2022-2023学年江苏省盐城市三校联考高一（下）期中数学试卷-普通用卷

2022-2023学年江苏省盐城市三校联考高一（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知复数，其中是虚数单位，是的共轭复数，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知向量，，若与垂直，则实数的值为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知，，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，一个矩形边长为和，绕它的长为的边旋转一周后所得如图的一开口容器下表面密封，是中点，现有一只蚂蚁位于外壁处，内壁处有一米粒，若这只蚂蚁要先爬到上口边沿再爬到点处取得米粒，则它所需经过的最短路程为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知、、是平面上不共线的三点，是的重心，点满足，则与面积比为(    )

A. ： B. ： C. ： D. ：

6.  九章算术涉及算术、代数、几何等诸多领域，书中有如下问题：“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高二丈，问积几何？”其意思为：“有一个圆台，下底周长为丈，上底周长为丈，高为丈，那么该圆台的体积是多少？”已知丈等于尺，圆周率约为，估算出这个圆台体积约有(    )

A. 立方尺 B. 立方尺 C. 立方尺 D. 立方尺

7.  已知的内角，，所对的边分别为，，，满足，则的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知正方形的边长为，现将沿对角线翻折，得到三棱锥记，，的中点分别为，，，则下列结论错误的是(    )

 

A. 与平面所成角的范围是
B. 三棱锥体积的最大值为
C. 与所成角的范围是
D. 三棱锥的外接球的表面积为定值

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥依据欧拉公式，下列说法中正确的是(    )

A. 对应的点位于第二象限 B. 为纯虚数
C. 的模长等于 D. 的共轭复数为

10.  已知，是两个不重合的平面，，是两条不重合的直线，则下列命题正确的是(    )

A. 若，，，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，则与所成的角和与所成的角相等

11.  周髀算经中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为、，其中小正方形的面积为，大正方形面积为，则下列说法正确的是(    )

A. 每一个直角三角形的面积为 B.
C.  D.

12.  在长方体中，，，，动点在平面内且满足，，，则(    )

A. 无论，取何值，三棱锥的体积为定值
B. 当时，的最小值为
C. 当时，直线与直线恒为异面直线
D. 当时，平面

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  化简 ______ ．

14.  已知是等腰直角三角形，，，是外接圆上一点，则的取值范围是______ ．

15.  山西应县木塔如图是世界上现存最古老、最高大的木塔，是中国古建筑中的瑰宝，是世界木结构建筑的典范如图，某校数学兴趣小组为测量木塔的高度，在木塔的附近找到一建筑物，高为米，塔顶在地面上的射影为，在地面上再确定一点三点共线，测得约为米，在点，处测得塔顶的仰角分别为和，则该小组估算的木塔的高度为______ 米
 

16.  如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，球的半径，，分别为圆柱上、下底面的圆心，为球心，为底面圆的一条直径，若为球面和圆柱侧面的交线上一动点，线段与的和为，则的取值范围为______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知．
若为锐角，求的值；
求的值．

18.  本小题分
已知复数．
若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围；
若，在复平面为坐标原点内对应的点分别为，求向量在向量上的投影向量的坐标．

19.  本小题分
如图，在中，，，，点为边的中点，．
求；
求的面积．

20.  本小题分
已知的内角，，所对的边分别为，，，且．
求；
若的面积为为内角的角平分线，交边于点，求线段长的最大值．

21.  本小题分
如图，六边形是由等腰梯形和直角梯形拼接而成，且，，，沿进行翻折，得到的图形如图所示，且．
求二面角的余弦值；
求四棱锥外接球的体积．

22.  本小题分
在面积为的中，内角，，所对的边分别为，，，且．
若为锐角三角形，是关于的方程的解，求的取值范围；
若且的外接圆的直径为，，分别在线段，上运动包括端点，为边的中点，且，的面积为，令求的最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：设，
则，，则．
故选：．
设，后由共轭复数，复数乘法，复数相等知识可得答案．
本题主要考查共轭复数的定义，以及复数的四则运算，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：，，，
又，且与垂直，
，即．
故选：．
由已知求得的坐标，再由两向量垂直与数量积的关系列式求解值．
本题考查向量垂直与数量积的关系，是基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：因为，，
所以，可得，
所以，
则．
故选：．
由已知利用同角三角函数基本关系式可求的值，进而利用两角差的正弦公式即可求解的值．
本题考查了同角三角函数基本关系式，两角差的正弦公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据题意，将圆柱的侧面展开后得矩形，其中，，
原问题等价于在上找一点，使最短，
作关于的对称点，连接，令与交于点，
则得的最小值就是，
由于，，则．
故选：．
根据题意，画出圆柱的侧面展开图，作关于的对称点，根据对称性，求出的最小值就是的长，求解即可．
本题考查求曲面上最短路程问题，通常考虑侧面展开，是基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图，

是的重心，
，，
，
，
，即，
点为的中点，
即点，为边中线的两个三等分点，
，，
．
故选：．
利用三角形重心的性质，可得，从而得到点，为边中线的两个三等分点，求解即可．
本题主要考查了三角形重心的性质，平面向量的线性运算，属于中档题．
 

6.【答案】 

【解析】解：由已知，下底半径为尺，上底半径为尺，
若，分别为上下底面面积，
则圆台的体积为：
立方尺．
故选：．
利用圆台体积公式求体积即可．
本题考查圆台的体积计算，考查运算求解能力，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，
由为三角形内角可得，
则





，
由，
所以，
所以，
故．
故选：．
由余弦定理先求出，然后结合二倍角公式，辅助角公式对所求式子进行化简，再由正弦函数的性质可求．
本题主要考查了余弦定理，和差角公式，辅助角公式，正弦函数性质的综合应用，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：对于中，取，的中点，，分别连接，，，，

因为，，分别为，，中点，可得，，
因为平面，平面，所以平面，
同理可证平面，
又，
所以平面平面，
又因为平面，所以平面，
因为，所以平面，
所以即为直线与平面所成的角，
在折叠过程中，设的长度为，则，
由，为，的中点，所以，
在直角中，可得，
所以的取值范围为，即与平面所成的角的范围为，所以A正确；
对于中，当平面平面时，到平面的距离最大，
即三棱锥高的最大值为，
此时三棱锥的最大体积为，所以B正确；
对于中，因为，所以为异面直线与所成的角，
所以，
所以的取值范围为，所以与所成角的范围是，所以不正确；
对于中，由，所以三棱锥外接球的球心为，
即外接球的半径，
所以三棱锥外接球的表面积为定值，所以D正确．
故选：．
把与平面所成的角，转化为直线与平面所成的角，求得其范围，可判定：当平面平面时，得到到平面的距离最大，进而求得体积的最大值，可判定B正确：因为，所以为异面直线与所成的角，求解可判断；由，得到三棱锥外接球的球心为，求得外接球的半径，可判定D正确．
本题考查了线面垂直的证明、直线与平面所成的角的计算、三棱锥的体积和外接球问题，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：对于，由题意知，则其对应的点为，且，，
所以对应的点位于第二象限，选项A正确；
对于，由题意知为实数，选项B错误；
对于，，
所以的模长为，选项C错误；
对于，由题意知，
所以的共轭复数为，选项D正确．
故选：．
根据欧拉公式，利用复数的定义与运算性质，判断即可．
本题考查了复数的几何意义与应用问题，也考查了推理与判断能力，是基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：若，，，可得，或，相交，故A错误；
若，，由线面平行和线面垂直的性质可得，故B正确；
若，，则可以在内，故C错误；
由，，由线面角的定义和面面平行的性质，可得与所成的角和与所成的角相等，故D正确．
故选：．
由线面垂直和平行的性质，以及面面的位置关系，可判断；由线面平行和线面垂直的性质，可判断；由线面平行的性质和面面的位置关系，可判断；由线面角的定义和面面平行的性质，可判断．
本题考查空间中线线、线面和面面的位置关系，考查推理能力，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：四个直角三角形全等，大正方形的面积为，小正方形的面积为，
每一个直角三角形的面积为，A正确；
，，故B错误；
，，且，，

，
，故D正确；
，C正确．
故选：．
个直角三角形的面积和为，从而判断的正误；根据题意知，从而可判断的正误；可根据图形得出，，并且，，从而可求出，即可判断的正误；，从而可判断的正误．
本题考查了正弦函数和余弦函数的定义，两角差的余弦公式，考查了计算能力，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：由为长方体，动点在平面内，
点到平面的距离恒为，，，故选项A不正确；

当时，点在线段上，将矩形和矩形沿展开为矩形，
则，故选项B正确；

当时，由，得，由，
故点在上，当时，动点运动到点处时，
由，即，则此时的直线与直线共面，故选项C错误；

当时，由得动点在线段上，
连接，，，，，，
，平面，平面，则平面，
同理平面，，则平面平面，
平面，故B平面，选项D正确．

故选：．
由题意知点到平面的距离恒为 ，为定值，则三棱锥的体积为定值，判断选项A，由知，点在线段上，将矩形和矩形沿展开为矩形，则，即可判断选项B，由，当时，动点运动到点处时，则，即直线与直线共面，判断选项C，由得动点在线段上，由面面平行的判定定理得平面与平面平行，平面，即可判断选D．
本题考查了立体几何的综合应用，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：



．
故答案为：．
利用三角恒等变换，先化切为弦，把转化为，利用差角公式化简可得答案．
本题主要考查了同角基本关系，辅助角公式在三角化简求值中的应用，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：已知是等腰直角三角形，，，
则，
以外接圆的圆心为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
则，
设，，
则


，
又，
则，
则．
故答案为：．
先建系，求出对应点的坐标，然后结合平面向量数量积的坐标运算及三角函数值域的求法求解即可．
本题考查了平面向量数量积的坐标运算，重点考查了三角函数值域的求法，属中档题．
 

15.【答案】 

【解析】解：过点作于点，如图所示：

由题意得，，米，米，
设米，则米，米，
在中，，则，解得，
在中，则米．
故答案为：米．
过点作于点，由题意得，，米，设米，则米，米，，求出，即可得出答案．
本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：由题可知点在过球心与圆柱的底面平行的截面圆上，
设在底面的射影为，
则，，，
由勾股定理可得，令，则，其中，
，
，
，
的取值范围为
故答案为：
在底面的射影为，设令，则，其中，可得出，利用平方法和二次函数的基本性质求出的取值范围．
本题考查球的截面问题，化归转化思想，考查长度和的取值范围，属中档题．
 

17.【答案】解：，，
，又为锐角，
，，
．
由知，即，
，
． 

【解析】结合题意，利用诱导公式与平方关系可求得，，从而可求得的值；
先求得的值，再利用两角差的正切公式即可求得的值．
本题考查两角和与差的三角函数，考查数学运算的核心素养，属于中档题．
 

18.【答案】因为，
所以．
因为复数在复平面内对应的点在第二象限，
所以，解得，
故实数的取值范围是；
，
则，，
，在复平面为坐标原点内对应的点分别为，，
则点，，
，，
故 

【解析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解；
根据已知条件，先求出点，，再结合投影向量的公式，即可求解．
本题主要考查向量的投影公式，属于中档题．
 

19.【答案】解：中，点为边的中点，所以，
又因为，，，
所以，
所以．
中，，所以，
因为点在上，所以，，
所以，
设，则，
又，且，不共线，
所以，解得，，
所以，
所以的面积为． 

【解析】利用中线的向量表示，求模长即可．
根据平面向量的基本定理，用、表示，求出，由此求出的面积．
本题考查了平面向量的基本定理应用问题，也考查了三角形面积计算问题，是中档题．
 

20.【答案】解：因为，
所以由正弦定理，得，即，
故．
由知，，
又的面积为，
则，可得，
又因为，
所以，
于是，
那么，
所以当且仅当时等号成立，
故AD的最大值为． 

【解析】根据题设条件，利用正弦定理可得，再由余弦定理即可得解；
根据面积公式可得，再求出，利用，可得，再由基本不等式可得解．
本题考查解三角形，考查运算求解能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：六边形是由等腰梯形和直角梯形拼接而成，且，
，，沿进行翻折，
得到的图形立体图形，且．
在等腰梯形中，作于，
则，
连接，则，
，，，；
，，平面又面，
，
又，，面，，又，
就是二面角的平面角，
在中，，
所以二面角的余弦值为．
取的中点，连接，，，，，
所以四边形、均为平行四边形，
所以，所以为等腰梯形的外心，
取的中点，连接，，，，，
平面平面可得，
所以为四棱锥外接球的球心，
所以． 

【解析】在等腰梯形中，作于，求出，连接，求出，利用勾股定理说明；证明面，说明就是二面角的平面角，然后求解即可．
取的中点，连接，，说明为等腰梯形的外心，取的中点，连接，，，，推出为四棱锥外接球的球心，然后求解体积．
本题考查二面角的平面角的求法，几何体的外接球的体积的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．
 

22.【答案】解：在中，可得，
．
结合正弦定理得：，
化简可得：，，
又，．
为锐角三角形，，，，，

，
，，
的取值范围为
由，结合正弦定理可得，
，，由可知，
为正三角形，，
设，．
在和中，可得，
化简得 ，
因为
，



，
当且仅当时，等号成立．
的最小值为． 

【解析】由正弦定理得：，运算可求，，可求的取值范围；
由已知可得为正三角形，设，，利用正弦定理以及三角恒等变换可得，进而计算可得的最小值．
本题考查正余弦定理的应用，考查三角恒等变换，考查运算求解能力，属中档题．