2023年黑龙江省九年级数学中考模拟题分项选编：轴对称

这是一份2023年黑龙江省九年级数学中考模拟题分项选编：轴对称，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年黑龙江省九年级数学中考模拟题分项选编：轴对称

一、单选题
1．（2023·黑龙江哈尔滨·统考一模）下列图形中，是轴对称图形的是（    ）
A．   B．   C．   D．  
2．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考一模）王老师给全班同学留了一个特色寒假作业，画一张有关兔子的图画，以下四个图形是开学后收上来的图画中的一部分，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2023·黑龙江大庆·统考一模）如图，一个长方形的纸条按如图所示方法折叠压平，则的度数等于（    ）

A．74° B．53° C．37° D．54°
4．（2023·黑龙江鸡西·校考二模）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（    ）
A． B． C． D．
5．（2023·黑龙江佳木斯·统考一模）“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．在下列与扬州有关的标识或简图中，不是轴对称图形的是（    ）
A．B．C． D．
6．（2023·黑龙江绥化·校考一模）下列图案由正多边形拼成，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·黑龙江大庆·大庆一中校考模拟预测）下列图形中，对称轴条数最少的是（   ）
A．等边三角形 B．矩形 C．正方形 D．圆
8．（2023·黑龙江绥化·校考模拟预测）已知：点A（m﹣1，3）与点B（2，n﹣1）关于x轴对称，则（m+n）2019的值为（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．32019
9．（2023·黑龙江绥化·校考二模）如图中，，，，为的中线，点、点分别为线段、上的动点，连接、，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．
10．（2023·黑龙江牡丹江·校考模拟预测）如图，已知，点为边上一点，，点为线段的中点，以点为圆心，线段长为半径作弧，交于点，连接，则的长是（    ）

A．5 B． C． D．
11．（2023·黑龙江绥化·校考模拟预测）如图，已知ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠EPF＝90°，且其顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下四个结论：①PFA≌PEB；②∠PFE＝45°；③EF＝AP；④图中阴影部分的面积是ABC的面积的一半．当∠EPF在ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合），上述结论中始终正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．（2023·黑龙江佳木斯·校联考一模）如图，在ΔABC中，AB=AC，∠A=36°，BE平分∠ABC，DE//BC，则图中等腰三角形共有（    ）个

A．3 B．4 C．5 D．6
13．（2023·黑龙江大庆·大庆一中校考一模）如图，在ΔABC中，AC=DC=DB，∠ACD=100°，则∠B等于（     ）

A．50° B．40° C．25° D．20°

二、填空题
14．（2023·黑龙江牡丹江·校考模拟预测）在中，，，点到的距离是，到的距离是，则等于__________
15．（2023·黑龙江牡丹江·校考模拟预测）如图，三角形纸片ABC中，，在BC边上取一点P，沿AP折叠，使点B与AC延长线上的点D重合，，则__________．

16．（2023·黑龙江鸡西·校考二模）如图，在等边中，D，E分别为边的中点，，且P为上的动点，连接，则的最小值为______．

17．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨工业大学附属中学校校考二模）在中，，点D在内部，且满足，若的面积为13，则___________．

18．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市萧红中学校考一模）在中，，点在边上，连接，若、为等腰三角形，则的度数为________．
19．（2023·黑龙江齐齐哈尔·校联考一模）在中，点在边上，，，是等腰三角形，则的度数是______．
20．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六十九中学校校考二模）是等腰直角三角形，若，则斜边上的高为______．
21．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第四十七中学校考二模）是等边三角形，点D与点A在的同侧，连接，是等腰直角三角形，则的度数为__________．
22．（2023·黑龙江鸡西·校考二模）如图，已知等边△AOC的边长为1，作OD⊥AC于点D，在x轴上取点C1，使CC1＝DC，以CC1为边作等边△A1CC1；作CD1⊥A1C1于点D1，在x轴上取点C2，使C1C2＝D1C1，以C1C2为边作等边△A2C1C2；作C1D2⊥A2C2于点D2，在x轴上取点C3，使C2C3＝D2C2，以C2C3为边作等边△A3C2C3；…，且点A，A1，A2，A3，…都在第一象限，如此下去，则等边△A2021C2020C2021的边A2021C2021中点D2021横坐标为_________．

23．（2023·黑龙江齐齐哈尔·校联考一模）等腰三角形的周长为14，其一边长为3，则它的底边长为_____________．
24．（2023·黑龙江牡丹江·校考模拟预测）△ABC是等腰三角形，若有一个角等于80°，则另两个角度数分别为_____．
25．（2023·黑龙江鸡西·校考二模）如图，△ABC为等边三角形，AB＝3，若点P为△ABC内一动点，且满足∠PAB＝∠ACP，则线段PB长度的最小值为_____．


三、解答题
26．（2023·黑龙江哈尔滨·统考二模）图1，图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B，C均为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中找一格点，按下列要求作图：

(1)在图1中，连接，，使；
(2)在图2中，连接，，，使．
27．（2023·黑龙江牡丹江·校考模拟预测）如图，已知在中，，，于点，点、分别在边和射线上，，于点．

（1）如图1，当点在线段（不含点和点）上时，求证，证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格；

（2）如图2，在（1）中，若平分，求证：；

（3）当点在线段（不含点和点）上时，在备用图中画出相应图形，判断（1） 中结论是否成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．


参考答案：
1．B
【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可．
【详解】将A图沿某直线折叠，直线两旁的部分不能互相重合，所以A不符合题意；
将B图沿竖直的直线折叠，直线两旁的部分能互相重合，所以B符合题意；
将C图沿某直线折叠，直线两旁的部分不能互相重合，所以C不符合题意；
将D图沿某直线折叠，直线两旁的部分不能互相重合，所以D不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的判断，掌握定义是解题的关键．
2．C
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可解答．
【详解】解：A.B.D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C.选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的概念，解决轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．B
【分析】根据折叠性质，得到，选择即可．
【详解】如图，根据题意，得
，

故选B．
【点睛】本题考查了折叠的性质，准确理解折叠的性质是解题的关键．
4．A
【分析】根据轴对称图形的概念对各项分析判断即可得解．
【详解】A．是轴对称图形，故本选项符合题意；
B．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D．不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选A．
【点睛】本题考查判断轴对称图形，理解轴对称图形的概念是解答的关键．
5．C
【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即得答案．
【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，属于基础概念题型，熟知轴对称图形的概念是解题关键．
6．B
【详解】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合．因此，
A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
故选B．
7．B
【分析】轴对称图形的定义为平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，直线叫做对称轴，据此确定对称轴数量即可．
【详解】解：A.等边三角形，有3条对称轴；
B.矩形，有2条对称轴；
C.正方形，有4条对称轴；
D.圆，有无数条对称轴；
故选：B．
【点睛】本题主要考查对称轴的条数，熟练掌握轴对称图形的特征，熟记常见平面图形的对称轴数量，是解题的关键．
8．B
【分析】根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得m、n的值，进而可得答案．
【详解】解：∵点A（m﹣1，3）与点B（2，n﹣1）关于x轴对称，
∴m﹣1＝2，n﹣1＝﹣3，
∴m＝3，n＝﹣2，
∵（m+n）2019＝1，
故选：B．
【点睛】本题考查坐标对称点的特性，熟记知识点是解题关键.
9．A
【分析】连接，过B点作于N点，根据等腰三角形的性质可知垂直平分，接着根据垂线段最短可知：当B、E、F三点共线，且此线与垂直时有最小值，最小值为的长，再利用面积公式可得，即有，问题随之得解．
【详解】连接，过B点作于N点，如图，

∵中，，，为的中线，
∴，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
根据垂线段最短可知：当B、E、F三点共线，且此线与垂直时有最小值，
∴的最小值为的长，
∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴的最小值为，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了垂线段最短，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质等知识，掌握垂线段最短，合理构筑辅助线，是解答本题的关键．
10．A
【分析】根据同圆半径相等可得为等腰三角形，又因为，可得为等边三角形，即可求得BE的长．
【详解】连接OE，如图所示：

∵，点为线段的中点，
∴，
∵以点为圆心，线段长为半径作弧，交于点，
∴，
∴,
∴为等边三角形，
即，
故选：A．
【点睛】本题考查了同圆半径相等，一个角为的等腰三角形，解题的关键是判断出为等边三角形．
11．C
【分析】由等腰直角三角形的性质、角的关系易得PFA≌PEB，再由全等三角形的性质可判断①②④的结论；当E、F分别是AB、AC的中点时，PE⊥AB，由勾股定理得，且，则有EF=AP，否则不相等，即可判断③．
【详解】∵AB=AC，∠BAC＝90°，点P是BC中点
∴∠APB=90°，AP=CP=BP，∠B=∠C=∠CAP=45°
∵∠EPF＝∠APB=90°
∴∠FPA+∠APE=∠APE+∠EPB
∴∠FPA=∠EPB
在△PFA和△PEB中

∴PFA≌PEB
故①正确
∴PF=PE，△PFA的面积=△PEB的面积    
∴
故②正确
∴阴影部分面积=
故④正确
当点E、F分别是AB、AC的中点时，PE⊥AB，则△PAE是等腰直角三角形，由勾股定理得
∵
∴EF=AP
当点E、F不是AB、AC的中点时，则PE与AB不垂直，从而
但
∴EF≠AP
故③错误
所以正确的结论有3个
故选：C
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，关键是证明三角形全等．
12．C
【分析】首先根据已知条件分别计算图中每一个三角形每个角的度数，然后根据等腰三角形的判定：等角对等边解答，做题时要注意，从最明显的找起，由易到难，不重不漏．
【详解】解：∵AB=AC，∠A=36°∴△ABC是等腰三角形，
∠ABC=∠ACB==72°，
BD平分∠ABC，∴∠EBD=∠EBC=36°，
∴∠BEC=72°，
∵ED∥BC，
∴∠AED=∠ADE=72°，∠DEB=∠EBC=36°，
∴在△ADE中，∠AED=∠ADE=72°，AD=AE，△ADE为等腰三角形，
在△ABE中，∠A=∠ABE=36°，AE=BE，△ABE是等腰三角形，
在△BED中，∠EBD=∠BED=36°，ED=BD，△BED是等腰三角形，
在△BEC中，∠C=∠BEC=72°，BE=BC，△BEC是等腰三角形，
所以共有5个等腰三角形．
故选C．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质．解题的关键是求得各个角的度数．
13．D
【详解】试题解析：∵AC=DC=DB，∠ACD=100°，
∴∠CAD==40°，
∵∠CDB是△ACD的外角，
∴∠CDB=∠A+∠ACD=100°=40°+100°=140°，
∵DC=DB，
∴∠B==20°．
故选D．
【点睛】此题很简单，考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质及三角形的内角和定理．
14．2或10
【分析】根据可判断点都在的垂直平分线上，然后分两种情况讨论：①当点在的内部时，②当点O在的外部时，分别计算即可．
【详解】解：∵，
∴点都在的垂直平分线上，
由题意知，分两种情况：
①当点在的内部时，；
②当点O在的外部时，；
故答案为：2或10．
【点睛】本题主要考查了垂直平分线的基本性质．解本题的关键在于分类讨论．
15．20
【分析】先求解 再求解 再利用轴对称的性质可得答案．
【详解】解： ，

，

由对折可得：

由对折可得：
故答案为：
【点睛】本题考查的是轴对称的性质，直角三角形的两锐角互余，掌握以上知识是解题的关键．
16．5
【分析】作点E关于的对称点F，连接，交于点P，由，根据即可求得的最小值．
【详解】解：如图，作点E关于的对称点F，连接，交于点P，

∵等边三角形为轴对称图形，
∴点F在线段上，
∴，
∴，即的最小值为的长，且此时，
根据等边三角形三边上的高相等，即，
∴的最小值为5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，轴对称的性质，掌握轴对称求线段和最小值的方法是解题的关键．
17．
【分析】过点作的垂线段，交的延长线于点，根据题意证明，即可得，根据三角形的面积公式，即可解答．
【详解】
解：如图，过点作的垂线段，交的延长线于点，
，，
，
设的度数为，则的度数为，
，
，
，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，
设，
，
可得方程：，
解得，（舍去），
故．
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的性质，角度的等量代换，作出辅助线是解题的关键．
18．或
【分析】根据题意，分类讨论，为等腰三角形，则①当时；②当时；③当时；图形结合分析，即可求解．
【详解】解：根据题意，如图所示，

∵，
∴，
为等腰三角形，
①当时，
∴，
∵是的外角，
∴，
∴，且，
∵，
∴，解得，，即的度数为；
②如图所示，当时，

∴，
∴，
∵，且，
∴，
∴，解得，，即的度数为；
③当时，则，
∵，
∴，即点与点重合，则与矛盾，故不存在；
综上所述，的度数为或，
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形中等边对等角，三角形内角和、外角和性质是解题的关键．
19．或或
【分析】先求出的角度，再分，，三种情况分类讨论，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
如下图，当，

∴，
∴ ，
当，

∴，
∴，
当，

∴，
∴，
∴，
故答案为：或或．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理．能分类讨论是解题关键．
20．4或/或4
【分析】分为腰或底两种情况，根据等腰直角三角形底边上的高等于底边的一半求解即可．
【详解】解：当为腰时，底边的长为，则斜边上的高为；
当为底时，则斜边上的高为．
故答案为：4或
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质和勾股定理，正确掌握“等腰直角三角形底边上的高等于底边的一半”是解答本题的关键．
21．或或
【分析】分三种情况：当为斜边时；当为斜边时，当为斜边时，结合等边三角形和等腰直角三角形的性质，即可求解．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
如图，当为斜边时，，，

∴，，
∴；
如图，当为斜边时，，，则，

∵，
∴，
∴，
∴；
如图，当为斜边时，，，，

∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
综上所述，的度数为或或．
故答案为：或或
【点睛】本题主要考查了等边三角形和等腰直角三角形的性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
22．
【分析】根据等边三角形的性质分别求出C1C2，C2C3，C3C4，…，C2020C2021的边长，即刻求出OC2021边长，进而求出点C2021、点A2021的横坐标，即可求出点D2021横坐标．
即可解决问题．
【详解】解：∵等边△AOC的边长为1，作OD⊥AC于点D，
∴OC＝1，C1C2＝CD＝OC＝
∴OC，CC1，C1C2，C2C3，…，C2020C2021的长分别为
OC2021＝OC+CC1+C1C2+C2C3，…+C2020C2021＝，
∴点C2021的横坐标为，
∴等边△A2021C2020C2021顶点A2021的横坐标为，
∴等边△A2021C2020C2021的边A2021C2021中点D2021横坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题为坐标规律题，考查了点的坐标和等边三角形的性质，有理数的运算等知识，综合性强，难度大，熟知等边三角形性质，准确找出An点的横坐标变化规律并熟练运算是解题的关键．
23．3
【分析】由于已知长度的边没有指明是等腰三角形的底边还是腰，因此要分类讨论，最后要根据三角形三边关系，判断求出的结果是否符合题意．
【详解】①当3为等腰三角形的底边长时，等腰三角形的腰长为：，
则等腰三角形的三边长为3、5.5、5.5，5.5+5.5＞3，能构成三角形，
②当3为等边三角形的腰长时，等腰三角形的底长为：，
则等腰三角形的三边长为3、3、8，3+3＜8，不能构成三角形，
综上所述，底边长为3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的三边关系，对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．
24．50°，50°或80°，20°．
【分析】已知给出了一个内角是80°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还有用内角和定理去验证每种情况是不是都成立．
【详解】分情况讨论：
（1）若等腰三角形的顶角为80°时，另外两个内角;
（2）若等腰三角形的底角为80°时，它的另外一个底角为80°，顶角为180°-80°-80°=20°．
故答案为：50°，50°或80°，20°．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
25．
【分析】由等边三角形的性质得出∠ABC=∠BAC=60°， AC=AB=3，求出∠APC=120°，当PB⊥AC时，PB长度最小，设垂足为D，此时PA=PC，由等边三角形的性质得出AD=CD=AC=，∠PAC=∠ACP=30°，∠ABD=∠ABC=30°，求出PD=AD．tan30°=AD=，BD=AD=，即可得出答案．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝2，
∵∠PAB＝∠ACP，
∴∠PAC+∠ACP＝60°，
∴∠APC＝120°，
∴点P的运动轨迹是，当O、P、B共线时，PB长度最小，设OB交AC于D，如图所示：
此时PA＝PC，OB⊥AC，
则AD＝CD＝AC＝，∠PAC＝∠ACP＝30°，∠ABD＝∠ABC＝30°，
∴PD＝AD•tan30°＝×＝，
BD＝AD＝，
∴PB＝BD﹣PD＝﹣＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了正三角形的性质、锐角三角函数及特殊角的三角函数值，理解锐角三角函数，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
26．(1)见解析
(2)见解析

【分析】（1）根据勾股定理得；
（2）连接，取中点，．
【详解】（1）解：如图1正确画图．

（2）如图2  正确画图．

【点睛】本题主要考查尺规作图，熟练根据题意作出符合题意的图形是解题的关键．
27．（1）①，②，③（②③可互换）；（2）见解析；（3）成立，理由见解析
【分析】（1）根据外角性质可得∠2=∠4+∠C即∠2﹣∠C=∠4，又∠PBD-∠1=∠3，则①中填，再根据已知利用AAS即可证得；
（2）根据角平分线的定义和全等三角形的性质可证得∠ABP=∠3，根据AAS证得即可证得结论；
（3）根据题意画出图形，仿照（1）思路，先证得，，再利用外角可证得，然后利用AAS证得即可．
【详解】（1）∵，，
∴，
∵
∴
∵，
∴，
∵∠2=∠4+∠C即∠2﹣∠C=∠4，又∠PBD-∠1=∠3，
∴，即∠3=∠4，
∵，，
∴，
在和中，

∴．
故答案为：①，
②
③
（②③可互换）
（2）证明：由（1）可得：，
∵平分，
∴，
∴，
在和中，

∴，
∴，
（3）成立
理由：如图，

∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
，
∴，
∵，，
∴，
在和中，

∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形的外角性质、角平分线的定义，是与三角形有关的综合题，难度适中，熟练掌握三角形的相关知识是解答的关键．