关键．
14.【答案】D
【解析】解：A、设共有x人，根据题意得：x3+2=x−92，故不符合题意；
B、由A选项解得x=39，共39人，故不符合题意；
C、设共有车y辆，根据题意得：3(y−2)=2y+9，故不符合题意；
D、由C选项解得y=15，共有15辆车，故符合题意；
故选：D．
设有x人，根据车的辆数不变列方程，设车数为y辆，由人数不变列方程，解方程即可判断出答案．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确表示人和车的数量是解题关键．
15.【答案】C
【解析】解：(4+5+6+5)÷4=20÷4=5，
∵在数据4，5，6，5中去掉n(n>0)个数据，平均数没有发生变化，
∴去掉的数可能是一个5或两个5或4和6或三个4、5、6．
∴n=1或2或3，
故选：C．
先计算这四个数的平均数，再根据在数据4，5，6，5中去掉n(n>0)个数据，平均数没有发生变化，即可得到去掉的数据，从而可以得到n的值．
本题考查算术平均数，解答本题的关键是明确去掉数据后平均数没发生变化，去掉的数据一定和平均数一样或者去掉的几个数据的平均数和原来数据的平均数相同．
16.【答案】A
【解析】解：设AB所在圆的圆心为O，连接OP、OA，
∵点P是AB的中点，
∴OP⊥AB，AM=BM=12AB=4，
∴OM= OA2−AM2=3，
∴PM=5−3=2，
∴点P到AB的距离为2，故嘉嘉对，
∴PA= AM2+PM2= 22+42=2 5，故淇淇错；
∴线段AP扫过的面积=S扇形APP′=90π×(2 5)2360=5π，故嘉淇错，
故选：A．
根据垂径定理得出AM=BM=12AB=4，利用勾股定理求得OM，继而即可求得点P到AB的距离为2，故即可判断嘉嘉对；利用勾股定理求得AP的长为2 5，即可判断淇淇错；根据线段AP扫过的面积=扇形APP′的面积求得即可判断嘉淇错．
本题考查了扇形的面积、垂径定理，勾股定理，明确线段AP扫过的面积=扇形APP′的面积是解题的关键．
17.【答案】2 12
【解析】解：∵b4=b×8，
∴b3=8，即b3=23，
∴b=2，
∴b的倒数为12．
故答案为：2，12．
把等式两边同时除以b即可得出b的值，再由倒数的定义即可得出结论．
本题考查的是倒数，熟知乘积是1的两数互为倒数是解题的关键．
18.【答案】35 52
【解析】解：如图，作AH⊥BC于H，
∵BC⋅AB=5，BC⋅AH=4，
∴BC⋅AHBC⋅AB=45，
∴AHAB=45，
令AH=4x，AB=5x，
∴BH= AB2−AH2=3x，
∴csα=BHAB=35，
∵当α=30°时，AH=12AB，
∴平行四边形的面积=BC⋅AH=12BC⋅AB=52．
故答案为：35，52．
由矩形、平行四边形的面积得到AHAB=45，即可求出csα的值，由α=30°得到AH=12AB，即可求出平行四边形的面积．
本题考查解直角三角形，矩形，平行四边形，关键是由矩形、平行四边形的面积推出AHAB=45．
19.【答案】3+ 52 154
【解析】解：(1)作CE⊥OB于E，AF⊥OB于F，
∵△AOB是等边三角形，B(3,0)，
∴OF=12OB=32，OA=OB=AB=3，
∴AF=3 32，
∴A(32,3 32)，
∵CE//AF，
∴OEOF=CEAF=OCOA=23，
∴OE=23OF=1，CE=23AF= 3，
∴C(1, 3)，
∵双曲线y=kx(k>0,x>0)与边OA，AB分别交于C，D两点，
∴k=1× 3= 3，
∴y= 3x，
设直线AB的解析式为y=ax+b，
∴32a+b=3 323a+b=0，解得a=− 3b=3 3，
∴直线AB的解析式为y=− 3x+3 3，
解y=− 3x+3 3y= 3x得x=3+ 52，
故D的横坐标为3+ 52，
故答案为：3+ 52；
(2)作DG⊥AF于G，则DG//OB，
∴DGBF=ADAB，
∵A(32,3 32)，D的横坐标为3+ 52，B(3,0)，
∴DG= 52，BF=32，
∴ADAB= 5232= 53，
∴S△ACD= 53S△ABC，
连接BC，
∵ACOA=13，
∴S△ABC=13S△AOB，
∴S△ACD= 53×13S△AOB= 59S△AOB= 59×12×3×3× 32= 154．
故答案为： 154．
(1)作CE⊥OB于E，AF⊥OB于F，根据等边三角形的性质得到A(32,3 32)，进而求得C的坐标，根据待定系数法即可求得函数的解析式，解析式联立构成方程组，解方程组即可求得D的横坐标；
(2)根据AC：OA=1：3求得△ABC的面积，根据ADAB= 53即可求得△ACD的面积．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积，正确表示线段长度的比是解题的关键．
20.【答案】解：(1)当〇代表−2时，□所代表的有理数为x，
根据题意得：7x+10=38，
解得：x=4，
则甲提出的问题：□所代表的有理数为4；
(2)当□和〇所代表的有理数互为相反数时，分别设为a，−a，
根据题意得：7a+5a=38，
解得：a=196，
则乙提出的问题：〇所代表的有理数为−196．
【解析】(1)当〇代表−2时，□所代表的有理数设为x，根据题意列出方程，求出方程的解即可；
(2)当□和〇所代表的有理数互为相反数时，分别设为a，−a，根据题意列出方程，求出方程的解即可．
此题考查了有理数的混合运算，以及解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解本题的关键．
21.【答案】解：(1)不同意他的想法，
他收到数学老师的信的概率为1648=13；
(2)将数学、语文、英语三位任课老师的信分别记作A、B、C，
画树状图如下：

共有9种等可能的结果，其中嘉嘉和琪琪收到的信来自同一位老师的有3种结果，
所以收到的信来自同一位老师的概率为39=13．
【解析】(1)根据概率公式求解即可；
(2)列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22.【答案】解：(1)根据题意得：M=(3x2−4x−20)−3x(x−3)
=3x2−4x−20−3x2+9x
=5x−20；
P=3x2−4x−20+(x+2)2
=3x2−4x−20+x2+4x+4
=4x2−16；
(2)P=4x2−16
=4(x2−4)
=4(x+2)(x−2)；
(3)−16．
【解析】解：(1)(2)见答案；
(3)∵P=4x2−16，x2≥0，
∴当x=0时，P的最小值为−16．
故答案为：−16．
(1)根据题意列出关系式，去括号合并即可得到结果；
(2)把P提取公因式，再利用平方差公式分解即可；
(3)利用非负数的性质求出P的最小值即可．
此题考查了因式分解−运用公式法，以及整式的加减，熟练掌握运算法则及因式分解的方法是解本题的关键．
23.【答案】=
【解析】解：(1)∵OA=OB，
∴∠A=∠B，
由旋转得，∠B=∠D，
∴∠A=∠D，
故答案为：=；
(2)证明：由旋转得，∠AOC=∠BOD，
∵OA=OD，∠A=∠D，
∴△AOG≌△DOE(ASA)．
(3)如图，

∵以OE为半径的⊙O相切，
∴OE⊥CD，
∵OC=OD，
∴∠COE=∠DOE，
∵△AOG≌△DOE，
∴∠AOC=∠DOE，
∵AD为直径，
∴∠AOC=∠DOE=COE=60°，
∴α的值为60°，
∴∠AOB=120°，
∵⊙O半径为5，
∴优弧AB=(360−120)π×5180=20π3．
(1)由旋转及等腰三角形可得答案；
(2)由旋转得∠AOC=∠BOD，再由(1)得出的∠A=∠D，即可证明；
(3)由三线合一证明出∠COE=∠DOE，再由全等得出∠AOC=∠DOE，即∠AOC=∠DOE=COE=60°，再按弧长公式计算即可．
本题考查了圆的相关知识点的应用，三角形全等及等腰三角形的应用是解题关键．
24.【答案】解：(1)∵h1−8与t成正比例，令h1−8=kt，
∴当t=4时，h1=4，代入得4−8=4k，
解得：k=−1，
∴h1与t的函数关系式为：h1=−t+8．
∵h2与t成一次函数对应关系，设h2=mt+n，
当t=1时，h2=4，
当t=3时，h2=8，
∴4=m+n8=3m+n，
解得：m=2n=2，
∴h2与t的函数关系式：h2=2t+2．
当t=0时，h2=2，未注水时乙容器原有水的高度为2cm．
(2)甲、乙两个容器的平衡高度，
即h1=h2，故有：−t+8=2t+2．
求得：t=2．
∴此时的平衡高度为h1=h2=6．
答：两个容器的平衡高度为6cm．
(3)设乙容器原有水的高度为acm，h2=2t+a．
当甲容器无水可注时，h1=0，
求得：t=8，
将t=8，代入20=8×2+a中，
求得：a=4．
符合条件的乙容器原有水的高度为4cm．
【解析】(1)由题意得h1−8=kt，从而可求得k=−1，再由h2与t成一次函数对应关系，设h2=mt+n，从而得4=m+n8=3m+n，可解得m=2n=2，则可求解；
(2)平衡高度即有h1=h2时，得−t+8=2t+2，从而可求解；
(3)设乙容器原有水的高度为acm，h2=2t+a，从而可求解．
本题主要考查一次函数的应用，解答的关键是理解清楚题意找到相应的等量关系．
25.【答案】3
【解析】解：(1)在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=5，AB=4，
∴BC= AC2−AB2= 52−42=3．
故答案为：3．
(2)当0当35(3)①当MQ//PN时，CMMN=CQPQ，
∵CQ=PQ，
∴CM=MN，
∴5t=6−10t，
解得t=25，
此时MN=6−10×25=2．
②如图1中，当NQ⊥AC时，∠CNQ=∠A，此时CN=MN．

在Rt△CPM中，CP=3t，
∵△CPM∽△CBA，
∴CPCB=PMAB=CMAC，
∴3t3=PM4=CM5，
∴PM=4t，AM=5t，
∵M，N关于点B对称，
∴BM=BN=5t−3，
∴CN=5t−2(5t−3)，
∴5t−2(5t−3)=2(5t−3)，
∴t=45，
如图2中，当∠CNA=∠A时，过点Q作QH⊥BC于H．

∵CQ=1.5t，
∴CH=35CQ=910t，QH=45CQ=65t，
∵BN=BM=5t−3，
∴CN=5t−3−3=5t−6，
∴NH=CN+CH=5t−6+910t=5910t−6，
∵tan∠CNA=HQNH=34，
∴65t5910t−6=34，
∴t=6043，
经检验t=6043是分式方程的解，
综上所述，满足条件的t的值为45或6043．
(1)利用勾股定理求解即可．
(2)分两种情形：当0(3)证明CM=MN，由此构建方程，可得结论．
(4)分两种情形：如图1中，当NQ⊥AC时，∠CNQ=∠A，此时CN=MN，由此构建方程，即可解决问题．.如图2中，当∠CNA=∠A时，过点Q作QH⊥BC于H.根据tan∠CNA=HQNH=34，构建方程，可得结论．
本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
26.【答案】解：(1)把A(−1,6)代入y=ax2−4ax+1，得a+4a+1=6，解得a=1，
∴抛物线的解析式为y=x2−4x+1．
(2)∵y=ax2−4ax+1=a(x−2)2−4a+1，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
∵抛物线的顶点的横坐标在1≤x≤5的范围内，
∴抛物线的顶点的纵坐标就是y的最小值−1，
∴−4a+1=−1，
解得a=12，
∴抛物线的解析式为y=12x2−2x+1，
当1≤x≤2时，y随x的增大而减小，当x=1时，y最大=12−2+1=−12；
当2∵−12<72，
∴y的最大值为72．
(3)∵直线y=−x+1及抛物线y=ax2−4ax+1与y轴的交点都是(0,1)，
∴直线y=−x+1与抛物线y=ax2−4ax+1的两个交点到x轴的距离都是1，且其中一个交点坐标为(0,1)，
∴另一个交点的纵坐标为−1，
当y=−1时，由−1=−x+1，得x=2，
∴另一交点坐标为(2,−1)，
把(2,−1)代入y=ax2−4ax+1得4a−8a+1=−1，解得a=12．
(4)由题意可知，抛物线G与抛物线G′围成的封闭区域是以x轴为对称轴的轴对称图形，
∴该区域内x轴上有三个横、纵坐标均为整数的点，x轴的下方和上方各有四个这样的点，且两两关于x轴对称．
如图，对于抛物线G，当x=1时，y=−3a+1；当x=2时，y=−4a+1，
由题意，得−2≤−3a+1<−1−3≤−4a+1<−2，
解得34∴a的取值范围是34【解析】(1)将A(−1,6)代入y=ax2−4ax+1，列方程求出a的值；
(2)求出抛物线的对称轴为直线x=2，可知顶点的纵坐标就是y的最小值−1，由此求出抛物线的解析式，再由二次函数的性质求出y的最大值；
(3)由直线与抛物线都经过y轴上的定点(0,1)，可知直线与抛物线的两个交点到x轴的距离都为1，由另一个交点的纵坐标为−1，求出这个点的坐标并且代入抛物线的解析式即可求出此时a的值；
(4)抛物线G与抛物线G′围成的封闭区域是以x轴为对称轴的轴对称图形，这样只考虑x轴下方(或上方)的情况即可，即抛物线G当x等于1时的y值不小于−2而小于−1，其顶点的纵坐标不小于−3而小于−2，列不等式组求出a的取值范围．
此题重点考查二次函数的图象与性质、轴对称的特征以及列不等式组求取值范围等知识和方法，解题的关键是数形结合，确定所需要的数量关系，利用函数解析式列方程或不等式组，此题中等难度，是很好的练习题．
t(分)
1
3
h2(cm)
4
8

2023年河北省唐山市路南区中考数学二模试卷

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