甘肃省定西市2022-2023学年高三下学期第二次模拟考试理科数学试卷（含解析）

这是一份甘肃省定西市2022-2023学年高三下学期第二次模拟考试理科数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
甘肃省定西市2022-2023学年高三下学期第二次模拟考试理科数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________一、单选题1．有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不正确的是（    ）A．①③ B．②④⑤ C．①②⑤⑥ D．③④2．复数的共轭复数在复平面内的对应点为（    ）A． B． C． D．3．在矩形中，，，若点、分别是，的中点，则（    ）A． B． C． D．4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（    ）A．8 B．16 C．24 D．325．已知抛物线的焦点，准线为，是上一点，是直线与的交点，若，则（    ）A．4 B． C．或 D．6．已知数列是通项和公差都不为零的等差数列，，则等于（    ）A． B． C． D．7．中国古代数学著作《算法统综》中有这样的一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”.其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问此人第2天走的路程为A．24里 B．48里 C．72里 D．96里8．已知点，，则直线的斜率是（      ）A． B． C．5 D．19．如图，二面角α-l-β的大小是60°，线段AB⊂α，B∈l，AB与l所成的角为30°，则AB与平面β所成的角的正弦值是（    ）A． B． C． D．10．已知弧度的圆心角所对的弦长为，那么这个圆心角所对的弧长是（   ）A． B． C． D．11．直线l：与圆C：交于A，B两点，则当弦AB最短时直线l的方程为A． B．C． D．12．已知函数，若，，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D． 二、填空题13．若实数x，y满足约束条件，则的最大值是 _________.14．在等差数列中，已知，则___________.15．已知函数，下面有四个结论：①当时，在上单调递减；②若函数恰有2个零点，则的取值范围是；③若函数无最小值，则的取值范围是；④若方程有三个实数根，其中，则不存在实数，使得．其中所有正确结论的序号是___________．16．若函数有3个零点，则实数的取值范围是___ 三、解答题17．为了解“大数据时代”下大学生就业情况的满意度，某调查小组在，两所大学各随机抽取名毕业生进行问卷计分调查（满分分），打分如下所示：校：，，，，，，，，，校：，，，，，，，，，(1)分别估计，两所大学毕业生问卷计分调查的平均值；(2)若规定打分在分及以上的为满意，分以下的为不满意，从上述满意的毕业生中任取人，求这人来自同一所大学的概率.18．在锐角△ABC中，，，（1）求角A；（2）求△ABC的周长l的范围.19．如图，在四棱锥中，是边长为2的正三角形，，，，，，，分别是线段，的中点．(1)求证：平面；(2)求证：平面平面．20．已知椭圆的左､右焦点分别是和，点在椭圆上，且的周长是.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知为椭圆上三点，若有，求的面积.21．已知函数．(1)求曲线在处的切线方程；(2)求函数的极值．22．在平面直角坐标系中，直线的方程为为参数，曲线经过伸缩变换后得到曲线.以点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求直线的极坐标方程和曲线的普通方程；(2)设射线与直线和曲线分别交于点，求的最大值.23．已知函数．(1)若对，恒成立，求实数n的取值范围；(2)若的最小值为4，且正数a，b，c满足a＋2b＋c＝n，求的最小值．
参考答案：1．D【分析】根据集合相等的定义、子集的定义、空集的性质，结合元素与集合的关系进行判断即可.【详解】对①：因为集合元素具有无序性，显然①正确；对②：因为集合，故正确，即②正确；对③：空集是一个集合，而集合是以为元素的一个集合，因此，故③不正确；对④：是一个集合，仅有一个元素0，但是空集不含任何元素，于是，故④不正确；对⑤：由④可知，非空，于是有，因此⑤正确；对⑥：显然成立，因此⑥正确．综上，本题不正确的有③④，故选：D2．B【分析】利用复数的乘除法运算法则化简复数得，再根据共轭复数的概念得其共轭复数为，再根据复数的几何意义可得结果.【详解】，其共轭复数为，在复平面内的对应点为.故选：B【点睛】本题考查了复数的乘除法运算法则，考查了共轭复数的概念，考查了复数的几何意义，属于基础题.3．B【分析】以点A为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，写出向量的坐标，利用数量积的坐标运算即可求解.【详解】解：以点A为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如图所示的平面直角坐标系，则、、、，，，，故选：B.4．B【分析】首先还原几何体，再利用锥体的体积公式，即可求解.【详解】由题意可知几何体的形状如图：是矩形，，所以几何体的体积为.故选：B．5．C【分析】结合抛物线的定义以及求得的值.【详解】依题意，当时，过作，交于，根据抛物线的定义得.当时，过作，交于，根据抛物线的定义得.综上所述，的值为或.故选：C6．A【分析】设数列公差为，利用裂项相消法求.【详解】设数列的公差为，则，所以，故选：A.7．D【分析】由题意可知，每天走的路程里数构成以为公比的等比数列，由S6=378求得首项，再由等比数列的通项公式求得a2的值，即可得该人第2天走的路程里数，可得答案．【详解】根据题意，记每天走的路程里数为{an}，可知{an}是公比q=的等比数列，由S6=378，得S6==378，解可得a1=192，则a2=a1×q=192×=96；即此人第二天走的路程里数为96,故答案为D【点睛】本题考查等比数列的前n项公式的应用，关键是正确分析题意，确定等比数列的数学模型．8．D【分析】根据直线的斜率公式，准确计算，即可求解，得到答案.【详解】由题意，根据直线的斜率公式，可得直线的斜率，故选D.【点睛】本题主要考查了直线的斜率公式的应用，其中解答中熟记直线的斜率公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.9．C【分析】作AO⊥β于O，AC⊥l于C，连接OB，OC，则,,设AB与β所成的角为θ，则∠ABO＝θ，解三角形得解.【详解】如图，作AO⊥β于O，AC⊥l于C，连接OB，OC，则OC⊥l．则,,设AB与β所成的角为θ，则∠ABO＝θ，由图得sinθ＝＝＝sin30°·sin60°＝．故选：C【点睛】方法点睛：求空间的角常用的方法有：（1）几何法（找作证指求）；（2）向量法.要根据已知条件灵活选择方法求解.10．C【分析】首先求得扇形半径，再利用扇形弧长公式求得结果.【详解】弧度的圆心角所对的弦长为，半径，所求弧长为.故选：C.11．A【分析】先求出直线经过的定点，再求出弦AB最短时直线l的方程.【详解】由题得，所以直线l过定点P.当CP⊥l时，弦AB最短.由题得,所以.所以直线l的方程为.故选A【点睛】本题主要考查直线过定点问题，考查直线方程的求法，考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12．D【分析】先判断函数的奇偶性，然后根据奇偶性对不等式化简，再判断函数的单调性，然后利用单调性将不等式转化为，从而可求出实数的取值范围【详解】函数的定义域为，因为，所以为奇函数，所以可化为，即，任取，且，则，因为，所以，所以，即，所以在上为增函数，所以由，得，所以，所以，即实数的取值范围是，故选：D13．##【分析】画出可行域，通过平移基准直线到可行域边界位置，由此求得的最大值.【详解】，画出可行域如下图所示，由图可知，平移基准直线到点时，取得最大值为.故答案为：14．【分析】方法一：根据等差数列的性质即可求解.方法二：根据等数列的定义得出公差，代入等差数列的通项公式即可求解.【详解】方法一：由等差数列的性质可得：，所以，又因为，所以，故答案为：.方法二：因为在等差数列中，已知，所以公差，则，故答案为：.15．①②④【分析】①结合二次函数的单调性判断即可；②将函数恰有2个零点，转化为在上有两个零点，进而根据二次函数的零点问题即可判断；③求出分段函数在各段的值域，分析即可求出结果；④结合二次函数的对称性以及不等式的性质即可判断．【详解】①当时，，因为函数的对称为，且开口向上，所以在上单调递减，故①正确；②因为时，，故在无零点，因此若函数恰有2个零点，即在上有两个零点，因此，即，则的取值范围是，故②正确；③因为时，，故在上的值域为，若函数无最小值，则需满足在上的最小值大于0，若，即，此时在上单调递减，所以，符合题意；若，即，此时在上单调递减，在上单调递增，所以，即，因此，综上所述的取值范围是，故③错误；④假设存在方程有三个实数根，其中，则有，则，当且仅当时，等号成立，而，即，则不存在实数，使得，故④正确．故答案为：①②④.【点睛】二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．16．【解析】结合与的图象，判断出当时，的零点个数.由此判断出当时，的零点个数.画出时的图象，由此求得的取值范围.【详解】画出与的图象如下图所示，由图可知，当时，与的图象有个交点，也即的图象有个零点.所以当时，有个零点.当时，画出的图象如下图所示，由图可知，要使与只有个交点，则需或.所以的取值范围是.故答案为：【点睛】研究分段函数零点问题，可结合函数图象，将零点问题转化为函数交点个数问来研究.17．(1)，(2) 【分析】（1）由样本平均数估计总体平均数即可；（2）使用古典概型概率公式进行计算即可.【详解】（1）大学随机抽取的名毕业生问卷计分调查的平均值为：，由此估计大学毕业生问卷计分调查的平均值为；大学随机抽取的名毕业生问卷计分调查的平均值为：，由此估计大学毕业生问卷计分调查的平均值为.（2）方法一：由已知，上述毕业生中，大学打分为满意的学生共有人，分别记为，大学打分为满意的学生共有人，分别记为，从这人中任取人，所有的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，共个，设事件“人来自同一所大学”，则事件中的基本事件有：，，，，，，共个，∴从上述满意的毕业生中任取人，这人来自同一所大学的概率.方法二：由已知，上述毕业生中，、大学打分为满意的学生均有人，共人，从这人中任取人，基本事件有个，人均来自大学的基本事件有个，人均来自大学的基本事件有个，设事件“人来自同一所大学”，∴从上述满意的毕业生中任取人，这人来自同一所大学的概率.18．（1）.（2）【分析】（1）根据正弦定理边化角以及两角和的正弦公式，可得，可得；（2）利用正弦定理将表示为的函数，根据锐角三角形得的范围，再根据正弦函数的图象可得结果.【详解】（1）∵，，所以，所以，所以，因为，所以， ，所以.（2），所以,所以，，所以因为△ABC是锐角三角形，且，所以，解得，所以，所以，所以.【点睛】本题考查了正弦定理、两角和的正弦公式、锐角三角形的概念和正弦函数的图象的应用，属于中档题.19．(1)证明见解析(2)证明见解析 【解析】（1）证明：如图，取中点，连，．∵为中位线，∴，又平面，平面，∴平面．同理，在梯形中，，又平面，平面，∴平面，且平面，平面，，∴平面平面．又平面，所以平面．（2）证明：如上图，在四边形中，过作交于，在中，得，，，则，得，∵，∴．又由已知条件，，故平面．又平面，∴平面平面．20．（1）；（2）.【分析】（1）根据题设条件和椭圆的定义得到，求得，得到，进而求得，即可求得椭圆的方程；当直线斜率存在时，设方程为：，联立方程组求得，根据，求得，结合点到直线的距离公式和面积公式，求得；当直线斜率不存在时，得到直线AB方程为，求得，即可求解.【详解】（1）由题意，双曲线的焦点和，可得，因为的周长是，可得所以，即，可得，又由，所以椭圆的方程是.当直线斜率存在时，设方程为：，，联立方程组，整理得，则由，可得，又由，可得所以，将代入椭圆方程可得，整理得，又到直线的距离为，则，又由，可得点为的重心，所以；当直线斜率不存在时，根据坐标关系可得，直线AB方程为，可得，所以，所以，综上可得：.【点睛】直线与圆锥曲线的综合问题的求解策略：对于直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用问题，通常联立直线方程与圆锥曲线方程，应用一元二次方程根与系数的关系，以及弦长公式等进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力．21．(1)(2)极小值，无极大值 【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程；（2）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解.【详解】（1）因为，所以，当时，，所以切线方程为，即；（2）由题可得的定义域为．令，即，得或（舍去），令，得，令，得，故在上单调递减，在上单调递增，所以存在极小值，无极大值．22．(1)，；(2). 【分析】（1）通过加法消元求得直线的普通方程，再利用求得其极坐标方程；对曲线通过变换，即可容易求得其直角坐标方程；（2）求得曲线的极坐标方程，联立与直线和曲线的极坐标方程，求得，将目标式转化为关于的三角函数，求其最值即可.【详解】（1）对直线的参数方程，两式相加可得，且，由，得，又对曲线，经过变换，则，即，所以直线的极坐标方程为，曲线的普通方程为.（2）直线极坐标方程整理得，即，曲线变形得，即，，由题可知，，则当且仅当，即，，当时，的最大值为.23．(1)(2) 【分析】（1）由绝对值三角不等式得，由题意知，即可得出的取值范围；（2）由题意得，利用基本不等式求出的最小值，从而得出答案．【详解】（1）由绝对值三角不等式得，当且仅当时等号成立，即，由题意知，所以或，即或．综上，的取值范围是．（2）由（1）知，的最小值为，所以，解得或．当时，，不符合题意，故舍去．从而，即．，当且仅当，即时等号成立，所以，综上，的最小值为．