专题04 复数（专题练习）——高一数学下学期期末专项复习学案+期末模拟卷（人教B版2019）

专题04  复数【专项训练】

一、单选题

1．（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

.

故选：C.

2．设是复数的共轭复数，若，则（    ）

A．2 B．

C．2或 D．2或

【答案】C

【详解】

解：设，，因为，所以，所以，所以解得或，所以或

所以或

故选：C

3．已知复数，则的最大值是（    ）

A．2 B．1 C． D．

【答案】B

【详解】

设，

，，

，

当时，有最大值.

故选：B

4．满足+=2n的最小自然数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【详解】

因为，，

所以

，

时，原式＝，

时，原式＝，

时，原式＝，满足题意．

故选：C．

5．已知（i为虚数单位，为z的共轭复数），则复数在复平面内对应的点在（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【详解】

由题意，设复数，则，

因为，即，

可得，解得，所以，

则复数在复平面内对应点的坐标为，其坐标位于第二象限.

故选：B.

6．若i为虚数单位，复数z满足，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

解：设（），则，

因为，

所以，

所以在如图所示有阴影上，

因为表示到点的距离，而到的距离为，大圆的半径为，

所以的最大值为，

故选：D

7．设复数z满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

，，

因此，.

故选：D.

8．已知复数z＝x＋1＋(y－1)i(x，y∈R)在复平面内的对应点位于第二象限，则点(x，y)所构成的平面区域是（    ）

A． B． 

C． D．

【答案】A

【详解】

由题意，得即，故点(x，y)所构成的平面区域为A项中的阴影部分．

故选：A.

二、多选题

9．已知复数，表示的共轭复数（其中为虚数单位），则下列说法正确的有（    ）

A．若 ，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】AC

【详解】

，，

对A，若 ，则，即，此时，故A正确；

对B，，若，则，则，即或且不同时为0，当时，，故B错误；

对C，若，则，即，则，故C正确；

对D，若，则，即，

则，故D错误.

故选：AC.

10．下列关于复数的四个命题，真命题的为（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则的最大值为 D．若，则

【答案】AC

【详解】

对于A选项，设，则，

，，则，从而，

A选项正确；

对于B选项，取，则，但，B选项错误；

对于C选项，由复数模的三角不等式可得，C选项正确；

对于D选项，由，可得或，

由，则，解得或，D选项错误.

故选：AC.

11．已知复数，为的共轭复数，则下列结论正确的是（    ）

A．的虚部为

B．

C．为纯虚数

D．在复平面上对应的点在第四象限

【答案】BCD

【详解】

因为，则的虚部为3，

，为纯虚数，对应的点在第四象限，

故选：BCD．

12．已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点为，复数满足，则下列结论正确的是（    ）

A．点的坐标为 B．

C．的最大值为 D．的最小值为

【答案】ABC

【详解】

复数在复平面内对应的点为，故A正确；

复数，所以复数，故B正确；

设，则，即，所以，复数在复平面内对应的点在圆上，其圆心为，半径，

表示的是复数和在复平面内对应的两点之间的距离，即.

而的最大值是；的最小值是.所以的最大值为，最小值为，故C正确，D错误．

故选：ABC．

三、解答题

13．实数分别取什么数值时，复数满足下列条件：

（1）纯虚数；  

（2）对应的点在第一象限内．

【详解】

（1）若为纯虚数，则，解得．

（2）对应的点为在第一象限，则，解得．

14．已知复数，

（1）计算；

（2）求．

【详解】

（1）因为复数，

所以；

（2）．

15．设，．

（1）求证：是纯虚数；

（2）求的取值范围．

【详解】

（1）由题意可得，

所以，，

，则，因此，是纯虚数；

（2），

所以，，

因为，则，解得，，则，

所以，，因此，.