专题41 离心率的求值或取值范围问题-学会解题之高三数学万能解题模板【2022版】（解析版）

这是一份专题41 离心率的求值或取值范围问题-学会解题之高三数学万能解题模板【2022版】（解析版），共40页。
专题41 离心率的求值或取值范围问题

【高考地位】
圆锥曲线的离心率是近年高考的一个热点,有关离心率的试题,究其原因,一是贯彻高考命题“以能力立意”的指导思想,离心率问题综合性较强,灵活多变,能较好反映考生对知识的熟练掌握和灵活运用的能力,能有效地反映考生对数学思想和方法的掌握程度;二是圆锥曲线是高中数学的重要内容,具有数学的实用性和美学价值,也是以后进一步学习的基础.
方法一 定义法
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内 容
使用场景
离心率的求值或取值范围
解题模板
第一步 根据题目条件求出的值
第二步 代入公式，求出离心率.
例1. 在平面直角坐标系中, 若双曲线的离心率为,则的值为 ．
【答案】
【解析】
试题分析：由题意得，解得
考点：双曲线离心率
【方法点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
【变式演练1】【福建省莆田第一中学2021届高三上学期期中考试】已知是椭圆上的点，，分别是的左，右焦点，是坐标原点，若且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
如图所示，设是中点，推理得到，再证明，再根据椭圆的定义得解.
【详解】

如图所示，设是中点，则,,
因为，所以,
所以，
因为，所以.
由椭圆的定义得
所以.
故选：A
方法二 方程法
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离心率的求值或取值范围
解题模板
第一步 设出相关未知量；
第二步 根据题目条件列出关于的方程；
第三步 化简，求解方程，得到离心率.
例2. 【云南民族大学附属中学2020届高三第一次高考仿真模拟数学（理）】设，分别为椭圆：的左右焦点，点，分别为椭圆的右顶点和下顶点，且点关于直线的对称点为.若，则椭圆的离心率为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据已知求出坐标，利用，建立关系，结合，即可求解.
【详解】
设，则的中点为，
即在轴上，又在直线上，
即点与重合，
故

，∴.
故选:C.
例3. 如图，，是双曲线的左、右两个焦点，若直线与双曲线交于、两点，且四边形为矩形，则双曲线的离心率为（ ）

A． B． C． D．
【答案】.
【解析】
试题分析：由题意可得，矩形的对角线长相等，将直线代入曲线方程可
得，，所以，所以，即，所
以，因为，所以，所以，故应选.
考点：1、双曲线的简单几何性质；2、双曲线的概念．
【思路点睛】本题考查了双曲线的简单几何性质和双曲线的概念，考查学生综合知识能力和图形识别能力，
数中档题.其解题的一般思路为：首先根据矩形的性质并将直线代入双曲线方程中即可得出点的
坐标，再由矩形的几何性质可得，最后可得出所求的结果.其解题的关键是正确地运用
矩形的几何性质求解双曲线的简单几何性质.
【变式演练2】（2021·安徽蚌埠·高三开学考试（理））已知椭圆的右顶点为A，坐标原点为，若椭圆上存在一点P使得△OAP是等腰直角三角形，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
△OAP是等腰直角三角形，则是直角顶点，由此点在椭圆上可得的关系式，变形后可求得离心率．
【详解】
△OAP是等腰直角三角形，则是直角顶点，所以在椭圆上，
所以，，．
故选：C．
【变式演练3】【江西省景德镇一中2021届高三8月月考数学（理）】已知分别为椭圆的左右焦点，为该椭圆的右顶点，过作垂直于轴的直线与椭圆交于两点（在轴上方），若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据题意得为通径，进而得四点坐标，再根据列式求解即可.
【详解】
解：因为过作垂直于轴的直线与椭圆交于两点（在轴上方），
所以为椭圆的一条通径，
所以，，，，
因为，
所以，即：，
整理得：，
所以.
故选：C.
方法三 借助平面几何图形中的不等关系
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离心率的求值或取值范围
解题模板
第一步 根据平面图形的关系，如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值等得到不等关系，
第二步 将这些量结合曲线的几何性质用进行表示，进而得到不等式，
第三步 解不等式，确定离心率的范围.
例4【四川省遂宁市射洪县射洪中学校2019-2020学年高三下学期第一次学月考】设为椭圆上一点，点关于原点的对称点为，为椭圆的右焦点，且.若，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
设左焦点为，连接，根据几何关系得出四边形为矩形，由椭圆的定义以及直角三角形的边角关系得出，从而得到，最后由正弦函数的性质得出椭圆离心率的取值范围.
【详解】
设左焦点为，连接
由平面几何知识可知，四边形为矩形
根据椭圆的定义可得，设，则



，


故选：D

【变式演练4】【四川省阆中市东风中学2020-2021学年高三11月月考数学（文）】如图，､是双曲线的左､右焦点，过的直线与双曲线的右左两支分别交于点､两点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）

A．4 B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据双曲线的定义求出在中，，则由为等边三角形得，再利用余弦定理可得，从而可求出双曲线的离心率
【详解】
解：根据双曲线的定义可得，
因为为等边三角形，所以，
所以，
因为，所以，
因为在中，，，
所以，
即，
所以，
所以双曲线的离心率为，
故选：B
方法四 借助题目中给出的不等信息
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使用场景
离心率的求值或取值范围
解题模板
第一步 找出试题本身给出的不等条件，如已知某些量的范围，存在点或直线使方程成立，的范围等；[来源:Zxxk.Com]
第二步 列出不等式，化简得到离心率的不等关系式，从而求解.
例5．（2021·玉林市第十一中学高三月考（理））已知双曲线的左、右焦点为，，在双曲线上存在点满足，则此双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由OP为△F1PF2的中线,可得，得到4a≤2c,即可求出离心率的取值范围.
【详解】
由OP为△F1PF2的中线,可得.
由可得，由, ，
可得4a≤2c,可得：.
故选：B.
【变式演练5】【河北省衡水中学2020届高三高考数学（理科）二调】已知圆，圆，椭圆，若圆，都在椭圆内，则椭圆离心率的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由已知圆的方程求出圆心坐标与半径，圆，都在椭圆内，可得圆上的点，都在椭圆内，由此列关于，的不等式组得答案．
【详解】
由圆，得，
得圆的圆心为，半径为，
由圆，得，
得圆的圆心为，半径为，
要使圆，都在椭圆内，
则，解得．
椭圆离心率的范围是．
故选：．
方法五 借助函数的值域求解范围
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离心率的求值或取值范围
解题模板
第一步 根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式；
第二步 通过确定函数的定义域；
第三步 利用函数求值域的方法求解离心率的范围.
例6.【2020届福建省漳州市高三毕业班调研】已知直线与椭圆交于A、B两点，与圆交于C、D两点.若存在，使得，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
求得直线恒过定点，即为圆心，为直径，由，可得的中点为，设，，，，运用点差法和直线的斜率公式、中点坐标公式，即可得到所求离心率的范围．
【详解】
直线，即为，可得直线恒过定点，
圆的圆心为，半径为1，且，为直径的端点，
由，可得的中点为，
设，，，，
则，，
两式相减可得，
由．，
可得，由，即有，
则椭圆的离心率，．
故选：C
【变式演练6】是经过双曲线 焦点且与实轴垂直的直线, 是双曲线的两个顶点, 若在上存在一点,使,则双曲线离心率的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
试题分析：由题设可知,即,解之得,即,故.应选A.

考点：双曲线的几何性质及运用.
【高考再现】
1.（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设，由，因为，，所以
，
因为，当，即时，，即，符合题意，由可得，即；
当，即时，，即，化简得，，显然该不等式不成立．
故选：C．
2、【2020年高考全国Ⅰ卷理数15】已知为双曲线的右焦点，为的右顶点，为上的点，且垂直于轴．若的斜率为，则的离心率为 ．
【答案】2
【思路导引】根据双曲线的几何性质可知，，，即可根据斜率列出等式求解即可．
【解析】依题可得，，而，，即，变形得，化简可得，，解得或（舍去）．故答案为：．
【专家解读】本题考查了双曲线标准方程及其几何性质，考查双曲线的离心率的求法，考查数学运算、直观想象、逻辑推理等学科素养．解题关键是双曲线的定义及几何性质的应用．
3．【2020年高考江苏卷6】在平面直角坐标系中，若双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是 ．
【答案】
【解析】由得渐近线方程为，又，
则，，，得离心率．
【专家解读】本题考查了双曲线标准方程及其几何性质，考查双曲线的离心率的求法，考查数学运算、直观想象等学科素养．解题关键是双曲线渐近线方程与离心率关系．
4. 【2017课标3，理10】已知椭圆C：，（a>b>0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2
为直径的圆与直线相切，则C的离心率为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
试题分析：以线段为直径的圆的圆心为坐标原点 ，半径为 ，圆的方程为，
直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即：，
整理可得，即，
从而 ，椭圆的离心率，
故选A.
【考点】 椭圆的离心率的求解；直线与圆的位置关系
【名师点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式e＝ ；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围).
5. 【2017北京，理9】若双曲线的离心率为，则实数m=_________.
【答案】2
【解析】
试题分析： ，所以 ，解得 .
【考点】双曲线的方程和几何性质
【名师点睛】本题主要考查的是双曲线的标准方程和双曲线的简单几何性质，属于基础题．解题时要注意、、的关系，否则很容易出现错误．以及当焦点在轴时，哪些量表示 ，根据离心率的公式计算.
6. 【2017课标1，理】已知双曲线C：（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若∠MAN=60°，则C的离心率为________.
【答案】
【解析】试题分析：

如图所示，作，因为圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，则为双曲线的渐近线上的点，且，
而，所以，
点到直线的距离
在中，
代入计算得，即
由得
所以.
【考点】双曲线的简单性质.
【名师点睛】双曲线渐近线是其独有的性质，所以有关渐近线问题受到出题者的青睐.做好这一类问题要抓住以下重点：①求解渐近线，直接把双曲线后面的1换成0即可；②双曲线的焦点到渐近线的距离是；③双曲线的顶点到渐近线的距离是.
【名师点睛】本题主要考查双曲线的几何性质.本题解答，利用特殊化思想，通过对特殊情况的讨论，转化得到一般结论，降低了解题的难度.本题能较好的考查考生转化与化归思想、一般与特殊思想及基本运算能力等.
7. 【2017课标II，文5】若，则双曲线的离心率的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意，因为，所以，则，故选C.
【考点】双曲线离心率
【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
8. 【2015高考新课标2，理11】已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【考点定位】双曲线的标准方程和简单几何性质．

【名师点睛】本题考查双曲线的标准方程和简单几何性质、解直角三角形知识，正确表示点的坐标，利用“点在双曲线上”列方程是解题关键，属于中档题．
【反馈练习】
1．【贵州省铜仁市伟才学校2021届高三上学期第四次半月考】如图，，分别是双曲线的两个焦点，以坐标原点为圆心，为半径的圆与该双曲线左支交于，两点，若是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）

A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】
连结，利用几何关系表示，,并结合椭圆的定义，得到离心率.
【详解】
连结，则，并且，
，，，即
.

故选：D

2．（2021·广东高三月考）著名的天文学家、数学家约翰尼斯·开普勒（Johannes Kepler）发现了行星运动三大定律，其中开普勒第一定律又称为轨道定律，即所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且太阳处在椭圆的一个焦点上.记地球绕太阳运动的轨道为椭圆C，在地球绕太阳运动的过程中，若地球与太阳的最远距离与最近距离之比为，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
设椭圆C的焦距为2c，长轴长为2a，根据题意可得地球与太阳的最远距离为，最近距离为，再由地球与太阳的最远距离与最近距离之比为，列出方程，即可得出答案.
【详解】
解：设椭圆C的焦距为2c，长轴长为2a，
根据题意可得地球与太阳的最远距离为，最近距离为，
则，解得，
即C的离心率为.
故选：C.
3．【安徽省江淮十校2020届高三下学期5月第三次联考】设，是椭圆的左、右焦点，若在椭圆上存在点使得，则椭圆的离心率取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由，转化为在点使得，进而可得结果.
【详解】
由知，即存在点使得．
记短轴端点为顶点和焦点，所对应的角为，因此，
即．而．
故选：A．
4．【甘肃省天水一中2020届高三高考数学（理科）二模】已知椭圆的左，右焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点，若，且的三边长，，成等差数列，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设，，，利用勾股定理，结合椭圆的定义，转化求解椭圆的离心率即可.
【详解】
由已知，设，，，
据勾股定理有；由椭圆定义知的周长为，
有，；
在直角△中，由勾股定理，，
离心率，
故选：.

5．【江苏省镇江市丹阳市吕叔湘中学2020-2021学年高三上学期11月教学调研】椭圆C：的左､右焦点分别为F1，F2，点P(x1，y1)，Q(-x1，-y1)在椭圆C上，其中x1>0，y1>0，若|PQ|=2|OF2|，，则离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据，可得四边形为矩形，设，根据椭圆的定义以及勾股定理可得，再分析的取值范围，
进而求得，再求离心率的范围即可
【详解】
设，由，知，
因为，在椭圆上，，
所以，四边形为矩形，；
由，可得，
由椭圆定义可得①；
平方相减可得②；
由①②得；
令，令，所以，，
即，所以，，
所以，，所以，，
解得
故选：C
【点睛】
关键点睛：解题的关键在于运用椭圆的定义构造齐次式求椭圆的离心率，
即由椭圆定义可得①；
平方相减可得②；
由①②得，
然后利用换元法得出，进而求解
6．【2020届安徽省池州市高三下学期5月教学质量统一监测数学（文）】已知椭圆：的左右焦点分别为，，若在椭圆上存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由勾股定理和基本不等式可构造不等关系得到，由椭圆定义和焦距可构造出关于的齐次不等式，进而求得结果.
【详解】
，
（当且仅当时取等号），，
由椭圆定义知：，又，
，，，又，离心率的取值范围为.
故选：.
7．【江西省赣州市部分重点中学2021届高三上学期期中考试文科数学】已知曲线：与曲线：有公共的焦点F，P为与在第一象限的交点，若轴，则的离心率e等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据抛物线的方程求出其焦点为，得到.设双曲线的另一个焦点为，由双曲线的右焦点为求得双曲线的焦距为，中，利用勾股定理求得，再由双曲线的定义算出，利用双曲线的离心率的定义加以计算，求得结果.
【详解】
抛物线的焦点为，
由轴，即，可求得，
设双曲线的另一个焦点为，
由抛物线的焦点为与双曲线的右焦点重合，
即，可得双曲线的焦距，
由为直角三角形，则，
根据双曲线的定义，得，
所以双曲线的离心率为，
故选：A.
【点睛】
方法点睛：该题考查的是有关双曲线的离心率的求解问题，解题方法如下：
（1）根据抛物线的方程求得其焦点坐标；
（2）利用抛物线方程求得；
（3）利用抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合求得双曲线的焦距；
（4）在直角三角形中利用勾股定理求得；
（5）利用双曲线的定义求得的值；
（6）利用双曲线的离心率的定义求得结果.
8．【江西省名校2021届高三上学期第二次联考】已知双曲线C：(a>0，b>0)的右焦点为F，点A，B分别为双曲线的左，右顶点，以AB为直径的圆与双曲线C的两条渐近线在第一，二象限分别交于P，Q两点，若OQ∥PF(O为坐标原点)，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】
由已知可得为等腰三角形，作,垂足为,过作轴，交渐近线第一象限部分于,则，利用相似三角形的性质，结合的基本关系求得的关系，进而求.
【详解】
如图所示，,
又双曲线的渐近线关于轴对称，,为等腰三角形，
作,垂足为,过作轴，交渐近线第一象限部分于,
则，,
.

由三角形相似的性质得,即，
整理得，
故选：D.
9．【河南省新乡市2021届高三第一次模拟考试数学（理科）】已知，分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上且不与顶点重合，过作的角平分线的垂线，垂足为．若，则该双曲线离心率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据题中的条件求出，根据三角形两边之和大于第三边得到，再根据，得到，即可求出离心率的取值范围.
【详解】
解：如图所示：

，是双曲线的左右焦点，延长交于点，
是的角平分线，
，
又点在双曲线上，
，，
又是的中点，是的中点，
是的中位线，
，
即，
在中，，，，
由三角形两边之和大于第三边得：，
两边平方得：，
即，
两边同除以并化简得：，
解得：，
又，
，
在中，由余弦定理可知，，
在中，，
即，
又，
解得：，
又，
,
即，
，
综上所述：.
故选：B.
【点睛】
方法点睛：求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出，，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关， ，的齐次式，结合转化为，的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以 或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 (的取值范围)．
10．【安徽省四校2020-2021学年高三上学期适应性测试文科数学】已知（不在轴上）是双曲线上一点，，分别是的左、右焦点，记，，若，则的离心率的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由已知可得，利用分比与更比定理得到，再由双曲线定义及得到关于，的不等式，进一步转化为关于的不等式求解．
【详解】
解：由题意知，
则，
点在双曲线的右支上，
，，
又，，即，
得，又，
．
故选：D．
11.（2021·全国）已知椭圆：（）的半截距为，是上异于短轴端点的一点，若点的坐标为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
将点坐标代入椭圆方程得的齐次式，转化后可得离心率．
【详解】
将点的坐标代入的方程得，所以，整理得．又，
所以，所以，即，所以椭圆的离心率，
故选：D．
12．（2021·安徽高三开学考试（文））已知是椭圆的左右焦点，椭圆上一点M满足：，则该椭圆离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
根据椭圆定义和余弦定理，即可求解.
【详解】
设，由椭圆定义知：.由余弦定理得：，即，所以.故选D.
13．（2021·安徽高三开学考试（理））已知是椭圆的左右焦点，椭圆上一点M满足：，则该椭圆离心率取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
设，在中，利用余弦定理，结合椭圆的定义，求出，再由重要不等式，可得出不等量关系，即可求解.
【详解】
设，由余弦定理得：
，又，
即，
解得，
因为，得，
故.又，所以.
故选：B.
14.（2022·浙江高三专题练习）若点P为共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，，分别是它们的左右焦点.设椭圆离心率为，双曲线离心率为，若，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【解析】
可设椭圆长轴为，双曲线的实轴为，焦点为，设，，利用椭圆和双曲线的定义可得，，再利用垂直关系可得，
联立即可得解.
【详解】
设椭圆长轴为，双曲线的实轴为，焦点为，
设，，
所以，，
平方和相加可得，
由则，
所以，
所以，
即，，
即.
故选：C
15．（2022·全国高三专题练习（理））已知，分别为椭圆的左､右焦点，过原点O且倾斜角为60°的直线l与椭圆C的一个交点为M，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
依题意可得，的值，由椭圆的定义可得a，c的关系，即求出离心率的值．
【详解】
解：依题意可得．
又
，，，．
故选：D．

16．（2021·江苏高三开学考试）从某个角度观察篮球(如图1)，可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，AB＝BC＝CD，则该双曲线的离心率为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
设出双曲线方程，通过做标准品和双曲线与圆O的交点将圆的周长八等分，且AB＝BC＝CD，推出点在双曲线上，然后求出离心率即可.
【详解】
设双曲线的方程为，
则，因为AB＝BC＝CD，
所以，所以，
因为坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，
所以在双曲线上，
代入可得，解得，
所以双曲线的离心率为.
故选：D
17．（2021·榆林市第十中学高三月考（文））已知F是双曲线的左焦点，A，B分别是C的左，右顶点，若，则双曲线C的离心率为（　　）
A． B．2 C． D．3
【答案】D
【解析】
利用表示，即得解
【详解】
因为A，B分别是C的左，右顶点,
故，，，
所以，得．
故选：D
18．（2021·嘉峪关市第一中学高三一模（理））已知双曲线与抛物线共焦点，过点作一条渐近线的垂线，垂足为，若三角形的面积为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【解析】
根据双曲线与抛物线共焦点，可确定双曲线的半焦距，再根据双曲线的性质及三角形的面积可得或，进而可得离心率.
【详解】

抛物线的交点坐标为，
又双曲线与抛物线共焦点，
双曲线的半焦距，
三角形的面积为，且，
，即，
有，
或，
双曲线的离心率为或，
故选：C.
19．（2021·湖北高三开学考试）已知双曲线的左右焦点为，过的直线交双曲线右支于，若，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
设根据，且，结合双曲线的定义求得 ，再 在中，利用勾股定理求解.
【详解】
设因为，且，
所以，
由双曲线的定义得：，，
因为，
所以，
解得，
所以在中，，
即，
解得，
故选：D
20．（2021·全国高三模拟预测）设双曲线：的左、右焦点分别是，，过作渐近线的垂线，垂足为．若的面积为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【解析】
由双曲线性质知，，，由得，，代入求得a，b，c的关系，从而求得离心率.
【详解】
由双曲线性质知，，，
由得，，解得，，
所以双曲线的离心率，
故选：D．
21．（2021·孟津县第一高级中学（文））双曲线的左右顶点分别为A、B，过A且斜率为的直线l与渐近线交于第一象限的N，与y轴交于M，若M为中点，则双曲线的离心率为（ ）

A． B．
C．2 D．3
【答案】D
【解析】
连接，易知△中是中位线，即有轴，可得坐标，结合直线l的斜率，列关于a、c的齐次方程求离心率即可.
【详解】
由M为中点，连接，易知△中是中位线，即轴，则，
∴，则，得.
故选：D

22．（多选题）【江苏省徐州市2020-2021学年高三上学期12月模拟测试】椭圆，，分别为左、右焦点，，分别为左、右顶点，P为椭圆上的动点，且恒成立，则椭圆C的离心率可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】
设，，，则，，，，再由可得，从而可求出离心率的范围
【详解】
设，，，
则，，
，．
因为

恒成立，
所以离心率．
故选：AC
23.【四川省成都市第七中学2020-2021学年高三期中数学（文）】已知椭圆，左焦点，右顶点，上顶点，满足，则椭圆的离心率为____________.
【答案】
【分析】
利用数量积的坐标公式计算可得答案．
【详解】
由可得，，即，
则，解得或（舍）
故答案为：
24．【重庆市南开中学2020届高三下学期第九次教学质量检测数学（理）】已知，B分别是椭圆的左焦点和上顶点，点O为坐标原点.过点垂直于x轴的直线交椭圆C在第一象限的交点为P，且，则椭圆C的离心率为___________.
【答案】
【分析】
求出三点的坐标，利用计算可得.
【详解】
由题意得：，，
把点代入椭圆方程得：，，
P点坐标为，
，，
，
，得：，即，
两边同除以得：，解得：，
故答案为：.
25．【四川省武胜烈面中学校2020-2021学年高三9月月考数学（理）】已知点P在椭圆上，F1是椭圆的左焦点，线段PF1的中点在圆上.记直线PF1的斜率为k，若，则椭圆离心率的最小值为_____.
【答案】
【分析】
设线段的中点为，根据已知条件判断出，设，由求得的取值范围，用余弦定理列不等式，化简求得椭圆离心率的最小值.
【详解】
设线段的中点为，连接，由于在圆上，
所以.由于是线段的中点，所以，
所以.
设，则，所以，.
在三角形中，由余弦定理得
，
所以，
由于，，
所以，
所以，
所以，
由于，所以不等式左边成立，
右边，即，可化为，
，解得，所以的最小值为.
故答案为：

26．【江苏省盐城市滨海县八滩中学2020届高三下学期高考模拟考试（二）】平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为F，右准线与x轴的交点为A，若在椭圆C上存在一点P，使得，则椭圆C的离心率的取值范围为_______________．
【答案】
【分析】
依题意在线段的垂直平分线上，所以的横坐标为，再根据在椭圆上，所以，即可得到齐次式，从而求出离心率的取值范围；
【详解】
解：椭圆的右焦点，右准线为，因为，
所以在线段的垂直平分线上，所以的横坐标为，因为在椭圆上，所以，即，同除得，，解得或，因为，所以，即
故答案为：