2022-2023学年江苏省南京市江浦高级中学高一上学期12月阶段测试数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省南京市江浦高级中学高一上学期12月阶段测试数学试题

一、单选题

1．已知角，则的终边在（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【分析】利用角终边相同公式得到的终边与的终边相同，从而得到的终边所在象限.

【详解】因为，而，

所以的终边在第三象限.

故选：C.

2．函数的定义域为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据根号下大于等于0和分母不等于0可列不等式组，解出即可.

【详解】由题意得，解得且，即定义域为，

故选：D.

3．命题“”的否定是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义判断.

【详解】因为命题“”是全称量词命题，

所以其否定是存在量词命题，即“”，

故选：A

4．若，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用指数函数的单调性与值域可得，再由对数函数的单调性可得，由此可得结果.

【详解】因为指数函数在上单调递减，所以，则，

又指数函数恒成立，故，

因为对数函数在上单调递减，所以，即，

综上：.

故选：B.

5．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.

【详解】由函数的解析式可得：，则函数为偶函数，其图象关于坐标轴对称，选项AB错误；

当时，，选项C错误.

故选：D.

【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．

6．砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气．如图所示，一扇环形砖雕，可视为将扇形截去同心扇形所得图形，已知，则该扇环形砖雕的面积为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据扇形的面积公式公式即可求解.

【详解】由以及扇形的面积公式可得: ,

故选：D

7．已知正数，满足，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．1

【答案】B

【分析】先利用基本不等式中“1”的妙用求得的取值范围，从而求得的最大值.

【详解】因为，，，所以，

故，

当且仅当且，即时，等号成立，

所以，故，则的最大值为.

故选：B.

8．已知，，用表示，中的较大者，记为，当时，的值域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】两函数作差得，分和讨论得到，再求出此分段函数值域即可.

【详解】，

因为,

所以,当时,

,

,所以,

当时，

,

,所以,

所以,

当时,单调递减,所以,

即,

当时,单调递增,所以,

即,

综上,,

即的值域为.

故选：D.

二、多选题

9．下列各组函数中不是同一个函数的是（    ）

A．和 B．和

C．和 D．和

【答案】ACD

【分析】判断两函数是否为同一函数，只需要判断两者的定义域与对应法则是否相同即可.

【详解】对于A，因为的定义域为，而的定义域为，所以与不是同一函数，故A正确；

对于B，因为与的定义域与对应法则相同，所以与是同一函数，故B错误；

对于C，因为，所以，则，即定义域为，

而，所以，得或，即的定义域为，

所以与不是同一函数，故C正确；

对于D，因为的定义域为，而的定义域为，所以与不是同一函数，故D正确.

故选：ACD.

10．已知是第三象限角，则可能是（    ）

A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角

【答案】BD

【解析】因为是第三象限角，所以，，所以，，再讨论的奇偶可得.

【详解】因为是第三象限角，所以，，

，，

当为偶数时，是第二象限角；当为奇数时，是第四象限角，

故选：.

【点睛】本题考查象限角的应用，属于基础题.

11．已知关于的不等式在上有解，则的取值可以是（    ）

A． B． C． D．0

【答案】ABC

【分析】分离参数得，设，转化为，求其最大值即可.

【详解】不等式在上有解等价于

设，

，而，故在上的最大值为，

故，

故选：ABC.

12．已知函数，下列说法中正确的是（    ）

A．的定义域为 B．为奇函数

C．在定义域内为增函数 D．若，则

【答案】BCD

【分析】利用换元法求得，即可判断A，再根据函数奇偶性的判定方法即可判断B，对C直接从解析式形式即可判断其单调性，对D根据单调性解不等式即可.

【详解】设，则，故，

所以，，故A错误，

，且定义域关于原点对称，所以为奇函数，故B正确，

，为增函数，且恒大于0，则为减函数，则为增函数，则为增函数，故C正确，

，根据为增函数，所以，解得，

故D正确.

故选：BCD.

三、填空题

13．函数（且）恒过定点___________.

【答案】

【分析】令即可得到定点坐标.

【详解】当时，，故恒过定点为，

故答案为：.

14．是定义在R上的奇函数，当时，，当x＜0时，= ______.

【答案】

【分析】当时，，所以，然后结合函数的奇偶性可得答案.

【详解】当时，，所以

因为是定义在R上的奇函数，所以，所以

故答案为：

15．已知，则___________.

【答案】##

【分析】利用整体法与诱导公式将转化为，从而得解.

【详解】因为，

所以.

故答案为：.

四、双空题

16．已知，方程有四个不同的根，且满足，（1）___________；（2）的取值范围为：___________.

【答案】         

【分析】先利用一次函数与对数函数的图像性质作出图像，结合图像易得，与，进而构造对勾函数求得，从而求得的值.

【详解】因为，

所以，由此利用一次函数与对数函数的图像性质即可作出图像，

由图像易知，则，

又由图像易知，，，则，，故，，即，

所以，

令，易知对勾函数在上单调递减，

所以，即，则，

所以.

故答案为：；.

五、解答题

17．已知集合，集合.

(1)求；

(2)若，求实数的取值集合.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）解中的一元二次方程即可；

（2）分和，即分和讨论即可.

【详解】（1），解得或，

故.

（2）①当时，符合；

②当即时，

则，由可得或，解得或

综上的取值集合为.

18．化简求值：

(1)；

(2).

【答案】(1)

(2)

【分析】利用指数幂与对数运算法则运算即可.

【详解】（1）原式.

（2）原式.

19．已知，

(1)求，；

(2)求.

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1），再联立，解出，分类讨论即可.

（2）利用诱导公式和化弦为切得原式，代入数值即可.

【详解】（1）由为第一或第三象限角

又，则，联立

解得，

①当为第一象限角时

则，

②当为第三象限角时

则，

（2）原式

20．已知函数

(1)判断的奇偶性并证明；

(2)写出的单调增区间（直接写，不要过程）；

(3)解不等式.

【答案】(1)为奇函数，证明见解析；

(2)单调增区间为；

(3).

【分析】（1）求出函数定义域，求出即可得到奇偶性；

（2）任取，则，得出与0的大小关系即可证明；

（3）根据函数奇偶性得，再根据函数定义域及单调性列出不等式组，解出即可.

【详解】（1）为奇函数，下证明：

由已知，，即定义域为，关于原点对称

又

为奇函数，

（2）的单调增区间为，

证明：设，

则

因为，所以，于是.则,所以

所以，即，

即函数是上的增函数.

（3）即

又在定义域上为增函数

即不等式的解为：.

21．已知产品利润等于销售收入减去生产成本.若某商品的生产成本（单位：万元）与生产量（单位：千件）间的函数关系是；销售收入（单位：万元）与生产量间的函数关系是.

(1)把商品的利润表示为生产量的函数；

(2)当该商品生产量（千件）定为多少时获得的利润最大，最大利润为多少万元？

【答案】(1)

(2)生产量为千件时，最大利润为万元

【分析】（1）设利润是（万元），由即可得利润关于生产量的函数；

（2）分别由基本不等式和一次函数的单调性求得分段函数两段的最值即可求解.

【详解】（1）设利润是（万元），因为产品利润等于销售收入减去生产成本，

则，

所以.

（2）当时，

，

当，即时，，

当时，是减函数，时，，

所以当时，，

所以生产量为千件时，最大利润为万元.

22．已知定义在上函数满足：当时，，且对都有.

(1)求并写出的奇偶性（直接写，不要过程）；

(2)判断在区间上的单调性并证明；

(3)已知，，若，对，总有成立，求的取值范围.

【答案】(1)，为奇函数

(2)区间上是增函数，证明见解析

(3)

【分析】（1）利用赋值法得到与，从而可判断为奇函数；

（2）利用函数单调性的定义法证明即可；

（3）将题设条件转化为的值域是的值域的子集，再结合二次函数的图像性质列出不等式组，解之即可.

【详解】（1）因为都有，

所以令，则，整理得，

因为，则，所以，

令，则，即，

又是定义在上的函数，即的定义域关于原点对称，

所以为奇函数.

（2）在区间上是增函数，证明如下：

不妨设，且，

有，

因为，所以，

又因为当时，，所以，，，

故，即，

所以在区间上是增函数.

（3）因为，

又由（1）（2）可知奇函数在区间上单调递增，

所以，则的值域为集合，

假设在区间上的值域为集合，

因为，对，总有成立，

所以的值域是的值域的子集，即，

令，由得，令，则等价于，

又，由二次函数的性质可知，

则，即，解得，则，

所以，，即，

所以，解得，

故的取值范围为.