江苏省江浦高级中学2021届高三上学期期中考试模拟（二）数学试题 Word版含答案
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数学试题
一、选择题（每小题5分，共8小题40分）
1. （2017全国Ⅰ文）已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若，则（ ）
A. B. C. D.
3. 设命题，；命题：，，则下列命题为真的是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知直线平面，直线平面，则下列结论中错误的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
5. 不等式的解集是( )
A. B. C. D.
6. 要得到函数的图象，只需将函数的图象( )
A. 向右平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位
7. 已知函数满足，且是偶函数，当时，，若在区间内，函数有4个零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知数列满足，，则=（ ）
A. 2 B. 6 C. D.
二、多选题（每小题5分，共4小题20分）
9. 已知双曲线过点且渐近线为,则下列结论正确的是( )
A. 双曲线C的方程为 B. 双曲线C的离心率为
C. 曲线经过双曲线C的一个焦点 D. 直线与双曲线C有两个公共点
10. 定义,如.当时,有解,则下列对实数的取值描述正确的是( )
A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. D.
11. 已知,则下列选项中图象的对称轴是( )
A. B. C. D.
12. 给出下列不等式,其中恒成立的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题（每小题5分，共4小题20分）
13. 【变式训练1】某种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了1 000粒,对于没有发芽的种子,每粒需再补种2粒,补种的种子数大约为__________.
14. 若抛物线上的点到焦点的距离为,则到轴的距离是__________.
15. 【2019年高考全国III卷理数13】已知,为单位向量,且,若,则__________.
16. 函数的所有零点之和为__________.
四、解答题（第17题10分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题12分，共6小题70分）
17. 设的内角所对的边分别为，且（1）求的值；（2）求的值.
18. 如图,在底面是正方形的四棱锥中,,,点在底面的射影恰是的中点. (1)证明:平面平面; (2)求二面角的正弦值大小.
19. 已知等差数列满足，． （1）求数列的通项公式； （2）设等比数列的各项均为正数，其前项和为，若，，求．
20. 为保护农民种粮收益,促进粮食生产,确保国家粮食安全,调动广大农民粮食生产的积极性,从年开始,国家实施了对种粮农民直接补贴.通过对年的数据进行调查,发现某地区发放粮食补贴额(亿元)与该地区粮食产量(万亿吨)之间存在着线性相关关系.统计数据如下表:
(1)请根据如表所给的数据,求出关于的线性回归直线方程; (2)通过对该地区粮食产量的分析研究,计划年在该地区发放粮食补贴额亿元,请根据(1)中所得的线性回归直线方程,预测年该地区的粮食产量. (参考公式:,)
21. 如图,某小区内有两条互相垂直的道路与,平面直角坐标系的第一象限有一块空地,其边界是函数的图象,前一段曲线是函数图象的一部分,后一段是一条线段.测得到的距离为米,到的距离为米,长为米. (1)求函数的解析式; (2)现要在此地建一个社区活动中心,平面图为梯形(其中,为两底边),问:梯形的高为多少米时,该社区活动中心的占地面积最大,并求出最大面积.
22. 已知椭圆()的半焦距为,圆与椭圆有且仅有两个公共点,直线与椭圆只有一个公共点. (1)求椭圆的标准方程; (2)已知动直线过椭圆的左焦点,且与椭圆分别交于,两点,点的坐标为,证明为定值.
江浦高级中学2021届高三上学期期中考试模拟（二）
数学试题
一、选择题（每小题5分，共8小题40分）
1. （2017全国Ⅰ文）已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A【解析】由得，所以，选A.
2. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C【解析】利用共轭复数的概念及复数的运算法则求解. 因为，
则，所以，则.故选C.
3. 设命题，；命题：，，则下列命题为真的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A【解析】命题，，当时即可，命题为真；
命题：，，当时，两式相等，命题为假； 则为真，故选A
4. 已知直线平面，直线平面，则下列结论中错误的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
【答案】D【解析】A项,由,可知,又,故A正确；B项,因为,又,故B正确；C项,,又,故C正确；D项,因为,可知平行,相交,异面,所以D错误.综上可知应选D.
5. 不等式的解集是( )
A. B. C. D.
【答案】A【解析】考查绝对值不等式的化简.绝对值大于本身,值为负数.,
解得.
6. 要得到函数的图象，只需将函数的图象( )
A. 向右平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位
【答案】C【解析】据已知得, 又，将其图象向右平移个单位后所得函数解析式为，符合题意．
7. 已知函数满足，且是偶函数，当时，，若在区间内，函数有4个零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C【解析】由题意，知函数的周期， 当时，，又因为是偶函数，当，，结合函数的周期，可以作出，由函数的大致图像，知道有4个零点，即函数与直线（直线恒过定点）有4个交点，由图像易知.
8. 已知数列满足，，
则=（ ）
A. 2 B. 6 C. D.
【答案】D【解析】∵， ∴，, ∴数列周期为4的数列，∴, 并且有∴.
二、多选题（每小题5分，共4小题20分）
9. 已知双曲线过点且渐近线为,则下列结论正确的是( )
A. 双曲线C的方程为 B. 双曲线C的离心率为
C. 曲线经过双曲线C的一个焦点 D. 直线与双曲线C有两个公共点
【答案】A,C【解析】设双曲线方程为代入得,即,A正确;,,,B错;焦点在上,C正确; 联立可得,只有个交点,D错.
10. 定义,如.当时,有解,则下列对实数的取值描述正确的是( )
A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. D.
【答案】B,C【解析】由题可知,当时,有解,令,,将不等式问题转化为,令,,, ∵,∴取得最大值,∴.
11. 已知,则下列选项中图象的对称轴是( )
A. B. C. D.
【答案】B,D【解析】由题得,令, 所以其对称轴为,令得;令得.
12. 给出下列不等式,其中恒成立的是( )
A. B.
C. D.
【答案】B,C,D【解析】选项A中,当,同号时,,当,异号时,,则,所以选项A中的不等式不恒成立.选项B中,由于,,且,所以,则(,,且)恒成立. 选项C中,当时,,显然成立;易知函数在区间上单调递减,在上单调递增, 当时,,所以,即; 当时,,所以,即; 当时,,故选项C中的不等式恒成立. 选项D中,.综上可得,恒成立的为BCD.
三、填空题（每小题5分，共4小题20分）
13. 【变式训练1】某种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了1 000粒,对于没有发芽的种子,每粒需再补种2粒,补种的种子数大约为__________.
【答案】200【解析】发芽的概率为0.9,所以不发芽的概率为0.1,所以1000粒中大约有粒,每粒没发芽需要补种2粒,所以大约要补种粒.
14. 若抛物线上的点到焦点的距离为,则到轴的距离是__________.
【答案】【解析】因为抛物线,所以焦点坐标为,准线方程为, 因为点到焦点的距离为,根据抛物线定义,则到准线的距离也为, 所以点到轴的距离为.
15. 【2019年高考全国III卷理数13】已知,为单位向量,且,若,则__________.【答案】
【解析】∵,∴, ∵,∴.
16. 函数的所有零点之和为__________.
【答案】【解析】构造函数,, ∵时,函数,的图象都关于直线对称, ∴函数的图象关于直线对称. ∵时,函数,的图象的交点共有个, ∴函数的所有零点之和等于.
四、解答题（第17题10分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题12分，共6小题70分）
17. 设的内角所对的边分别为，且（1）求的值；（2）求的值.
【答案】（1）. （2）
【解析】（1）由余弦定理得. 又,∴,解得. （2）在中，， 由正弦定理得. ∵，∴为锐角. ∴. ∴.
18. 如图,在底面是正方形的四棱锥中,,,点在底面的射影恰是的中点. (1)证明:平面平面; (2)求二面角的正弦值大小.
【答案】见解析.
【解析】(1)证明:依题意,得平面, 又平面,∴. 又,,∴平面. 又平面,∴平面平面. (2)解:取的中点,依题意,得,,两两互相垂直, ∴以,,为,,轴建立如图所示的空间直角坐标系, 由已知得,,所以,,,, 则,,, 设是平面的法向量, 则令,则. 设是平面的法向量, 则令,则, ∴, ∴二面角的正弦值为.
19. 已知等差数列满足，． （1）求数列的通项公式； （2）设等比数列的各项均为正数，其前项和为，若，，求．
【答案】（1）；（2）故或
【解析】（1）设数列的公差为，则，.； （2），，，则. 由，则， 而，联立方程， 则或， 故或. 当，； 当，. 故或.
20. 为保护农民种粮收益,促进粮食生产,确保国家粮食安全,调动广大农民粮食生产的积极性,从年开始,国家实施了对种粮农民直接补贴.通过对年的数据进行调查,发现某地区发放粮食补贴额(亿元)与该地区粮食产量(万亿吨)之间存在着线性相关关系.统计数据如下表:
(1)请根据如表所给的数据,求出关于的线性回归直线方程; (2)通过对该地区粮食产量的分析研究,计划年在该地区发放粮食补贴额亿元,请根据(1)中所得的线性回归直线方程,预测年该地区的粮食产量. (参考公式:,)
【答案】见解析
【解析】(1)由已知数据,可得,. 代入公式,经计算,得,∴. ∴所求关于的线性回归直线方程为. (2)由题意,知,代入(1)中所得线性回归直线方程,计算得.∴年该地区的粮食产量大约为万亿吨.
21. 如图,某小区内有两条互相垂直的道路与,平面直角坐标系的第一象限有一块空地,其边界是函数的图象,前一段曲线是函数图象的一部分,后一段是一条线段.测得到的距离为米,到的距离为米,长为米. (1)求函数的解析式; (2)现要在此地建一个社区活动中心,平面图为梯形(其中,为两底边),问:梯形的高为多少米时,该社区活动中心的占地面积最大,并求出最大面积.
【答案】(1); (2)当梯形的高为米时,活动中心的占地面积最大,最大面积为平方米
【解析】(1)以代入,得,因为,得直线:, 所以. (2)设梯形的高为米,则,且,, 所以,所以梯形的面积,由, 令,得,列表如下:↗ 极大值 ↘ 所以当时,取得极大值,即为最大值为. 答:当梯形的高为米时,活动中心的占地面积最大,最大面积为平方米.
22. 已知椭圆()的半焦距为,圆与椭圆有且仅有两个公共点,直线与椭圆只有一个公共点. (1)求椭圆的标准方程; (2)已知动直线过椭圆的左焦点,且与椭圆分别交于,两点,点的坐标为,证明为定值.
【答案】见解析.
【解析】(1)依题意得,则, 故椭圆的标准方程为. (2)证明:①当直线的斜率不存在时,直线的方程为, 代入,得, 不妨设,,因为, 所以,,所以; ②当直线的斜率存在时,设直线的斜率为,则直线方程为, 代入,可得, 设,,则,, 因为,, 所以, 综上所述,为定值.
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