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专题19 统计与概率的综合问题-高一数学下学期期中期末复习（人教A版必修第二册）
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这是一份专题19 统计与概率的综合问题-高一数学下学期期中期末复习（人教A版必修第二册），文件包含专题19统计与概率的综合问题解析版docx、专题19统计与概率的综合问题原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共28页， 欢迎下载使用。
例题分析
【例1】．为了调查高一新生中女生的体重情况，校卫生室随机选20名女生作为样本，测量她们的体重（单位：kg），获得的所有数据按照区间[40，45]，（45，50]，（50，55]，（55，60]进行分组，得到频率分布直方图如图所示，已知样本中体重在区间（45，50]上的女生数与体重在区间（50，60]上的女生数之比为4：3．
（1）求a，b的值；
（2）从样本中体重在区间（50，60]上的女生中随机抽取两人，求体重在区间（55，60]上的女生至少有一人被抽中的概率．
解：（1）样本中体重在区间（45，50]上的女生有
a×5×20＝100a（人），
样本中体重在区间（50，60]上的女生有
（b+0.02）×5×20＝100（b+0.02）（人），
依题意，有，
即，①
根据频率分布直方图可知
（0.02+b+0.06+a）×5＝1，②
由①②解得a＝0.08，b＝0.04；
（2）样本中体重在区间（50，55]上的女生有
0.04×5×20＝4人，分别记为A1，A2，A3，A4，
体重在区间（55，60]上的女生有
0.02×5×20＝2人，分别记为B1，B2，
从这6名女生中随机抽取两人共有15种情况：
（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A1，B1），（A1，B2），
（A2，A3），（A2，A4），（A2，B1），（A2，B2），（A3，A4），
（A3，B1），（A3，B2），（A4，B1）（A4，B2），（B1，B2）；
其中体重在（55，60]上的女生至少有一人被抽中共有9种情况：
（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），
（A3，B2），（A4，B1）（A4，B2），（B1，B2）；
记“从样本中体重在区间（50，60]上的女生中随机抽取两人，
体重在区间（55，60]上的女生至少有一人被抽中”为事件M，
则．
Ø变式训练
【变1-1】．算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一．算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠．例如，在百位档拨一颗下珠，十位档拨一颗上珠和两颗下珠，则表示数字170．若在个、十、百、千位档中，先随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字大于200的概率为（ ）
A． B． C． D．
解：当先随机选择拨上珠的是千位时，有6100，6010，6001，5110，5011，5101，6种情况，
当先随机选择拨上珠的是百位时，有1600，1510，1501，610，601，511，6种情况，
当先随机选择拨上珠的是十位时，有1150，1060，1051，160，151，61，6种情况，
当先随机选择拨上珠的是个位时，有1105，1015，1006，115，106，16，6种情况，
所以一共有24种情况，
其中所拨数字大于200的有6100，6010，6001，5110，5011，5101，1600，1510，1501，610，601，511，1150，1060，1051，1105，1015，1006，有18种，
所以所求概率为＝．
故选：C．
【变1-2】．某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：
A配方的频数分布表
指标值分组
[90，94）
[94，98）
[98，102）
[102，106）
[106，110]
频数
8
20
42
22
8
B配方的频数分布表
指标值分组
[90，94）
[94，98）
[98，102）
[102，106）
[106，110]
频数
4
12
42
32
10
（1）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；
（2）已知用B配方生产的一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为y＝，估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产的上述100件产品平均一件的利润．
解：（1）由试验结果知，用A配方生产的产品中优质品的频率为＝0.3，
所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3．
由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为＝0.42，
所以用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42．
（2）由条件知，用B配方生产的一件产品的利润大于0，当且仅当其质量指标值t≥94．
由试验结果知，质量指标值t≥94的频率为0.96．
所以用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率估计值为0.96．
用B配方生产的产品平均一件的利润为
×[4×（﹣2）+54×2+42×4]＝2.68（元）．
1．从10个事件中任取一个事件，若这个事件是必然事件的概率为0.2，是不可能事件的概率为0.3，则这10个事件中随机事件的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
解：这10个事件中，必然事件的个数为10×0.2＝2，不可能事件的个数为10×0.3＝3，
而必然事件、不可能事件、随机事件是彼此互斥的事件，且它们的个数和为10，
故随机事件的个数为10﹣2﹣3＝5，
故选：C．
2．小王同学有三支款式相同、颜色不同的圆珠笔，每支圆珠笔都有一个与之同颜色的笔帽，平时小王都将笔和笔帽套在一起，但偶尔会将笔和笔帽搭配成不同色．将笔和笔帽随机套在一起，请问小王将两支笔和笔帽的颜色混搭的概率是（ ）
A． B． C． D．
解：设三支款式相同、颜色不同的圆珠笔分别为A，B，C，与之相同颜色的笔帽分别为a，b，c，
将笔和笔帽随机套在一起，基本事件有：
（Aa，Bb，Cc），（Aa，Bc，Cb），（Ab，Ba，Cc），（Ab，Bc，Ca），（Ac，Bb，Ca），（Ac，Ba，Cb），共有6个基本事件，
小王将两支笔和笔帽的颜色混搭包含的基本事件有：
（Aa，Bc，Cb），（Ab，Ba，Cc），（Ac，Bb，Ca），共有3个基本事件，
∴小王将两支笔和笔帽的颜色混搭的概率是p＝．
故选：C．
3．甲、乙两名同学参加2018年高考，根据高三年级一年来的各种大、中、小型数学模拟考试总结出来的数据显示，甲、乙两人能考140分以上的概率分别为和，甲、乙两人是否考140分以上相互独立，则预估这两个人在2018年高考中恰有一人数学考140分以上的概率为（ ）
A． B． C． D．
解：设事件A表示“甲考140分以上”，事件B表示“乙考140分以上”，
则P（A）＝，P（B）＝，
∴这两个人在2018年高考中恰有一人数学考140分以上的概率为：
p＝P（A+）
＝
＝．
故选：A．
4．《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为（ ）
A． B． C． D．
解：从八卦中任取一卦，基本事件总数n＝8，
这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线包含的基本事件个数m＝3，
∴这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为p＝＝．
故选：C．
5．某中学高一有21个班、高二有14个班、高三有7个班，现采用分层抽样的方法从这些班中抽取6个班对学生进行视力检查，若从抽取的6个班中再随机抽取2个班做进一步的数据分析，则抽取的2个班均为高一的概率是（ ）
A． B． C． D．
解：∵高一，高二，高三的班级数比为21：14：7＝3：2：1，
则现采用分层抽样的方法从这些班中抽取6个班，则高一，高二，高三的班数分别为3，2，1．分别
若从抽取的6个班高三班级记为a，高二的两个班级记为b，c，高一的三个班级记为A，B，C，
则抽取2人的结果是（a，b），（a，c），（a，A），（a，B），（a，C），（b，c），（b，A），（b，B），（b，C），（c，A），（c，B），（c，C），
（A，B），（A，C），（B，C），共15种结果．
抽取的2人均为高一班级（A，B），（A，C），（B，C），共3种结果．
则抽取的2个班均为高一的概率是P＝＝，
故选：A．
6．某种机器使用三年后即被淘汰，该机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个a元；在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个2a元．某人在购买该机器前，搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图．若以频率为概率，估计此人购机时购买20个备件，在机器淘汰时备件有剩余的概率（ ）
A． B． C． D．
解：三年使用期内更换的易损零件数小于20个的频率为，
此人购机时购买20个备件，在机器淘汰时备件有剩余的概率为．
故选：B．
7．甲、乙两位同学各拿出六张游戏牌，用作投骰子的奖品，两人商定：骰子朝上的面的点数为奇数时甲得1分，否则乙得1分，先积得3分者获胜得所有12张游戏牌，并结束游戏．比赛开始后，甲积2分，乙积1分，这时因意外事件中断游戏，以后他们不想再继续这场游戏，下面对这12张游戏牌的分配合理的是（ ）
A．甲10张，乙2张 B．甲9张，乙3张
C．甲8张，乙4张 D．甲6张，乙6张
解：由题意知，继续比赛下去，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，
所以甲应分得张牌，乙应分得张牌，
故选：B．
8．一个均匀的正方体的玩具的各个面上分别标以数字1，2，3，4，5，6，将这个玩具向上抛掷1次，设事件A表示“向上的一面出现的点数不小于3”，事件B表示“向上的一面出现奇数点”，事件C表示“向上的一面出现的点数不超过2”，则（ ）
A．A与B是互斥而非对立事件
B．A与B是对立事件
C．A与C是互斥而非对立事件
D．A与C是对立事件
解：由题意可得事件A、C不会同时发生，而且A∪C为必然事件，
故A与C是对立事件，
故选：D．
（多选）9．下列选项中正确的是（ ）
A．某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各个路口是否遇到红灯是相互独立的，且各个路口遇到红灯的概率都是，那么该学生在第3个路口首次遇到红灯的概率为
B．甲、乙、丙三人独立地破译一份密码，他们能单独破译的概率分别为，，，假设他们破译密码是相互独立的，则此密码被破译的概率为
C．先后抛掷2枚质地均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6）骰子向上的点数分别为x，y，则log2xy＝1的概率为
D．设2个独立事件F和G都不发生的概率为，F发生G不发生的概率与G发生F不发生的概率相同，则事件F发生的概率是
解：对于A：某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各个路口是否遇到红灯是相互独立的，且各个路口遇到红灯的概率都是，那么该学生在第3个路口首次遇到红灯的概率为，故A正确；
对于B：甲、乙、丙三人独立地破译一份密码，他们能单独破译的概率分别为，，，假设他们破译密码是相互独立的，则此密码被破译的概率为，故B正确；
对于C：log2xy＝1基本事件（1，2）（2，4）（3，6），故概率为：，故C错误；
对于D：，解得P（F）＝P（G）＝，故D错误；
故选：AB．
10．甲、乙两人喊拳，每人可以用手出0，5，10三种数字，每人则可喊0，5，10，15，20五种数字，当两人所出数字之和等于某人所喊时为胜，若甲喊10，乙喊15时，则（ ）
A．甲胜的概率大 B．乙胜的概率大
C．甲、乙胜的概率一样大 D．不能确定
解：甲、乙两人喊拳，每人可以用手出0，5，10三种数字，共有3×3＝9种可能，
若甲喊10，甲胜的情况有：甲用手出0，乙用手出10；或甲用手出5，乙用手出5；甲用手出10，乙用手出0；
共3种，甲胜的概率为；
若乙喊15时，乙胜的情况有：甲用手出5，乙用手出10；甲用手出10，乙用手出5；
共2种，乙胜的概率为；
∴乙＜甲．
故选：A．
11．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为 ．
解：分别记两个实习生加工一个零件为一等品的事件为A，B，
则由已知可得P（A）＝，P（B）＝，且A，B相互独立，
两个零件中恰有一个一等品的概率为P＝1﹣P（）＝1﹣P（）P（）﹣P（A）P（B）＝1
故答案为：．
12．洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源．传说古代有神龟出于洛水，其甲壳上刻有图案，如左下图．结构为戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数，其各行各列及对角线点数之和皆为15，洛书九宫格对照表如右下图，若从五个阳数中随机抽取三个数．
（1）试验的样本空间包含 10 个样本点；
（2）使得这三个数之和等于15的概率是 ．
4
9
2
3
5
7
8
1
6
解：（1）五个阳数为1，3，5，7，9，
从五个阳数中随机抽取三个数，基本事件有：
（1，3，5），（1，3，7），（1，3，9），（1，5，7），（1，5，9），（1，7，9），（3，5，7），（3，5，9），（3，7，9），（5，7，9），
共10个，
故答案为：10．
（2）从五个阳数中随机抽取三个数，使得这三个数之和等于15包含的基本事件有：
（1，5，9），（3，5，7），共2个，
∴从五个阳数中随机抽取三个数，使得这三个数之和等于15包含的概率为P＝＝．
故答案为：．
13．设集合A＝{1，2}，B＝{1，2，3}，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P（a，b），记“点P（a，b）落在直线x+y＝n上”为事件∁n（2≤n≤5，n∈N），若事件∁n的概率最大，则n的所有可能值为 3和4 ．
解：由题意知本题是一个古典概型，
试验发生包含的事件是分别从集合A和B中随机取一个数a和b，
确定平面上的一个点P（a，b），点P（a，b）共有（1，1）、（1，2）、（1，3）、
（2，1）、（2，2）、（2，3），6种情况，
这六种情况得x+y分别等于2，3，4，3，4，5，
可以看出出现3有两次，出现4有两次，
∴出现3与4的概率最大，
∴n＝3和4．
故答案为：3和4
14．已知甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为和，甲和乙是否命中目标互不影响，且各次射击是否命中目标也互不影响．若按甲、乙、甲、乙…的次序轮流射击，直到有一人击中目标就停止射击，则停止射击时，甲、乙共射击了四次的概率是 ．
解：设事件A表示“甲射击一次命中目标”，事件B表示“乙射击一次命中目标”，则A，B相互独立，
停止射击时甲、乙共射击了四次，说明甲、乙第一次射击都未命中，甲第二次射击未命中，乙第二次射击命中，此时的概率，
故停止射击时，甲、乙共射击了四次的概率是．
故答案为：．
15．某商区停车场临时停车按时段收费，收费标准为：每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元，超过1小时的部分每小时收费8元（不足1小时的部分按1小时计算）．现有甲、乙二人在该商区临时停车，两人停车都不超过4小时．
（Ⅰ）设甲停车付费a元．依据题意，填写下表：
甲停车时长
（小时）
（0，1]
（1，2]
（2，3]
（3，4]
甲停车费a
（元）
（Ⅱ）若每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙二人停车付费之和为36元的概率；
（Ⅲ）若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为，停车付费多于14元的概率为，求甲停车付费恰为6元的概率．
解：（Ⅰ）由题意可得表格如下：
甲停车时长
（小时）
（0，1]
（1，2]
（2，3]
（3，4]
甲停车费a
（元）
6
14
22
30
（Ⅱ）甲停车付费a元，设乙停车付费b元，其中a，b＝6，14，22，30．
则甲、乙二人的停车费用构成的基本事件空间为：（6，6），（6，14），（6，22），
（6，30），（14，6），（14，14），（14，22），（14，30），（22，6），（22，14），
（22，22），（22，30），（30，6），（30，14），（30，22），（30，30），共16种情形．
其中（6，30），（14，22），（22，14），（30，6）这4种情形符合题意．
故“甲、乙二人停车付费之和为36元”的概率为；
（Ⅲ）“甲临时停车付费恰为6元”为事件A，
则 ．
∴甲临时停车付费恰为6元的概率是
16．一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同，随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c．
（1）求“抽取的卡片上的数字满足a+b＝c”的概率；
（2）求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．
（注：若三个数a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数）
解：（Ⅰ）由题意，（a，b，c）所有的可能为：
（1，1，1），（1，1，2），（1，1，3），（1，2，1），（1，2，2），（1，2，3），
（1，3，1），（1，3，2），（1，3，3），（2，1，1），（1，1，2），（2，1，3），
（2，2，1），（2，2，2），（2，2，3），（2，3，1），（2，3，2），（2，3，3），
（3，1，1），（3，1，2），（3，1，3），（3，2，1），（3，2，2），（3，2，3），
（3，3，1），（3，3，2），（3，3，3），共27种．
设“抽取的卡片上的数字满足a+b＝c”为事件A，则事件A包括（1，1，2），（1，2，3），（2，1，3），共3种，
所以P（A）＝＝．
因此，“抽取的卡片上的数字满足a+b＝c”的概率为．
（Ⅱ）设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，
则事件包括（1，1，1），（2，2，2），（3，3，3），共3种．
所以P（B）＝1﹣P（）＝1﹣＝．
因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为．
17．十九大提出，坚决打赢脱贫攻坚战，某帮扶单位为帮助定点扶贫村真脱贫，坚持扶贫同扶智相结合，帮助贫困村种植蜜柚，并利用电商进行销售，为了更好地销售，现从该村的蜜柚树上随机摘下了100个蜜柚进行测重，其质量分别在[1500，1750），[1750，2000），[2000，2250），[2250，2500），[2500，2750），[2750，3000]（单位：克）中，其频率分布直方图如图所示，
（Ⅰ）已经按分层抽样的方法从质量落在[1500，1750），[2000，2500）的蜜柚中抽取了5个，现从这5个蜜柚中随机抽取2个．求这2个蜜柚质量均小于2000克的概率：
（Ⅱ）以各组数据的中间值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该贫困村的蜜柚树上大约还有5000个蜜柚等待出售，某电商提出了两种收购方案：
方案一：所有蜜柚均以30元/千克收购；
方案二：低于2250克的蜜柚以60元/个收购，高于或等于2250克的以80元/个收购．
请你通过计算为该村选择收益最好的方案．
解：（Ⅰ）质量落在[1500，1750）和[2000，2250）中的频率分别是0.1和0.15，分层抽样的方法抽取5个蜜柚，则[1500，1750）中抽取2个，[2000，2250）中抽取3个，2个蜜柚质量均小于2000的概率为；
（Ⅱ）根据题意，
方案一收益为：
30×（1.625×500+1.875×500+2.125+2.375×750×2000+2.625×1000+2.875×250＝343125（元）
方案二收益为：
500+500+750×60+2000+1000+250×80＝365000 （元）
∵365000＞343125，
∴选择方案二．
18．一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量（单位：辆）如表：
A类轿车
B类轿车
C类轿车
舒适型
100
150
z
标准型
300
450
600
按类用分层随机抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．
（1）求z的值；
（2）在C类轿车中用分层随机抽样的方法抽取5辆轿车，再从这5辆轿车中任意抽取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；
（3）用简单随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，它们的综合测评得分（十分制）分别为：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2．把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．
解：（1）设该厂这个月共生产轿车n辆．
由题意得，解得n＝2000，
则z＝2000﹣100﹣300﹣150﹣450﹣600＝400．
（2）设所抽的5辆轿车中有a辆舒适型轿车．
由题意得，则a＝2．
因此在抽取的5辆轿车中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．
用A1，A2表示2辆舒适型轿车，用B1，B2，B3表示3辆标准型轿车，从5辆桥车中任取2辆，则祥本空间：
Ω＝{（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3）}．
设事件E＝“至少有1辆舒适型轿车”，
则E＝{（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3）}，
故，即所求概率为．
（3）总体平均数．
设事件D＝“从总体中任取一个数，该数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”，
则样本空间包含8个样本点，事件D包含6个样本点：9.4，8.6，9.2，8.7，9.3，9.0．
∴该数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为P＝＝．
19．甲，乙两台机床同时生产一种零件，其质量按测试指标划分：指标大于或等于100为优品，大于等于90且小于100为合格品，小于90为次品，现随机抽取这两台车床生产的零件各100件进行检测，检测结果统计如下：
测试指标
[85，90）
[90，95）
[95，100）
[100，105）
[105，110）
机床甲
8
12
40
32
8
机床乙
7
18
40
29
6
（1）试分别估计甲机床、乙机床生产的零件为优品的概率；
（2）甲机床生产一件零件，若是优品可盈利160元，合格品可盈利100元，次品则亏损20元；假设甲机床某天生产50件零件，请估计甲机床该天的日利润（单位：元）；
（3）从甲、乙机床生产的零件指标在[90，95）内的零件中，采用分层抽样的方法抽取5件，从这5件中任选2件进行质量分析，求这2件都是乙机床生产的概率．
解：（1）因为甲机床为优品的频率为，
乙机床为优品的频率约为，
所以估计甲、乙两机床为优品的概率分别为；
（2）甲机床被抽产品每1件的平均数利润为：
元
所以估计甲机床每生产1件的利润为114.4元
所以甲机床某天生产50件零件的利润为50×114.4＝5720元
（3）由题意知，甲机床应抽取，
乙机床应抽取，
记甲机床的2个零件为A，B，乙机床的3个零件为a，b，c，
若从5件中选取2件分别为AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc共10种取法
满足条件的共有3种，分别为ab，ac，bc，
所以，这2件都是乙机床生产的概率．
20．田忌和齐王赛马是历史上有名的故事，设齐王的三匹马分别 为A、B、C，田忌的三匹马分别为a、b、c；三匹马各比赛一次，胜两场者为获胜．若这六匹马比赛优、劣程度可以用以下不等式表示：A＞a＞B＞b＞C＞c
（1）正常情况下，求田忌获胜的概率
（2）为了得到更大的获胜机会，田忌预先派出探子到齐王处打探实情，得知齐王第一场必出上等马A，于是田忌采用了最恰当的应对策略，求这时田忌获胜的概率．
解：比赛配对的基本事件共有6个，
它们是：（Aa，Bb，Cc），（Aa，Bc，Cb），（Ab，Ba，Cc），（Ab，Bc，Ca），（Ac，Ba，Cb），
（Ac，Bb，Ca）
（1）仅有配对为（Ac，Ba，Cb）时，田忌获胜，
由古典概型的概率公式得
获胜的概率为
（2）田忌的策略是首场安排劣马c出赛 基本事件有2个：（Ac，Ba，Cb），（Ac，Bb，Ca）
配对为（Ac，Ba，Cb）时，田忌获胜．
由古典概型的概率公式得
获胜的概率为
答：正常情况下，田忌获胜的概率为获得信息后，田忌获胜的概率为
21．随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”证件之一，若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试．在每一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试，若5次都没有通过，则需要重新报名），其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费，某驾校通过几年的资料统计，得到如下结论：男性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为，女性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为，现有这个驾校的一对夫妻学员同时报名参加驾驶证科目二考试，若这对夫妻每人每次是否通过科目二考试相互独立，他们参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止．
（Ⅰ）求这对夫妻在本次报名参加科目二考试通过且都不需要交补考费的概率；
（Ⅱ）求这对夫妻在本次报名参加科目二考试通过且产生的补考费用之和为200元的概率．
解：（Ⅰ）设ξ表示“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的事件”，Ai表示“丈夫在第i次参加科目二考试中通过”，
Bi表示“妻子在第i次参加科目二考试中通过”，则，
则P（ξ）＝P（A1B1）+P（）+P（）+P（）＝，
所以这对夫妻在本次报名参加科目二考试通过且都不需要交补考费的概率是．
（Ⅱ）由（1）知，夫妻二人共交200元补考费的事件，
则，
所以这对夫妻在本次报名参加科目二考试通过且产生的补考费用之和为200元的概率．
例题分析
【例1】．为了调查高一新生中女生的体重情况，校卫生室随机选20名女生作为样本，测量她们的体重（单位：kg），获得的所有数据按照区间[40，45]，（45，50]，（50，55]，（55，60]进行分组，得到频率分布直方图如图所示，已知样本中体重在区间（45，50]上的女生数与体重在区间（50，60]上的女生数之比为4：3．
（1）求a，b的值；
（2）从样本中体重在区间（50，60]上的女生中随机抽取两人，求体重在区间（55，60]上的女生至少有一人被抽中的概率．
解：（1）样本中体重在区间（45，50]上的女生有
a×5×20＝100a（人），
样本中体重在区间（50，60]上的女生有
（b+0.02）×5×20＝100（b+0.02）（人），
依题意，有，
即，①
根据频率分布直方图可知
（0.02+b+0.06+a）×5＝1，②
由①②解得a＝0.08，b＝0.04；
（2）样本中体重在区间（50，55]上的女生有
0.04×5×20＝4人，分别记为A1，A2，A3，A4，
体重在区间（55，60]上的女生有
0.02×5×20＝2人，分别记为B1，B2，
从这6名女生中随机抽取两人共有15种情况：
（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A1，B1），（A1，B2），
（A2，A3），（A2，A4），（A2，B1），（A2，B2），（A3，A4），
（A3，B1），（A3，B2），（A4，B1）（A4，B2），（B1，B2）；
其中体重在（55，60]上的女生至少有一人被抽中共有9种情况：
（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），
（A3，B2），（A4，B1）（A4，B2），（B1，B2）；
记“从样本中体重在区间（50，60]上的女生中随机抽取两人，
体重在区间（55，60]上的女生至少有一人被抽中”为事件M，
则．
Ø变式训练
【变1-1】．算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一．算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠．例如，在百位档拨一颗下珠，十位档拨一颗上珠和两颗下珠，则表示数字170．若在个、十、百、千位档中，先随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字大于200的概率为（ ）
A． B． C． D．
解：当先随机选择拨上珠的是千位时，有6100，6010，6001，5110，5011，5101，6种情况，
当先随机选择拨上珠的是百位时，有1600，1510，1501，610，601，511，6种情况，
当先随机选择拨上珠的是十位时，有1150，1060，1051，160，151，61，6种情况，
当先随机选择拨上珠的是个位时，有1105，1015，1006，115，106，16，6种情况，
所以一共有24种情况，
其中所拨数字大于200的有6100，6010，6001，5110，5011，5101，1600，1510，1501，610，601，511，1150，1060，1051，1105，1015，1006，有18种，
所以所求概率为＝．
故选：C．
【变1-2】．某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：
A配方的频数分布表
指标值分组
[90，94）
[94，98）
[98，102）
[102，106）
[106，110]
频数
8
20
42
22
8
B配方的频数分布表
指标值分组
[90，94）
[94，98）
[98，102）
[102，106）
[106，110]
频数
4
12
42
32
10
（1）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；
（2）已知用B配方生产的一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为y＝，估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产的上述100件产品平均一件的利润．
解：（1）由试验结果知，用A配方生产的产品中优质品的频率为＝0.3，
所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3．
由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为＝0.42，
所以用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42．
（2）由条件知，用B配方生产的一件产品的利润大于0，当且仅当其质量指标值t≥94．
由试验结果知，质量指标值t≥94的频率为0.96．
所以用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率估计值为0.96．
用B配方生产的产品平均一件的利润为
×[4×（﹣2）+54×2+42×4]＝2.68（元）．
1．从10个事件中任取一个事件，若这个事件是必然事件的概率为0.2，是不可能事件的概率为0.3，则这10个事件中随机事件的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
解：这10个事件中，必然事件的个数为10×0.2＝2，不可能事件的个数为10×0.3＝3，
而必然事件、不可能事件、随机事件是彼此互斥的事件，且它们的个数和为10，
故随机事件的个数为10﹣2﹣3＝5，
故选：C．
2．小王同学有三支款式相同、颜色不同的圆珠笔，每支圆珠笔都有一个与之同颜色的笔帽，平时小王都将笔和笔帽套在一起，但偶尔会将笔和笔帽搭配成不同色．将笔和笔帽随机套在一起，请问小王将两支笔和笔帽的颜色混搭的概率是（ ）
A． B． C． D．
解：设三支款式相同、颜色不同的圆珠笔分别为A，B，C，与之相同颜色的笔帽分别为a，b，c，
将笔和笔帽随机套在一起，基本事件有：
（Aa，Bb，Cc），（Aa，Bc，Cb），（Ab，Ba，Cc），（Ab，Bc，Ca），（Ac，Bb，Ca），（Ac，Ba，Cb），共有6个基本事件，
小王将两支笔和笔帽的颜色混搭包含的基本事件有：
（Aa，Bc，Cb），（Ab，Ba，Cc），（Ac，Bb，Ca），共有3个基本事件，
∴小王将两支笔和笔帽的颜色混搭的概率是p＝．
故选：C．
3．甲、乙两名同学参加2018年高考，根据高三年级一年来的各种大、中、小型数学模拟考试总结出来的数据显示，甲、乙两人能考140分以上的概率分别为和，甲、乙两人是否考140分以上相互独立，则预估这两个人在2018年高考中恰有一人数学考140分以上的概率为（ ）
A． B． C． D．
解：设事件A表示“甲考140分以上”，事件B表示“乙考140分以上”，
则P（A）＝，P（B）＝，
∴这两个人在2018年高考中恰有一人数学考140分以上的概率为：
p＝P（A+）
＝
＝．
故选：A．
4．《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为（ ）
A． B． C． D．
解：从八卦中任取一卦，基本事件总数n＝8，
这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线包含的基本事件个数m＝3，
∴这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为p＝＝．
故选：C．
5．某中学高一有21个班、高二有14个班、高三有7个班，现采用分层抽样的方法从这些班中抽取6个班对学生进行视力检查，若从抽取的6个班中再随机抽取2个班做进一步的数据分析，则抽取的2个班均为高一的概率是（ ）
A． B． C． D．
解：∵高一，高二，高三的班级数比为21：14：7＝3：2：1，
则现采用分层抽样的方法从这些班中抽取6个班，则高一，高二，高三的班数分别为3，2，1．分别
若从抽取的6个班高三班级记为a，高二的两个班级记为b，c，高一的三个班级记为A，B，C，
则抽取2人的结果是（a，b），（a，c），（a，A），（a，B），（a，C），（b，c），（b，A），（b，B），（b，C），（c，A），（c，B），（c，C），
（A，B），（A，C），（B，C），共15种结果．
抽取的2人均为高一班级（A，B），（A，C），（B，C），共3种结果．
则抽取的2个班均为高一的概率是P＝＝，
故选：A．
6．某种机器使用三年后即被淘汰，该机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个a元；在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个2a元．某人在购买该机器前，搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图．若以频率为概率，估计此人购机时购买20个备件，在机器淘汰时备件有剩余的概率（ ）
A． B． C． D．
解：三年使用期内更换的易损零件数小于20个的频率为，
此人购机时购买20个备件，在机器淘汰时备件有剩余的概率为．
故选：B．
7．甲、乙两位同学各拿出六张游戏牌，用作投骰子的奖品，两人商定：骰子朝上的面的点数为奇数时甲得1分，否则乙得1分，先积得3分者获胜得所有12张游戏牌，并结束游戏．比赛开始后，甲积2分，乙积1分，这时因意外事件中断游戏，以后他们不想再继续这场游戏，下面对这12张游戏牌的分配合理的是（ ）
A．甲10张，乙2张 B．甲9张，乙3张
C．甲8张，乙4张 D．甲6张，乙6张
解：由题意知，继续比赛下去，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，
所以甲应分得张牌，乙应分得张牌，
故选：B．
8．一个均匀的正方体的玩具的各个面上分别标以数字1，2，3，4，5，6，将这个玩具向上抛掷1次，设事件A表示“向上的一面出现的点数不小于3”，事件B表示“向上的一面出现奇数点”，事件C表示“向上的一面出现的点数不超过2”，则（ ）
A．A与B是互斥而非对立事件
B．A与B是对立事件
C．A与C是互斥而非对立事件
D．A与C是对立事件
解：由题意可得事件A、C不会同时发生，而且A∪C为必然事件，
故A与C是对立事件，
故选：D．
（多选）9．下列选项中正确的是（ ）
A．某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各个路口是否遇到红灯是相互独立的，且各个路口遇到红灯的概率都是，那么该学生在第3个路口首次遇到红灯的概率为
B．甲、乙、丙三人独立地破译一份密码，他们能单独破译的概率分别为，，，假设他们破译密码是相互独立的，则此密码被破译的概率为
C．先后抛掷2枚质地均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6）骰子向上的点数分别为x，y，则log2xy＝1的概率为
D．设2个独立事件F和G都不发生的概率为，F发生G不发生的概率与G发生F不发生的概率相同，则事件F发生的概率是
解：对于A：某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各个路口是否遇到红灯是相互独立的，且各个路口遇到红灯的概率都是，那么该学生在第3个路口首次遇到红灯的概率为，故A正确；
对于B：甲、乙、丙三人独立地破译一份密码，他们能单独破译的概率分别为，，，假设他们破译密码是相互独立的，则此密码被破译的概率为，故B正确；
对于C：log2xy＝1基本事件（1，2）（2，4）（3，6），故概率为：，故C错误；
对于D：，解得P（F）＝P（G）＝，故D错误；
故选：AB．
10．甲、乙两人喊拳，每人可以用手出0，5，10三种数字，每人则可喊0，5，10，15，20五种数字，当两人所出数字之和等于某人所喊时为胜，若甲喊10，乙喊15时，则（ ）
A．甲胜的概率大 B．乙胜的概率大
C．甲、乙胜的概率一样大 D．不能确定
解：甲、乙两人喊拳，每人可以用手出0，5，10三种数字，共有3×3＝9种可能，
若甲喊10，甲胜的情况有：甲用手出0，乙用手出10；或甲用手出5，乙用手出5；甲用手出10，乙用手出0；
共3种，甲胜的概率为；
若乙喊15时，乙胜的情况有：甲用手出5，乙用手出10；甲用手出10，乙用手出5；
共2种，乙胜的概率为；
∴乙＜甲．
故选：A．
11．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为 ．
解：分别记两个实习生加工一个零件为一等品的事件为A，B，
则由已知可得P（A）＝，P（B）＝，且A，B相互独立，
两个零件中恰有一个一等品的概率为P＝1﹣P（）＝1﹣P（）P（）﹣P（A）P（B）＝1
故答案为：．
12．洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源．传说古代有神龟出于洛水，其甲壳上刻有图案，如左下图．结构为戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数，其各行各列及对角线点数之和皆为15，洛书九宫格对照表如右下图，若从五个阳数中随机抽取三个数．
（1）试验的样本空间包含 10 个样本点；
（2）使得这三个数之和等于15的概率是 ．
4
9
2
3
5
7
8
1
6
解：（1）五个阳数为1，3，5，7，9，
从五个阳数中随机抽取三个数，基本事件有：
（1，3，5），（1，3，7），（1，3，9），（1，5，7），（1，5，9），（1，7，9），（3，5，7），（3，5，9），（3，7，9），（5，7，9），
共10个，
故答案为：10．
（2）从五个阳数中随机抽取三个数，使得这三个数之和等于15包含的基本事件有：
（1，5，9），（3，5，7），共2个，
∴从五个阳数中随机抽取三个数，使得这三个数之和等于15包含的概率为P＝＝．
故答案为：．
13．设集合A＝{1，2}，B＝{1，2，3}，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P（a，b），记“点P（a，b）落在直线x+y＝n上”为事件∁n（2≤n≤5，n∈N），若事件∁n的概率最大，则n的所有可能值为 3和4 ．
解：由题意知本题是一个古典概型，
试验发生包含的事件是分别从集合A和B中随机取一个数a和b，
确定平面上的一个点P（a，b），点P（a，b）共有（1，1）、（1，2）、（1，3）、
（2，1）、（2，2）、（2，3），6种情况，
这六种情况得x+y分别等于2，3，4，3，4，5，
可以看出出现3有两次，出现4有两次，
∴出现3与4的概率最大，
∴n＝3和4．
故答案为：3和4
14．已知甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为和，甲和乙是否命中目标互不影响，且各次射击是否命中目标也互不影响．若按甲、乙、甲、乙…的次序轮流射击，直到有一人击中目标就停止射击，则停止射击时，甲、乙共射击了四次的概率是 ．
解：设事件A表示“甲射击一次命中目标”，事件B表示“乙射击一次命中目标”，则A，B相互独立，
停止射击时甲、乙共射击了四次，说明甲、乙第一次射击都未命中，甲第二次射击未命中，乙第二次射击命中，此时的概率，
故停止射击时，甲、乙共射击了四次的概率是．
故答案为：．
15．某商区停车场临时停车按时段收费，收费标准为：每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元，超过1小时的部分每小时收费8元（不足1小时的部分按1小时计算）．现有甲、乙二人在该商区临时停车，两人停车都不超过4小时．
（Ⅰ）设甲停车付费a元．依据题意，填写下表：
甲停车时长
（小时）
（0，1]
（1，2]
（2，3]
（3，4]
甲停车费a
（元）
（Ⅱ）若每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙二人停车付费之和为36元的概率；
（Ⅲ）若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为，停车付费多于14元的概率为，求甲停车付费恰为6元的概率．
解：（Ⅰ）由题意可得表格如下：
甲停车时长
（小时）
（0，1]
（1，2]
（2，3]
（3，4]
甲停车费a
（元）
6
14
22
30
（Ⅱ）甲停车付费a元，设乙停车付费b元，其中a，b＝6，14，22，30．
则甲、乙二人的停车费用构成的基本事件空间为：（6，6），（6，14），（6，22），
（6，30），（14，6），（14，14），（14，22），（14，30），（22，6），（22，14），
（22，22），（22，30），（30，6），（30，14），（30，22），（30，30），共16种情形．
其中（6，30），（14，22），（22，14），（30，6）这4种情形符合题意．
故“甲、乙二人停车付费之和为36元”的概率为；
（Ⅲ）“甲临时停车付费恰为6元”为事件A，
则 ．
∴甲临时停车付费恰为6元的概率是
16．一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同，随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c．
（1）求“抽取的卡片上的数字满足a+b＝c”的概率；
（2）求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．
（注：若三个数a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数）
解：（Ⅰ）由题意，（a，b，c）所有的可能为：
（1，1，1），（1，1，2），（1，1，3），（1，2，1），（1，2，2），（1，2，3），
（1，3，1），（1，3，2），（1，3，3），（2，1，1），（1，1，2），（2，1，3），
（2，2，1），（2，2，2），（2，2，3），（2，3，1），（2，3，2），（2，3，3），
（3，1，1），（3，1，2），（3，1，3），（3，2，1），（3，2，2），（3，2，3），
（3，3，1），（3，3，2），（3，3，3），共27种．
设“抽取的卡片上的数字满足a+b＝c”为事件A，则事件A包括（1，1，2），（1，2，3），（2，1，3），共3种，
所以P（A）＝＝．
因此，“抽取的卡片上的数字满足a+b＝c”的概率为．
（Ⅱ）设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，
则事件包括（1，1，1），（2，2，2），（3，3，3），共3种．
所以P（B）＝1﹣P（）＝1﹣＝．
因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为．
17．十九大提出，坚决打赢脱贫攻坚战，某帮扶单位为帮助定点扶贫村真脱贫，坚持扶贫同扶智相结合，帮助贫困村种植蜜柚，并利用电商进行销售，为了更好地销售，现从该村的蜜柚树上随机摘下了100个蜜柚进行测重，其质量分别在[1500，1750），[1750，2000），[2000，2250），[2250，2500），[2500，2750），[2750，3000]（单位：克）中，其频率分布直方图如图所示，
（Ⅰ）已经按分层抽样的方法从质量落在[1500，1750），[2000，2500）的蜜柚中抽取了5个，现从这5个蜜柚中随机抽取2个．求这2个蜜柚质量均小于2000克的概率：
（Ⅱ）以各组数据的中间值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该贫困村的蜜柚树上大约还有5000个蜜柚等待出售，某电商提出了两种收购方案：
方案一：所有蜜柚均以30元/千克收购；
方案二：低于2250克的蜜柚以60元/个收购，高于或等于2250克的以80元/个收购．
请你通过计算为该村选择收益最好的方案．
解：（Ⅰ）质量落在[1500，1750）和[2000，2250）中的频率分别是0.1和0.15，分层抽样的方法抽取5个蜜柚，则[1500，1750）中抽取2个，[2000，2250）中抽取3个，2个蜜柚质量均小于2000的概率为；
（Ⅱ）根据题意，
方案一收益为：
30×（1.625×500+1.875×500+2.125+2.375×750×2000+2.625×1000+2.875×250＝343125（元）
方案二收益为：
500+500+750×60+2000+1000+250×80＝365000 （元）
∵365000＞343125，
∴选择方案二．
18．一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量（单位：辆）如表：
A类轿车
B类轿车
C类轿车
舒适型
100
150
z
标准型
300
450
600
按类用分层随机抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．
（1）求z的值；
（2）在C类轿车中用分层随机抽样的方法抽取5辆轿车，再从这5辆轿车中任意抽取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；
（3）用简单随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，它们的综合测评得分（十分制）分别为：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2．把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．
解：（1）设该厂这个月共生产轿车n辆．
由题意得，解得n＝2000，
则z＝2000﹣100﹣300﹣150﹣450﹣600＝400．
（2）设所抽的5辆轿车中有a辆舒适型轿车．
由题意得，则a＝2．
因此在抽取的5辆轿车中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．
用A1，A2表示2辆舒适型轿车，用B1，B2，B3表示3辆标准型轿车，从5辆桥车中任取2辆，则祥本空间：
Ω＝{（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3）}．
设事件E＝“至少有1辆舒适型轿车”，
则E＝{（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3）}，
故，即所求概率为．
（3）总体平均数．
设事件D＝“从总体中任取一个数，该数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”，
则样本空间包含8个样本点，事件D包含6个样本点：9.4，8.6，9.2，8.7，9.3，9.0．
∴该数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为P＝＝．
19．甲，乙两台机床同时生产一种零件，其质量按测试指标划分：指标大于或等于100为优品，大于等于90且小于100为合格品，小于90为次品，现随机抽取这两台车床生产的零件各100件进行检测，检测结果统计如下：
测试指标
[85，90）
[90，95）
[95，100）
[100，105）
[105，110）
机床甲
8
12
40
32
8
机床乙
7
18
40
29
6
（1）试分别估计甲机床、乙机床生产的零件为优品的概率；
（2）甲机床生产一件零件，若是优品可盈利160元，合格品可盈利100元，次品则亏损20元；假设甲机床某天生产50件零件，请估计甲机床该天的日利润（单位：元）；
（3）从甲、乙机床生产的零件指标在[90，95）内的零件中，采用分层抽样的方法抽取5件，从这5件中任选2件进行质量分析，求这2件都是乙机床生产的概率．
解：（1）因为甲机床为优品的频率为，
乙机床为优品的频率约为，
所以估计甲、乙两机床为优品的概率分别为；
（2）甲机床被抽产品每1件的平均数利润为：
元
所以估计甲机床每生产1件的利润为114.4元
所以甲机床某天生产50件零件的利润为50×114.4＝5720元
（3）由题意知，甲机床应抽取，
乙机床应抽取，
记甲机床的2个零件为A，B，乙机床的3个零件为a，b，c，
若从5件中选取2件分别为AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc共10种取法
满足条件的共有3种，分别为ab，ac，bc，
所以，这2件都是乙机床生产的概率．
20．田忌和齐王赛马是历史上有名的故事，设齐王的三匹马分别 为A、B、C，田忌的三匹马分别为a、b、c；三匹马各比赛一次，胜两场者为获胜．若这六匹马比赛优、劣程度可以用以下不等式表示：A＞a＞B＞b＞C＞c
（1）正常情况下，求田忌获胜的概率
（2）为了得到更大的获胜机会，田忌预先派出探子到齐王处打探实情，得知齐王第一场必出上等马A，于是田忌采用了最恰当的应对策略，求这时田忌获胜的概率．
解：比赛配对的基本事件共有6个，
它们是：（Aa，Bb，Cc），（Aa，Bc，Cb），（Ab，Ba，Cc），（Ab，Bc，Ca），（Ac，Ba，Cb），
（Ac，Bb，Ca）
（1）仅有配对为（Ac，Ba，Cb）时，田忌获胜，
由古典概型的概率公式得
获胜的概率为
（2）田忌的策略是首场安排劣马c出赛 基本事件有2个：（Ac，Ba，Cb），（Ac，Bb，Ca）
配对为（Ac，Ba，Cb）时，田忌获胜．
由古典概型的概率公式得
获胜的概率为
答：正常情况下，田忌获胜的概率为获得信息后，田忌获胜的概率为
21．随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”证件之一，若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试．在每一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试，若5次都没有通过，则需要重新报名），其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费，某驾校通过几年的资料统计，得到如下结论：男性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为，女性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为，现有这个驾校的一对夫妻学员同时报名参加驾驶证科目二考试，若这对夫妻每人每次是否通过科目二考试相互独立，他们参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止．
（Ⅰ）求这对夫妻在本次报名参加科目二考试通过且都不需要交补考费的概率；
（Ⅱ）求这对夫妻在本次报名参加科目二考试通过且产生的补考费用之和为200元的概率．
解：（Ⅰ）设ξ表示“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的事件”，Ai表示“丈夫在第i次参加科目二考试中通过”，
Bi表示“妻子在第i次参加科目二考试中通过”，则，
则P（ξ）＝P（A1B1）+P（）+P（）+P（）＝，
所以这对夫妻在本次报名参加科目二考试通过且都不需要交补考费的概率是．
（Ⅱ）由（1）知，夫妻二人共交200元补考费的事件，
则，
所以这对夫妻在本次报名参加科目二考试通过且产生的补考费用之和为200元的概率．
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