2023北京密云高一（上）期末数学（教师版）

2023北京密云高一（上）期末

数    学

2023.1

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 设命题：，则的否定为（    ）

A.  B.

C  D.

3. 若，，则角是　　

A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角

4. 下列函数中，既是奇函数，又在上单调递减是（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 下列不等式成立的是（    ）

A. 若，则 B. 若，则

C. 若，则 D. 若，则

6. 在平面直角坐标系中，角以射线为始边，终边与单位圆的交点位于第四象限，且横坐标为，则的值为（    ）

A  B.  C.  D.

7. 已知函数，则此函数的最小值等于（    ）

A.  B.  C.  D.

8. “是第一象限角”是“是单调减函数”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

9. 香农定理是通信制式的基本原理．定理用公式表达为：，其中为信道容量（单位：），为信道带宽（单位：），为信噪比．通常音频电话连接支持的信道带宽，信噪比．在下面四个选项给出的数值中，与音频电话连接支持的信道容量最接近的值是（    ）

A.  B.  C.  D.

10. 定义在上的奇函数，满足且对任意的正数，有，则不等式的解集是（    ）

A.  B.

C.  D.

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11. 函数的定义域为______.

12. 已知扇形的圆心角是弧度，半径为，则扇形的弧长为______，面积为______．

13. 计算： ______．（用数字作答）

14. 函数的定义域是______，最小正周期是______．

15. 混沌理论在生物学、经济学和社会学领域都有重要作用．在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设是定义在上的函数，对于，令，若使得，且当，时，，则称是的一个周期为的周期点．给出下列四个结论：

①若，则是周期为的周期点；

②若，则是周期为的周期点；

③若，则存在周期为的周期点；

④若，则，都不是的周期为的周期点．

其中所有正确结论的序号是______．

三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

16. 已知集合，．

（1）当时，求，；

（2）当时，求；

（3）当时，求的取值范围．

17. 已知函数，．

（1）求和值，并画出函数的图象；

（2）写出函数的单调增区间和值域；

（3）若方程有四个不相等的实数根，写出实数的取值范围．

18. 设函数，关于的不等式的解集为．

（1）当时，求函数的零点；

（2）当时，求解集；

（3）是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

19. 已知函数在一个周期内的图象如图所示．

（1）求函数解析式和最小正周期；

（2）求函数在区间上的最值及对应的x的取值；

（3）当时，写出函数的单调区间．

20. 已知函数．

（1）求函数的定义域；

（2）判断函数的奇偶性，并证明你的结论；

（3）若对于恒成立，求实数的最小值．

21. 已知集合，规定：集合中元素的个数为，且．若，则称集合是集合的衍生和集．

（1）当，时，分别写出集合，的衍生和集；

（2）当时，求集合的衍生和集的元素个数的最大值和最小值．

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1. 【答案】C

【解析】

【分析】由交集的定义求解即可

【详解】因为，，

所以，

故选：C

2. 【答案】B

【解析】

【分析】

本题根据题意直接写出命题的否定即可.

【详解】解：因为命题：，

所以的否定：，

故选：B

【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，是基础题.

3. 【答案】D

【解析】

【分析】利用三角函数的定义，可确定，进而可知在第四象限．

【详解】根据三角函数的定义有，所以，

所以在第四象限，故选D．

【点睛】当的终边在不同象限的时候，其三个三角函数值的符号也发生变化，记忆的口诀是“全正切余”即：第一象限全为正，第二象限正弦正，第三象限切为正，第四象限余弦正．

4. 【答案】A

【解析】

【分析】根据奇偶性定义、幂函数、正弦函数单调性依次判断各个选项即可.

【详解】对于A，令，则其定义域为，又，为奇函数；

由幂函数性质知：在上单调递减，A正确；

对于B，当时，为增函数，B错误；

对于C，令，则其定义域为，又，为偶函数，C错误；

对于D，令，则其定义域为，又，为偶函数，D错误.

故选：A.

5. 【答案】B

【解析】

【分析】通过反例可知AD错误；利用作差法可知C错误；根据幂函数单调性可知B正确.

【详解】对于A，若，则，A错误；

对于B，在上单调递增，当时，，B正确；

对于C，，，，C错误；

对于D，当，时，，D错误.

故选：B.

6. 【答案】A

【解析】

【分析】根据三角函数定义和同角三角函数关系可得，利用诱导公式可求得结果.

【详解】由题意知：，又为第四象限角，，

.

故选：A.

7. 【答案】D

【解析】

【分析】将函数配凑为，利用基本不等式可求得结果.

【详解】，，

（当且仅当，即时取等号），

的最小值为.

故选：D.

8. 【答案】D

【解析】

【分析】通过反例可说明充分性不成立；由余弦函数的单调递减区间可知必要性不成立，由此可得结论.

【详解】若，，此时且均为第一象限角，此时，不满足单调减函数定义，充分性不成立；

若为单调减函数，则，此时未必为第一象限角，必要性不成立；

综上所述：“是第一象限角”是“是单调减函数”的既不充分也不必要条件.

故选：D.

9. 【答案】A

【解析】

【分析】将代入公式中，根据对数运算法则和近似值可求得结果.

【详解】由题意知：.

故选：A.

10. 【答案】C

【解析】

【分析】根据函数单调性定义可知在上单调递减，结合奇偶性可知在上单调递减且；分别在和的情况下，利用单调性解不等式即可.

【详解】对任意的正数，有，在上单调递减；

为定义在上的奇函数，在上单调递减且；

，；

当时，可化为，，解得：；

当时，可化为，，解得：；

综上所述：不等式的解集为.

故选：C.

【点睛】方法点睛：本题考查利用函数单调性和奇偶性求解函数不等式的问题，解决此类问题中，奇偶性和单调性的作用如下：

（1）奇偶性：统一不等式两侧符号，同时根据奇偶函数对称性确定对称区间的单调性；

（2）单调性：将函数值的大小关系转化为自变量之间的大小关系.

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11. 【答案】

【解析】

【分析】

根据解析式列出不等式，求出使解析式有意义的自变量的范围，即可得出结果.

【详解】由解得且，

即函数的定义域为.

故答案为：.

12. 【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】根据扇形弧长和面积公式直接求解即可.

【详解】扇形弧长；扇形面积.

故答案为：；.

13. 【答案】

【解析】

【分析】根据对数运算和指数运算法则直接计算即可.

【详解】.

故答案为：.

14. 【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】由可解得函数的定义域；由正切型函数最小正周期求法可求得结果.

【详解】由得：，

定义域为；

的最小正周期.

故答案为：；.

15. 【答案】②③④

【解析】

【分析】当时，由可知，不符合定义，知①错误；假设是周期为的周期点，验证可知，成立，知②正确；令，可得，，，知③正确；由二次函数值域知恒成立，从而得到④正确.

【详解】对于①，当时，，

，解得：，

又，，不满足当，时，，

不是周期为的周期点；

对于②，假设是周期为的周期点，则需，；

，，

假设成立，②正确；

对于③，当时，，，

，是周期为的周期点，③正确；

对于④，，恒成立，

不存在的情况，

即，都不是的周期为的周期点，④正确.

故答案为：②③④.

【点睛】关键点点睛：本题考查函数中的新定义问题，解题关键是明确是的一个周期为的周期点的定义，即需同时满足和的条件，根据递推关系式验证是否满足定义即可得到结论.

三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

16. 【答案】（1），   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）化简集合，即可得到，

（2）化简集合，求出，即可得到

（3）化简集合，根据，即可求出的取值范围

【小问1详解】

由题意

在和中，

∴

∴，

【小问2详解】

由题意及（1）得

在和中，

∴

∴

∴

【小问3详解】

由题意及（1）（2）得

在和中，

∵

∴

解得：

∴的取值范围为

17. 【答案】（1），；图象见解析   

（2）单调增区间为，；值域为   

（3）

【解析】

【分析】（1）根据解析式可直接求得函数值；将在轴下方的图象翻折到轴上方即可得到的图象；

（2）根据图象可直接得到单调增区间和值域；

（3）将问题转化为图象与有四个不同的交点，结合图象可得结果.

【小问1详解】

，，

，.

图象如下图所示，

【小问2详解】

由图象可知：的单调增区间为，；的值域为.

【小问3详解】

若有四个不相等的实数根，则图象与有四个不同的交点，

结合图象可知：，即实数的取值范围为.

18. 【答案】（1）和   

（2）   

（3）存在实数

【解析】

【分析】（1）令，解方程即可求得零点；

（2）解一元二次不等式即可求得解集；

（3）根据一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系，结合韦达定理可构造方程组求得的值.

【小问1详解】

当时，；

令，解得：或，

零点为和.

【小问2详解】

当时，，解得：，

即.

【小问3详解】

假设存在实数，使得，

则且是方程的两根，，

解得：；

存在实数，使得.

19. 【答案】（1）   

（2）答案见解析    （3）减区间；增区间

【解析】

【分析】（1）由函数的图象的最值点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式．

（2），根据正弦函数性质求得函数在区间上的最值及对应的x的取值；

（3）当时，分两种情况讨论，可写出函数的单调区间．

【小问1详解】

由函数在一个周期内的图象可得：

，

再根据五点法作图可得

,

【小问2详解】

，

时，函数在区间上的最大值为

时，函数在区间上的最小值为

【小问3详解】

，故函数的单调减区间是；

，故函数的单调增区间是；

20. 【答案】（1）   

（2）偶函数，证明见解析   

（3）

【解析】

【分析】（1）根据对数真数大于零可直接解不等式求得定义域；

（2）根据奇偶性的定义直接判断即可得到结论；

（3）由对数真数大于零首先确定恒成立时的范围；由对数不等式可得，采用分离变量法，结合对勾函数性质可求得的范围；综合即可得到的最小值.

【小问1详解】

由得：，，即的定义域为.

【小问2详解】

由（1）知：定义域关于原点对称，

，为偶函数.

【小问3详解】

当时，恒成立，

则当时，，满足题意；当时，，解得：；

；

由得：，；

在上单调递减，在上单调递增，

，；

综上所述：实数的最小值为.

21. 【答案】（1）的衍生和集；的衍生和集   

（2）最大值为，最小值为

【解析】

【分析】（1）由衍生和集定义可直接写出结果；

（2）设，，列举得到所有必然不相等的两个元素之和的情况，由此得到最小值；假设任意两个元素之和都不相等，可确定最大值.

【小问1详解】

由衍生和集的定义知：集合的衍生和集；集合的衍生和集.

【小问2详解】

当时，设集合，且；

，

集合的衍生和集的元素个数的最小值为；

若集合中任意两个元素的和不相等，则衍生和集的元素个数取得最大值，最大值为；

最大值为，最小值为.

【点睛】关键点点睛：本题考查集合中的新定义问题，解题关键是明确衍生和集的本质是集合中两个元素之和，根据集合中元素的互异性可确定衍生和集中元素个数最小和最大的情况.