安徽省安庆市2022-2023学年高三下学期第一次模拟数学试卷（含解析）

这是一份安徽省安庆市2022-2023学年高三下学期第一次模拟数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
安徽省安庆市2022-2023学年高三下学期第一次模拟数学试卷学校:___________姓名：___________班级：_____________一、单选题1．符合的集合的个数为（    ）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个2．已知复数是关于x的方程的一个根，则（    ）A．4 B． C．8 D．3．若的展开式中的系数为，则（    ）A．2 B． C． D．4．如图：正三棱锥中，分别在棱上，，且，则的余弦值为（    ）A． B． C． D．5．已知关于的方程有三个不等的实数根，则实数的取值范围是（    ）A． B．C． D．6．已知函数的图象在点处的切线为，若也为函数的图象的切线，则必须满足（    ）A． B． C． D．7．已知双曲线的渐近线方程为，一个焦点，则该双曲线的虚轴长为　　A．1 B． C．2 D．8．定义运算 ，则函数的图像是（　　）A． B．C． D． 二、多选题9．2021年3月15日，某市物价部门对5家商场的某商品一天的销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x（元）和销售量y（件）之间的一组数据如表所示：售价x99.51010.511销售量y1110865 根据表中数据得到y关于x的回归直线方程是，则下列说法正确的有（    ）A．              B．回归直线过点C．当时，y的估计值为12.8 D．点处的随机误差为0.410．已知函数在上是单调函数，且.则的可能取值为（    ）A． B． C． D．11．如图，直三棱柱中，所有棱长均为1，点为棱上任意一点，则下列结论正确的是（    ）A．直线与直线所成角的范围是B．在棱上存在一点，使平面C．若为棱的中点，则平面截三棱柱所得截面面积为D．若为棱上的动点，则三棱锥体积的最大值为12．将两圆方程作差，得到直线的方程，则（    ）A．直线一定过点B．存在实数，使两圆心所在直线的斜率为C．对任意实数，两圆心所在直线与直线垂直D．过直线上任意一点一定可作两圆的切线，且切线长相等 三、填空题13．已知均为单位向量，若，则与的夹角为________．14．设集合且，则点在圆内部的概率为__________.15．若存在实数使成立，则实数的取值范围是___________．16．（1）“”是“直线与直线垂直”的__________条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）；（2）抛物线上的一点到焦点的距离为，则点的纵坐标为__________.（3）双曲线的渐近线为正方形的边、所在的直线，点为该双曲线的焦点，若正方形的边长为，则__________.（4）数，集合，则由的元素构成的图形的面积是__________. 四、解答题17．在直角坐标平面中，的两个顶点的坐标分别为，两动点满足，向量与共线.(1)求的顶点的轨迹方程；(2)若过点的直线与（1）的轨迹相交于两点，求的取值范围.(3)若为点的轨迹在第一象限内的任意一点，则是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.18．设等差数列的前项和为，且，．(1)求的通项公式；(2)求证：．19．《青年大学习》是共青团中央组织的，以“学习新思想，争做新青年”为主题的党史团课学习行动，某校团委积极开展党史培训和知识比赛活动，参加培训的“百人团”由一百多名来自初一、初二、初三的学生组成，人数按照年级分组统计如下表：分组（年级）初一初二初三频数（人）185436 (1)用分层抽样的方法从培训的“百人团”中抽取6人参加知识问答比赛，求从这三个不同年级组中分别抽取的参赛人数；(2)在（1）中抽出的6人中，任选2人组成一个党史宣讲小组，求这2人来自同一年级组的概率．20．如图，矩形ABCD中，，，M为边CD的中点，将沿直线AM翻折成，且，点P为线段BE的中点．(1)求证：平面AME；(2)求直线PC与平面ABM所成角的正弦值．21．已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且右焦点为．(1)求椭圆的标准方程；(2)直线交椭圆于，两点，若线段中点的横坐标为．求直线的方程．22．已知函数.(1)求的单调性；(2)证明：.
参考答案：1．A【分析】根据元素个数求子集的个数，可得答案.【详解】由，设，，故有个.故选：A.2．D【分析】利用代入法，结合复数模的计算公式进行求解即可.另解：根据实系数一元二次方程根与系数关系进行求解即可.【详解】因为复数是关于x的方程的一个根，所以，解得，所以；另解：因为复数是关于x的方程的一个根，所以复数也是关于x的方程的一个根，所以有解得，所以.故选：D3．B【分析】求出的展开式的通项，得到项的系数，即可解得.【详解】因为的展开式的通项为：，当时，，由题意得，解得，故选：B.4．C【分析】用向量表示、表示向量、，然后利用数量积运算及夹角公式计算即可【详解】设，则，因为，所以，所以，所以，化简得，所以，所以，即的余弦值为.故选：C.5．B【解析】方程有三个解转化直线与函数有三个交点，作出函数的图象，作出直线，可知，只要求得直线与函数的图象相切的什值，即可得结论．【详解】转为直线与函数有三个交点.显然当时，有一个交点：当时，只需与有两个交点即可.由，得，与相切时，切点坐标为，此时.由图象可知，当时，关于的方程有三个不等的实数根．故选：B．【点睛】关键点点睛：本题考查方程根的个数问题，解题方法是转化为直线与函数图象交点个数，进而转化为研究函数的性质，本题是用导数求出函数的切线方程方程．然后结合图象可得结论．6．D【分析】根据题意求得公切线的两种表现形式为与，且，进而得到，构造函数，利用导数及零点存在定理求得其零点的所在区间，从而得到的范围.【详解】因为函数的导数为，所以在点处的切线的斜率为，故切线方程为，设切线与相切的切点为，，又的导数为，则在点处的切线的斜率为，故，切线方程为， 由，，得，，令，可得，，即，所以，即，令，则，所以在上单调递增，又因为，，所以在上存在唯一零点，即，即，所以的根．故选：D．【点睛】高考对导数几何意义的考查主要有以下几个命题角度：（1）已知切点求切线方程；（2）已知切线方程(或斜率)求切点或曲线方程；（3）已知曲线求切线倾斜角的取值范围．7．C【分析】根据焦点可得，结合渐近线方程中的关系；联立可得、的值，从而可得答案．【详解】因为双曲线的渐近线方程为，一个焦点，所以，， 联立、可得：，，，该双曲线的虚轴长2，故选C．【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，涉及双曲线的焦点、渐近线方程，属于中档题. 求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.8．A【分析】结合函数新定义与指数函数图像求解即可.【详解】解：因为运算，所以，，所以，根据指数函数图像可知A选项满足题意.故选：A9．ABC【分析】先算出样本中心点，进而求出，即可判断A,B；然后将代入回归直线方程可以判断C；最后将代入回归方程算出，进而算出随机误差判断D.【详解】由题意可知，，故回归直线过点（10,8），且，故A，B正确．当时，，故C正确．点（10.5,6）处的随机误差为，故D不正确．故选：ABC．10．AB【分析】分别把选项中的值代入函数表达式，验证函数的性质是否满足，即可判断.【详解】对于A，，若，可取则，在上单减，故A正确.对于B，，若，，此时可以取，使得函数在单减，故B正确.对于C，，若，即， ，故C错误.对于D，，若，， ，故D错误.故选：AB.11．AC【分析】由异面直线夹角求法可判断A；利用反证法结合线面垂直的判定及性质可判断B；利用线线平行得到平面截三棱柱所得截面为等腰梯形，即可求得面积判断C；由面积公式知不变，利用等体积知可求得体积的最大值可判断D.【详解】对于A，由直三棱柱，，为直线与直线所成角，当与重合时，直线与直线所成角为0，当与重合时，直线与直线所成角为，所以直线与直线所成角的范围是，故A正确；对于B，假设平面，又平面，，设中点为，则，则平面，所以在平面上的射影为，由三垂线定理得，又因为为正方形，所以点为中点，与点为棱上一点矛盾，故B错误.对于C，取中点，连结，，则平面截三棱柱所得截面为等腰梯形，，，在直角中，，所以梯形的高为，梯形的面积为，故C正确.对于D，因为，且，所以当与重合时，三棱锥的体积最大，取中点，则平面，得，故D错误.故选：AC【点睛】思路点睛：本题考查求异面直线成角，立体几何截面问题，体积运算，（1）求异面直线所成角的常用方法是平移线段法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决；（2）截面问题：利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决．12．BCD【分析】利用分离参数法求出直线恒过的定点即可判断A；利用两圆心坐标求斜率进而判断B；利用垂直直线的斜率之积为-1判断C；设直线上一点，利用两点坐标求距离公式和勾股定理化简计算即可判断D.【详解】由题意知，，两式相减，得，A：由，得，则，解得，所以直线恒过定点，故A错误；B：，故B正确；C：因为，故C正确；D：，，则圆心到直线的距离为，圆心到直线的距离为，又，得，即直线与圆相离，，得，即直线与圆相离，所以过直线上任一点可作两圆的切线.在直线上任取一点，设点P到圆的切线长为，到圆的切线长为，则，，所以，即，故D正确.故选：BCD.13．【分析】将两边平方，根据数量积的定义可求得答案.【详解】由､均为单位向量，，得：，即，所以，所以，又，所以与的夹角为.故答案为：14．【分析】先求出点的满足题意的所有情况，再求出点在圆内部的点的个数，由古典概率的公式代入即可得出答案.【详解】由集合且，则点有如下情况：共9个点.满足在圆内部的点有：共4个点.所以点在圆内部的概率为.故答案为:.15．【考点定位】 本题主要考察绝对值不等式的性质及其运用【详解】试题分析：本题的几何意义是：存在在数轴上到的距离与到的距离之和小于的点.有，.考点：含绝对值的不等式的解法.【易错点晴】本题主要考查了含绝对值不等式的解法.含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如或，利用实数绝对值的几何意义求解较简便．选择或填空题可采用绝对值几何意义的方法，解答题要采用零点分段求解的方法.本题难度不大，属于中档题. 16．     充分不必要     ##          【分析】（1）由两直线垂直求出实数的值，利用充分条件和必要条件的定义判断可得出结论；（2）利用抛物线的定义可求得点的纵坐标；（3）分析可知双曲线为等轴双曲线，根据正方形的边长可求得的值；（4）分析集合表示的图形，以及所表示的图形，作出图形，即可求得所表示图形的面积.【详解】（1）直线和垂直，，解得或，“”是“直线和直线垂直的充分不必要条件；（2）由可得，所以该抛物线的焦点为，准线方程为，设，由抛物线的定义可得，所以；（3）双曲线的渐近线为正方形的边、所在的直线渐近线互相垂直，则双曲线为等轴双曲线，即渐近线方程为，即，正方形的边长为，，即，则，即，则；（4）由得，即，所以集合是半径为的圆及其内部，由得，即，及或，作出的元素构成图形为如图所示的阴影部分，对应面积为圆面积的，即.故答案为：（1）充分不必要；（2）；（3）；（4）.17．(1)(2)(3)存在；理由见解析 【分析】（1）设，由知，由且向量与共线，知在边的中垂线上，由此能求出的顶点的轨迹方程；（2）设，过点的直线方程为，代入双曲线方程，得，再由根的判别式和韦达定理即可求出的取值范围；（3）通过由特殊到一般的方法进行求解.【详解】（1）设，由知，是的重心，.且向量与共线，在边的中垂线上，，又，化简得，即所求的轨迹方程是.（2）设，过点的直线方程为，代入得，，且，解得.，则或，，则的取值范围是.（3）设，则，即.当轴时，，即，故猜想.当不垂直轴时，，.又与同在内，.故存在，使恒成立.【点睛】轨迹问题一般方法有三种：定义法，相关点法.定义法：（1）判断动点的运动轨迹是否满足某种曲线的定义；（2）设标准方程，求方程中的基本量（3）求轨迹方程相关点法：（1）分析题目：与动点相关的点在已知曲线上；（2）寻求关系式，，；（3）将，代入已知曲线方程；（4）整理关于，的关系式得到M的轨迹方程18．(1)(2)证明见解析 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据等差数列与通项基本运算，解得，，；（2）求出通项，运用裂项相消法求和证明.【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，，所以解得，，所以．（2）．又，所以，所以，即．得证.19．(1)从这三个不同年组中抽取的参赛人数分别为1，3，2；(2). 【分析】（1）利用分层抽样的等比例性质求从各年级抽出的样本数；（2）由（1）所得样本，应用组合数求任选2人方法数及2人来自同一年级的方法数，再由古典概型的概率求法求概率.【详解】（1）样本容量与总体个数的比是，样本中包含3个年级组的人数分别是：初一年级的人数为，初二年级的人数为，初三年级的人数为，所以，从这三个不同年组中抽取的参赛人数分别为1，3，2人.（2）由（1）知，从这三个不同年龄组中，抽取的参赛人数分别为1，3，2，设“从6人中任选2人组成宣讲小组”，则，设“这2人来自同一年级组”，则，∴这4人来自同一年级组的概率．20．(1)证明见解析(2) 【分析】（1）取AE的中点Q，连接QM，QP构造平行四边形可证；（2）取AM的中点O，先证EO垂直于底面，根据（1）将问题转化为求角，然后结合已知可得.【详解】（1）证明：取AE的中点Q，连接QM，QP，因为P，Q均为中点，故且，又因为，且，所以，所以四边形MCPQ为平行四边形，故，又平面AME，平面AME故平面AME；（2）取AM的中点O，连接OE，OB，因为AE=ME，所以且．因为，所以，所以在Rt中，，因为，故，又∵，平面ABM，平面ABM故平面ABM．又因此为直线PC与平面ABM所成角，在Rt中，，故．21．(1)(2) 【分析】（1）根据焦点坐标求得，根据长轴和短轴的对应关系，以及列方程组，可求得的值，进而求得椭圆的标准方程.（2）联立直线的方程和椭圆的方程，消去并化简，写出韦达定理，根据中点的横坐标求得的值，进而求解.【详解】（1）由椭圆的长轴长是短轴长的倍，可得．所以．又，所以，解得．所以．所以椭圆的标准方程为．（2）设，，由，得．则，．因为线段中点的横坐标为，所以．解得，即，经检验符合题意．所以直线l的方程为．22．(1)在上单调递减，在上单调递增(2)证明见解析 【分析】（1）求出函数的定义域，求导，根据导数的符号即可求出函数的单调区间；（2）令，利用导数易求出函数的最小值，则有，再利用作差法证明即可.（1）解：定义域为，，当或时，，当 时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增；（2）证明：令，当时，，当 时，，所以函数在上递减，在上递增，所以的最小值为，故当时，， 即，当时，，因为，所以，所以，所以.【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间，考查了利用导数证明不等式问题，关键在于构造合适的函数.