湖北省云梦县黄香高级中学2021届高三上学期期中考试数学试卷 Word版含答案

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注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。 

一、选择题（本大题有8小题，每小题5分，共40分，每一小题只有一个选项正确）

1．已知集合A＝{u|u＝}，B＝{y|y＝x2＋1}，则A∩B＝（    ）

A．∅               B．[1，＋∞)         C．[－1，＋∞)       D．[－1，1]

2．如果，那么+A)的值是（    ）

A．            B．             C．            D．．

3．等差数列中，，则的值为（    ）

A．             B．             C．              D．

4．已知向量的夹角为，且=1,|2+|=, 则||=（    ）

A．              B．              C．               D．1

5．命题“∀x＞0，＞0”的否定是（    ）

A．∃x＜0，≤0   B．∃x＞0，0≤x≤1     C．∀x＞0，≤0    D．∀x＜0，0≤x≤1

6．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

7．设分别是双曲线的左右焦点,点A在双曲线的右支上位于第一象限的位置，，AF1=6，则此双曲线的离心率为（    ）

A．              B．            C．或         D．

8．某新能源汽车公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2018年（记为第1年）全年投入研发资金5300万元，在此基础上，以后每年投入的研发资金比上一年增长，则该公司全年投入的研发资金开始超过7000万元的年份是（    ）

（参考数据：，，）

A．2023年          B． 2022 年         C．2021 年           D．2020 年

二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有2个或2个以上选项符合要求，共20分)

9．已知函数,则下列结论不正确正确的是（    ）

A．f(-x)+f(x)=0对任意成立     B．函数f(x)=2有1个实数解

C．若，则一定有f(<f(     D．方程f(x)=x有三个实数根

10．已知点是所在的平面外一点，若，1，，，，，，2，，则（    ）

A．       B．         C．        D．

11． 已知函数，分别为的内角A,B,C所对的边，且，则下列不等式一定成立的是（    ）

A．                         B．

C．                D．

12．已知是椭圆长轴上的两个顶点，点是椭圆上异于 的任意一点，点与点关于轴对称，则下列四个命题中正确的是（    ）

A．直线与的斜率之积为定值－

B．存在点P，使得=

C．的外接圆半径的最大值为

D．直线与的交点在双曲线上

三、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填入相应的位置）

13．已知等比数列满足，且，则当时，________．

14．“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例，根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，比毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形中，满足“勾3股4弦5”，且，为上一点，．若，则的值为________．

15．函数，若恰有2个零点，则实数的取值范围是   ________．

16．已知椭圆是椭圆上异于顶点的两点，有下列三个不等式：①；②；③．

其中不等式恒成立的序号是________．（填所有正确命题的序号）

四、解答题（本大题有6小题，共70分，每小题请写出必要的解答步骤和计算过程）

17．（本小题10分）在①数列{an}为等差数列，且a3＋a7＝18；②数列{an}为等比数列，且a2a6＝64，a2a3<0；③Sn－1＝an－1(n≥2)这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并加以解答．

已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，________．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）是否存在正整数k∈{8，9，10}，使Sk>512，若存在，求出相应的正整数k的值；若不存在，请说明理由．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

18．（本小题12分）锐角△ABC的面积为S，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且4S= (a2+b2-c2)若函数 =2sinωxcosωx+2cos2ωx的最小正周期为π，c为在[0，]上的最大值.

（1）求出c的值；    

（2）求出a-b的取值范围．

19．（本小题12分）在如图所示的几何体中，⊥平面，四边形为等腰梯形，，，，∠，，.

（1）证明：；

（2）当二面角的余弦值为时，求线段的长．

20．（本小题12分）某电子器件的形状如图所示多边形，可以看成在一个长为80mm,宽为60mm的矩形的四个角处对称地截去四个全等的三角形所得，记整个多边形的周长（图中实线部分）总长度为，与、的交点为、，与、的交点为、，（）. AF=80mm，CH=60mm.

（1）若，且米，求该电子器件底托的外围总长度（多边形周长）

（2）由于设计需要，底托的外围总长度不超过240mm，但又要使底托面积（多边形的面积）最大，以便放置尽可能多的集成电路，给出此设计方案中的大小与的长度．

21．（本小题12分）已知点是椭圆上一点，到椭圆的两个焦点， 的距离之和为，.

（Ⅰ）求椭圆的方程和离心率;

（Ⅱ）设直线交椭圆于两点,是否存在实数，使以为直径的圆过点，若存在，求的值，若不存在，请说明理由．

22．（本小题12分）已知函数，在[1, 2]上有最大值1和最小值0.设.（其中为自然对数的底数）

（1）求，的值；

（2）若不等式在有解，求实数的取值范围；

（3）若方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围．

数学答案

一、   单项选择题：

1．B    2．A    3．B    4．D    5．B    6．C    7．D    8．A 

二、多项选择题：

9．BCD    10．CD    11．BC    12．ACD

三、填空题：

13、      14、      15、     16、①②③

四、解答题：

17、解：选择条件①，解答如下：

（1）因为数列{an}为等差数列，则

又因为a3＋a7＝18，∴，  ……………………………………………………2分

所以数列{an}的公差

所以………………………………………5分

（2）由（1）可得：…………………7分

当时，；当时，；当时，

所以不存在正整数k∈{8，9，10}，使Sk>512………………………………………10分

选择条件②，解答如下：

因为数列{an}为等比数列，则，又a2a6＝64，所以，

因为，又a1＝1，则……………………………………………3分

设数列{an}的公比为q，则

所以        ……………………………………………………5分

（2）由（1）可得……………………………………7分

当n=8时，

当n=9时，

当n=10时，

所以不存在正整数k∈{8，9，10}，使Sk>512………………………………………10分

选择条件③，解答如下：

当n=2时，，即，

当n>2时，，

两式相减可得，即………………………………3分

则，即，

又，所以数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，

则     ………………………………………………………………5分

（2）由（1）可得……………………………………………7分

当n=8时，，

当n=9时，，

当n=10时，，

则存在正整数k∈{8，9，10}，使Sk>512……………………………………………10分

18、解：（1）函数=2sinωxcosωx+2cos2ωx

……………………………………………3分

函数的最小正周期为π，则，，

当[0，]，，，故c=3…………………………6分

（2）△ABC的面积为S，且4S=(a2+b2-c2)，可得,

，得

又C为三角形内角，则    ……………………………………………………8分

由正弦定理得，∴，，

则

……………………………………10分

因为

故.即a-b的取值范围为………………12分

19、解：(1)由题知平面，平面,∴………………1分

过点作于点，在中，，，得，

在中，

∴，∴……………………………………………………4分

且，∴平面

又∵平面，∴…………………………………………………6分

（2）以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，

设，则，，，，∴，，，..8分

设为平面的一个法向量，则，

令得，

同理可求得平面的一个法向量

…………………………………10分

，

化简得，解得或，

∵二面角为锐二面角，经验证舍去，∴.

作于点，则为中点，

∴……………………………………………………12分

20、解：（1）由题，得，得 ，由，

则，，故，

则。。。5分

（2）设，则,,

则，，

则

当会使整个底托的面积最大，则，

得 …………………………………………………………………7分

整个底托的面积，

得，

令，，则，

且，得……………………………………10分

则，

当时，最大，即，此时，，

即整个底托的面积最大时，，……………………………12分

21、解：（Ⅰ）依题意可知: ，所以

所以椭圆的方程为,离心率为………………………………5分

（Ⅱ）设

由消去知,

则…………………………………………………………………7分

若以为直径的圆过点,则,即

而,且

所以

……………………………………………………………………………………………10分

解得:。此时符合题意.综上,的值为…………………………………12分

22、解：（1）由题意可知，对称轴为，

当时，函数在上递增，则，解得；

当时，函数在上递减，则，解得；

又，故………………………………………………………………………4分

（2），

所以在上有解时，

则在有解，

令，则只需成立即可.

当时，，则，

故，得……………………………………………………………………8分

（3）若，

则

令，，则，

若方程有三个不同的实数解，

则有两个解，或，

即在和上有各有一根，

令

则或

解得：所以，实数的取值范围是……………………………………12分