专题03 两角和与差的三角函数——2022-2023学年高一数学下学期期末知识点精讲+训练学案+期末模拟卷（苏教版2019必修第二册）

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专题3 两角和与差的三角函数          （一）两角和与差的余弦C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ；C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ；【点拨】①简记为：“同名相乘，符号反”．②公式本身的变用，如cos(α－β)－cosαcosβ＝sinαsinβ．③公式中的α，β不仅可以是任意具体的角.角的变用，也称为角的变换，如cosα＝cos[(α＋β)－β]，cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]．（二）两角和与差的正弦S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；S(α－β)：sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ；【点拨】①简记为：“异名相乘，符号同”．②公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，还可以是任意形式的“整体”.（三）两角和与差的正切T(α＋β)：tan(α＋β)＝；T(α－β)：tan(α－β)＝.【点拨】①     公式Tα±β只有在α≠＋kπ，β≠＋kπ，α±β≠＋kπ(k∈Z)时才成立，否则就不成立.②当tanα或tanβ或tan(α±β)的值不存在时，不能使用Tα±β处理有关问题，但可改用诱导公式或其他方法．③变形公式：tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)，如tanα＋tanβ＋tanαtanβtan(α＋β)＝tan(α＋β)，tan(α＋β)－tanα－tanβ＝tanαtanβtan(α＋β)，1－tanαtanβ＝．1＋tanαtanβ＝．（四）辅助角公式函数f(α)＝acos α＋bsin α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝cos(α－φ)，其中φ可由a，b的值唯一确定． .题型一  公式的正用【典例1】【多选题】（2022春·江苏徐州·高一统考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，角、的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于、两点，若点、的坐标分别为和，则以下结论正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】AD【分析】利用三角函数的定义可判断AB选项，利用两角和与差的余弦公式可判断CD选项.【详解】由三角函数定义可得，，，，A对B错；，，C错D对.故选：AD.【典例2】（2023·江苏·高一专题练习）已知，是方程的两根，且，，则的值为______．【答案】【分析】结合根与系数关系、两角和的正切公式求得正确答案.【详解】由于，是方程的两根，所以，所以.故答案为：【典例3】（2023·江苏·高一专题练习）已知是第四象限角．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)；(2)，【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系列方程组求解即可；（2）由两角和的余弦、正切公式化简求解即可.【详解】（1）因为，是第四象限角，所以解得，所以.（2）；.【规律方法】正用公式问题，一般属于“给角求值”、“给值求值” 问题，应该通过应用公式，转化成“特殊角”的三角函数值计算问题．给角求值问题的策略：一般先要用诱导公式把角化整化小，化“切”为“弦”，统一函数名称，然后观察角的关系以及式子的结构特点，选择合适的公式进行求值．题型二  公式的变用、逆用【典例4】（2022春·江苏泰州·高一江苏省姜堰第二中学校联考阶段练习）已知，，，那么M，N，P之间的大小顺序是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】逆用两角和与差的正弦、余弦、正切公式化简函数式，利用诱导公式化为同名函数，借助正弦函数的性质结合中间值比较大小可得．【详解】，，，而，所以．故选：C【典例5】【多选题】（2023秋·山西太原·高一统考期末）计算下列各式，结果为的是（    ）A． B．C． D．【答案】AD【分析】运用辅助角公式、诱导公式、和差角公式的逆用、特殊角的三角函数值、三角恒等变换中“1”的代换化简即可.【详解】对于选项A，由辅助角公式得.故选项A正确；对于选项B，，故选项B错误；对于选项C，，故选项C错误；对于选项D，，故选项D正确.故选：AD.【典例6】求下列各式的值：(1)；(2)(1＋tan1°)(1＋tan2°)…(1＋tan44°)；(3)tan25°＋tan35°＋tan25°tan35°．【答案】（1）；（2）222；（3）.【解析】尝试使用两角和与差的正切公式及其变形式对原式进行变形求值．详解：(1)原式＝＝tan(45°－75°)＝．(2)因为(1＋tan1°)(1＋tan44°)＝1＋tan1°＋tan44°＋tan1°×tan44°＝2，同理(1＋tan2°)(1＋tan43°)＝2，…，所以原式＝222．(3)∵tan60°＝tan(25°＋35°)＝＝，∴tan25°＋tan35°＝(1－tan25°tan35°)∴tan25°＋tan35°＋tan25°tan35°＝．【规律方法】1.“1”的代换：在Tα±β中如果分子中出现“1”常利用1＝tan45°来代换，以达到化简求值的目的．2．若α＋β＝＋kπ，k∈Z，则有(1＋tanα)(1＋tanβ)＝2．3．若化简的式子里出现了“tanα±tanβ”及“tanαtanβ”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式．题型三  给值求值【典例7】（2023·江苏·高一专题练习）已知，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】对题干条件平方后相加，结合余弦的差角公式得到答案.【详解】因为，所以（1），因为，所以（2），（1）+（2）得，∴.故选：A．【典例8】（2022春·江苏徐州·高一校考阶段练习）已知函数在时取得最大值，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】化简函数，利用正弦函数的性质可得到，然后用两角和的余弦公式即可求解【详解】因为在时取得最大值，所以，即，所以故选：C【典例9】（2021春·江苏南京·高一校考阶段练习）已知，，，，求：(1)的值；(2)的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）先由已知条件判断的范围，再利用同角三角函数的关系求出，则由利用两角差的余弦公式可求得，（2）由同角三角函数的关系求出，从而可求得的值，再利用正切的二倍角公式可求得的值.【详解】（1）因为，，所以，，所以，，所以.（2）因为，，所以，所以，所以.【规律方法】给值求值问题的解题策略．(1)从角的关系中找解题思路：已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．(2)常见角的变换．①α＝(α－β)＋β；②α＝＋；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)．题型四  给值求角【典例10】（2022春·江苏南通·高一金沙中学校考期末）已知，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】结合式子中角的特点以及范围，分别求，，再根据正切值缩小的范围，从而得到的范围，即可得到角的大小.【详解】因为 ，，而，，所以，，，，所以．故选：D．【典例11】（2021春·江苏苏州·高一统考期末）若，求的值．【答案】【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求的值，进而利用两角差的余弦函数公式可求的值，结合，即可得解．【详解】，，，，，或1，即或1，，，，．故答案为：．【规律方法】解题的一般步骤是：(1)先确定角α的范围，且使这个范围尽量小（极易由于角的范围过大致误）；(2)根据(1)所得范围来确定求tanα、sinα、cosα中哪一个的值，尽量使所选函数在(1)得到的范围内是单调函数；(3)求α的一个三角函数值；(4)写出α的大小．题型五  三角函数式化简问题【典例12】（2022春·江苏镇江·高一统考期末）计算：（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据两角差的正弦公式化简求解即可.【详解】，故选：C【典例13】（2022春·江苏泰州·高一校考阶段练习）已知，且，则___________.【答案】【分析】先由结合题目中关系求得，同时除以即可求解.【详解】，，则，即，又，则，则，即，则.故答案为：.【规律方法】1.三角公式化简求值的策略(1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律． (2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．(3)使用公式求值，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．2.注意三角函数公式逆用、变形用及“变角、变名、变号”的“三变”问题(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．(2)注意特殊角的应用，当式子中出现，1，，等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．题型六  三角恒等式证明问题【典例14】（2023春·上海浦东新·高一校考阶段练习）求证：(1)；(2)在非直角三角形ABC中，【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】(1)先把等式左边切化弦，再借助立方和公式分解化简从而得证；(2) 借助得到，再利用和角正切公式展开整理即可得证.【详解】（1）左边=右边故.（2）又故. 【典例15】（2023·高一课时练习）求证：(1)当时，；(2)当时，．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据正切两角和公式求解即可.（2）根据正切两角和公式求解即可.【详解】（1）因为所以.即证：.（2）因为所以.即证：.【总结提升】三角恒等式的证明方法(1)从等式的比较复杂的一边化简变形到另一边，相当于解决化简题目．(2)等式两边同时变形，变形后的结果为同一个式子．(3)先将要证明的式子进行等价变形，再证明变形后的式子成立．提醒：开平方时正负号的选取易出现错误，所以要根据已知和未知的角之间的关系，恰当地把角拆分，根据角的范围确定三角函数的符号．一、单选题1．（2023秋·江苏连云港·高一江苏省海头高级中学校考期末）（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接利用两角和的余弦公式即可得解.【详解】解：.故选：A.2．（2023·江苏·高一专题练习）化简（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用两角和与差的正切公式化简即可.【详解】解：.故选：C.3．（2022春·江苏淮安·高一校考阶段练习）已知向量，，且，则的值是（    ）A．1 B． C．3 D．【答案】B【分析】由向量垂直的坐标表示求，再由两角差正切公式求.【详解】因为，，，所以，所以，所以，故选：B.4．（2023·江苏·高一专题练习）若，则的值为（    ）．A． B． C． D．1【答案】C【分析】根据正切的差角公式得，根据正余切的关系即可求解.【详解】由得，所以，故选：C5．（2023·江苏·高一专题练习）在中，若，，则等于（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】用余弦和角公式展开，代入即可.【详解】因为在中，，，则，.故选：D6．（2023·江苏·高一专题练习）若且，则的值为（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据，求出，再利用正弦和角公式计算出答案.【详解】，故，因为，所以，所以.故选：A7．（2022春·江苏苏州·高一统考期中）已知，，且，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据同角平方和关系可求，，然后根据正弦的和角公式即可求解.【详解】由，可得：，所以，故选：C8．（2022春·江苏扬州·高一期末）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，将角的终边绕点顺时针旋转后，经过点，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据角的概念以及三角函数的定义，可得和，再根据以及两角和的正弦公式计算可得答案.【详解】∵角的终边按顺时针方向旋转后得到的角为，∴由三角函数的定义，可得：，，∴，故选：B.二、多选题9．（2022春·江苏泰州·高一校考阶段练习）对任意的锐角，下列不等关系恒成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】AC【分析】对于A，C选项，利用三角恒等变换的公式化简即可得到恒成立的不等式，对于B，D选项，利用特殊值排除即可.【详解】对于A，若，则，整理可得：，对任意的锐角，恒成立，故A正确；对于B，，当，，，，故B不正确；对于C，若，则，整理可得：，对任意的锐角，恒成立，故C正确；对于D，，当，，，，故D不正确.故选：AC10．（2023秋·江苏连云港·高一江苏省海头高级中学校考期末）下列计算中正确的是（    ）A．B．C．D．【答案】ACD【分析】结合诱导公式及正余弦的和差角公式分别进行化简，即可求解；【详解】解：对于A，，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，，故D正确.故选：ACD三、填空题11．（2023·江苏·高一专题练习）化简：______．【答案】【分析】利用两角和的正切公式，化简可得.【详解】故答案为：12．（2023秋·陕西西安·高一西安市第六中学校考期末）已知，满足，，，，则______．【答案】【分析】根据题意得到的值，然后由正弦的和差角公式，代入计算即可得到结果.【详解】因为，则，因为，则，所以，，则故答案为:四、解答题13．（2023春·湖北黄冈·高一校考阶段练习）求的值．【答案】【分析】根据题意，由正余弦以及正切的和差角公式，化简计算，即可得到结果.【详解】解：原式        ．14．（2022春·江苏泰州·高一统考期末）已知向量，，且．(1)求的值；(2)若，且，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知可得出，结合两角和的余弦公式化简可得结果；（2）求出的值，利用两角和的正切公式可求得的值，求出的取值范围，即可得解.(1)解：，则，因此，.(2)解：因为且，所以，，因为，则，，因为，故，所以，，所以，，所以，，因此，.15．（2023春·安徽芜湖·高一安徽师范大学附属中学校考阶段练习）观察下列各等式：，，．(1)尝试再写出一个相同规律的式子；(2)写出能反映以上式子一般规律的恒等式，并对你写出的恒等式进行证明．【答案】(1)(2)若，则；证明见解析【分析】（1）根据已知的3个例子即可发现规律求解，（2）根据已知式子发现规律，利用弦切互化以及正切的和角关系公式即可求解.【详解】（1）．（2）若，则．证明：．又因为，所以，化简得．16．（2023春·江苏常州·高一常州市北郊高级中学校考开学考试）已知.(1)求的值；(2)若，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用同角三角函数之间的基本关系式求得，再利用两角和的余弦公式即可求出结果；（2）根据平方关系可求得再进行角的转化即，之后利用两角差的余弦公式进行求解可得出.【详解】（1）由，可得；所以；即（2）由可得，又，所以由可得.即的值为