2021北京陈经纶中学初一（下）期中数学（教师版）

2021北京陈经纶中学初一（下）期中

数    学

一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.

1．（3分）下列实数中无理数是　　

A． B． C． D．

2．（3分）下列各组图形可以通过平移互相得到的是　　

A． B． 

C． D．

3．（3分）已知是关于、的二元一次方程的一个解，则的值为　　

A．5 B． C． D．

4．（3分）如图，直线，直线分别与，交于点，，过点作于点，若，则的度数为　　

A． B． C． D．

5．（3分）估计的值在　　

A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间

6．（3分）二元一次方程的正整数解个数是　　

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

7．（3分）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重两，每枚白银重两，根据题意得　　

A． B． 

C． D．

8．（3分）如图，点在延长线上，、交于，且，，比的余角小，为线段上一动点，为上一点，且满足，为的平分线．则下列结论：

①；

②平分；

③；

④的角度为定值．

其中正确结论的个数有　　

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.

9．（3分）的立方根是 　　．

10．（3分）把命题“两直线平行，内错角相等”改写成“如果，那么”的形式为 　　．

11．（3分）如图所示，、、三点在同一直线上，、、三点在同一直线上，请你添加一个条件，使，你添加的条件是　　（不允许添加任何辅助线）．

12．（3分）如图，将三角形沿射线方向平移得到三角形．若三角形的周长为，则四边形的周长为 　　．

13．（3分）已知，则的值是 　　．

14．（3分）若方程组的解也是二元一次方程的一个解，则　　．

15．（3分）现在规定一种新运算：一，如果成立，则　　．

16．（3分）阅读下面求近似值的方法，回答问题：

①任取正数；

②令，则；

③令，则；

以此类推次，得到．

其中称为的阶过剩近似值，称为的阶不足近似值．

仿照上述方法，求的近似值：

①取正数；

②于是　　，则　　；

③的3阶不足近似值是　　．

三、解答题：本大题共10个小题，共52分，其中17-24题每题5分，25、26题每题6分.

17．（5分）计算：．

18．（5分）解方程组：．

19．（5分）已知：如图，四边形．

（1）过点画直线交于；

（2）过点画线段于；

比较线段与的大小：　　 “”“ ”或“”填空），

你的依据是　　．

（3）测量点到直线的距离为　　．（精确到

20．（5分）完成下面的证明．

已知：如图，于，于，．

求证：平分．

证明：，，

，．　　

．

．（两直线平行，同位角相等）

．　　

又，

．

平分．　　

21．（5分）如图，，于，平分，求的度数．

22．（5分）已知和是关于，的二元一次方程的解， 求，的值 ．

23．（5分）列方程组解应用题：

口罩是疫情防控的重要物资，某药店销售、两种品牌口罩，购买2盒品牌和3盒品牌的口罩共需480元；购买3盒品牌和1盒品牌的口罩共需370元．求这两种品牌口罩的单价．

24．（5分）已知某正数的两个平方根分别是和，的立方根是，求的算术平方根．

25．（6分）阅读理解：已知实数，满足①，②，求和的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下列问题：

（1）已知二元一次方程组，则　　，　　；

（2）买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，求购买5支铅笔、5块橡皮5本日记本共需多少元？

（3）对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是实数运算．已知，，求的值．

26．（6分）如图1，，在、内有一条折线．

（1）求证：；

（2）在图2中，画的平分线与的平分线，两条角平分线交于点，请你补全图形，试探索与之间的关系，并证明你的结论；

（3）在（2）的条件下，已知和均为钝角，点在直线、之间，且满足，，（其中为常数且，直接写出与的数量关系．

参考答案

一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.

1．【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．

【解答】解：、是无理数，故本选项符合题意；

、是分数，属于有理数，故本选项不合题意；

、是循环小数，属于有理数，故本选项不合题意；

、，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；

故选：．

【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．

2．【分析】根据平移不改变图形的形状和大小，将题中所示的图案通过平移后可以得到的图案是．

【解答】解：观察图形可知图案通过平移后可以得到．

故选：．

【点评】本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转，而误选、、．

3．【分析】把代入方程，得出一个关于的方程，求出方程的解即可．

【解答】解：是关于、的二元一次方程的一个解，

代入得：，

解得：，

故选：．

【点评】本题考查了二元一次方程的解和解一元一次方程，能得出关于的一元一次方程是解此题的关键．

4．【分析】根据平行线的性质及垂线的定义可得，由平角的定义可求解的度数．

【解答】解：如图，

，，

，

，

，，

．

故选：．

【点评】本题主要考查平行线的性质，垂线的定义，掌握平行线的性质是解题的关键．

5．【分析】估算出的值即可求解．

【解答】解：，

，

故选：．

【点评】此题考查了估算无理数的大小，正确估算出的大小是解题的关键．

6．【分析】先将方程变形为用含的代数式表示的形式，再根据其分母特点确定其正整数解．

【解答】解：，

，

当时，；

当时，；

故选：．

【点评】本题主要考查二元一次方程的解，解题的关键是熟练掌握用含一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式．

7．【分析】根据题意可得等量关系：①9枚黄金的重量枚白银的重量；②枚白银的重量枚黄金的重量）枚白银的重量枚黄金的重量）两，根据等量关系列出方程组即可．

【解答】解：设每枚黄金重两，每枚白银重两，由题意得：

，

故选：．

【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．

8．【分析】①由可得出，进而可得出，结合可得出，根据“同位角相等，两直线平行”可得出，结论①正确；②由可得出，结合可得出，即平分，结论②正确；③由可得出，结合比的余角小可求出的度数，再由结合三角形内角和定理可求出，结论③正确；④根据角平分线的定义可得出以及，将其代入可求出的角度为定值，结论④正确．综上即可得出结论．

【解答】解：①，

，

．

，

，

，结论①正确；

②，

．

，

，

平分，结论②正确；

③，

．

比的余角小，

．

，，

，结论③正确；

④为的平分线，

．

，

，

，结论④正确．

综上所述：正确的结论有①②③④．

故选：．

【点评】本题考查了平行线的判定与性质、余角和补角、角平分线的定义以及三角形内角和定理，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．

二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.

9．【分析】根据立方根的定义求解即可．

【解答】解：，

的立方根是．

故选．

【点评】此题主要考查了立方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．

10．【分析】根据命题是由题设和结论两部分组成，如果后面是题设，那么后面是结论改写即可．

【解答】解：如果两条平行直线被第三条直线所截，那么内错角相等．

故答案为：如果两条平行直线被第三条直线所截，那么内错角相等．

【点评】本题考查了命题的构成，找出命题的题设和结论是正确改写的关键．

11．【分析】依据平行线的判定方法，即可得出结论．

【解答】解：当或或或时，，

故答案为：或或或．

【点评】本题主要考查了平行线的判定，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．

12．【分析】先根据平移的性质得，，再由的周长为得到，然后利用等线段代换可计算出，于是得到四边形的周长为．

【解答】解：沿方向平移得到，

，，

的周长为，即，

，

即四边形的周长为．

故答案为：．

【点评】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．

13．【分析】根据非负数的性质即可求出与的值，代入计算即可得出答案．

【解答】解：，

，，

解得：，，

．

故答案为：10．

【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确得出，的值是解题关键．

14．【分析】由题意建立关于，的新的方程组，求得，的值，再代入中，求得的值．

【解答】解：由题意得：，

解得，

再代入方程中得：

，

解得，

故答案为：．

【点评】本题考查的是二元一次方程组的解，解决本题的关键是熟记二元一次方程组的解．

15．【分析】根据，由成立，可得：，据此求出的值是多少即可．

【解答】解：，

由成立，

可得：，

，

解得或．

故答案为：4或．

【点评】此题主要考查了定义新运算，以及有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．

16．【分析】根据材料中的公式，将的值代入求出，即可解答．

【解答】解：；

，

，

．

故答案为：②；；③．

【点评】本题主要考查估算无理数的大小，是阅读型问题，解决此类问题时，要认真阅读材料，根据材料中的步骤逐步计算．

三、解答题：本大题共10个小题，共52分，其中17-24题每题5分，25、26题每题6分.

17．【分析】直接利用二次根式的性质、立方根的性质以及绝对值的性质分别化简得出答案．

【解答】解：原式

．

【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．

18．【分析】把①代入②得出，求出，把代入①求出即可．

【解答】解：，

把①代入②，得，

解得：，

把代入①，得，

所以原方程组的解为：．

【点评】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．

19．【分析】（1）根据要求作出图形即可．

（2）根据要求作出图形，利用垂线段最短解决问题．

（3）利用测量法解决问题．

【解答】解：（1）如图，直线即为所求作．

（2）如图，线段即为所求作，

，垂线段最短，

故答案为：，垂线段最短．

（3）测量点到直线的距离为

故答案为：1.5．

【点评】本题考查作图复杂作图，垂线段最短等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

20．【分析】利用平行线的判定和性质，垂线的性质，角平分线的定义即可解决问题．

【解答】证明：，，

，（垂直定义），

．

（同位角相等，两直线平行），

（两直线平行，同位角相等），

（两直线平行，内错角相等），

又，

，

平分（角平分线定义．

故答案为：垂直的定义；，，同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；角平分线定义．

【点评】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．

21．【分析】由已知证得，根据平行线的判定得到，再根据平行线的性质可得；由得到，然后根据角平分线的定义可求得的度数．

【解答】解：，，

，

，

，

，

，

，

，

平分，

．

【点评】本题考查了平行线的判定与性质，垂直的定义，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解决问题的关键．

22．【分析】根据方程的解满足方程， 可得关于，的方程组， 根据解方程组， 可得答案 ．

【解答】解： 根据题意， 得

解得：

【点评】本题考查了二元一次方程组的解， 利用方程的解满足方程得出关于，的方程组是解题关键 ．

23．【分析】设品牌口罩单价为元盒，品牌口罩单价为元盒，根据“购买2盒品牌和3盒品牌的口罩共需480元；购买3盒品牌和1盒品牌的口罩共需370元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．

【解答】解：设品牌口罩单价为元盒，品牌口罩单价为元盒，

依题意得：，

解得：．

答：品牌口罩单价为90元盒，品牌口罩单价为100元盒．

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

24．【分析】首先根据平方根的性质，求出值，再根据立方根的性质求出，代入，求出这个值的算术平方根即可．

【解答】解：某正数的两个平方根分别是和，

可得：，

解得：，

的立方根是，

，

把，代入，

所以的算术平方根是2．

【点评】题目考查了平方根、算术平方根、立方根的性质，解决本题的关键是利用性质求出、值，然后再求的算术平方根，特别是最终求值，是本题的易错点．题目整体较难，适合课后培优训练．

25．【分析】（1）由方程组的两式相减与相加即可得出结果；

（2）设的消毒液单价为元，测温枪的单价为元，防护服的单价为元，由题意列出方程组，即可得出结果；

（3）由定义新运算列出方程组，求出，即可得出结果．

【解答】解：（1），

由①②得：，

①②得：，

，

故答案为：，5；

（2）设铅笔单价为元，橡皮的单价为元，日记本的单价为元，

由题意得：，

由①②得：，

，

答：购买5支铅笔、5块橡皮5本日记本共需30元；

（3）由题意得：，

由①②可得：，

．

【点评】本题考查了三元一次方程组的应用、定义新运算、“整体思想”等知识；熟练掌握“整体思想”，找出等量关系列出方程组是解题的关键．

26．【分析】（1）首先过点作，然后根据，，可得，，据此判断出即可；

（2）首先由（1）可得，；然后根据的平分线与的平分线相交于点，推得，即可判断出．

（3）首先由（1）可得，；然后根据，，推得，即可判断出．

【解答】证明：（1）如图1，过点作，

，

，

，

，，

又，

；

（2）如图2，

，

由（1）可得：，，

的平分线与的平分线相交于点，

，

；

（3）由（1）可得：，，

，，

，

．

【点评】本题考查了平行线的性质的应用，熟练掌握平行线的性质是解答此题的关键。