2023年山东省菏泽市牡丹二十二中中考数学二模试卷（含解析）

2023年山东省菏泽市牡丹二十二中中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在、、、这四个数中，最小的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图所示的几何体的左视图是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  一副直角三角板如图放置，点在边的延长线上，，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

5.  古钱币是我国悠久的历史文化遗产，以下是在中国古代钱币特种邮票中选取的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  为了提升学生的人文素养，某校开展了朗诵经典文学作品活动，来自不同年级的名参赛同学的得分情况如图所示，这些成绩的中位数和众数分别是(    )

A. 分，分 B. 分，分 C. 分，分 D. 分，分

7.  函数与在同一坐标系中的大致图象是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  如图，在正方形中，，动点从点出发，以秒的速度沿折线的路径运动，到点停止运动．过点作，与边或边交于点，的长度与点的运动时间秒的函数图象大致是(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

9.  年月日，国家统计局发布的中华人民共和国年国民经济和社会发展统计公报中报道：年全年研究与试验发展经费支出亿元，比上年增长，将数字用科学记数法表示应为______ ．

10.  因式分解          ．

11.  某学校组织学生到社区开展公益宣传活动，成立了“垃圾分类”“文明出行”“低碳环保”三个宣传队，如果小华和小丽每人随机选择参加其中一个宣传队，则她们恰好选到同一个宣传队的概率是______ ．

12.  如图，将扇形沿方向平移，使点移到的中点处，得到扇形若，，则阴影部分的面积为          ．

13.  已知，是一元二次方程的两根，则的值是______ ．

14.  如图，已知，，，，点在上不与、重合，连接，分别将和沿直线、翻折得到和，连接，给出下列结论：
；
当时，的长为；
当、、三点共线时，四边形是菱形；
面积的最小值为．
则正确结论有______ 填序号
 

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

15.  解不等式组：并写出它的正整数解．

四、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：．

17.  本小题分
如图，在平行四边形中，连接，为线段的中点，延长与的延长线交于点，连接，．

求证：四边形是矩形；
若，，求四边形的面积．

18.  本小题分
图是一台实物投影仪，图是它的示意图，折线表示固定支架，垂直水平桌面于点，点为旋转点，可转动，当绕点顺时针旋转时，投影探头始终垂直于水平桌面，经测量：，，，，

如图，，．
填空： ______ ；
投影探头的端点到桌面的距离______ ．
如图，将中的向下旋转，时，求投影探头的端点到桌面的距离参考数据：，，，
 

19.  本小题分
年春节科幻电影流浪地球火热上映，激发了人们阅读科幻书籍的热情某学校图书馆购进甲、乙两种科幻书籍，已知每本甲图书的进价比每本乙图书的进价高元，购买元中图书的数量与购买元乙图书的数量相同．
求甲、乙两种图书每本的进价分别是多少元？
某中学计划购进甲、乙两种图书共本，且甲种图书的数量比乙种图书的数量至少多本，怎样购买，才能使购书总费用最少？并求出最少费用．

20.  本小题分
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于二、四象限内的、两点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为．
求该反比例函数和一次函数的解析式；
连接，求 的面积；
在轴上是否存在点，使是直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

21.  本小题分
共享单车近日成为市民新宠，越来越多的居民选择共享单车作为出行的交通工具，某中学课外兴趣小组为了了解某小区居民每周使用共享单车时间的情况，随机抽取了该小区部分使用共享单车的居民进行调查问卷调查表如图所示，并用调查结果绘制了图、图两幅每周使用共享单车时间的人数统计图均不完整，请根据统计图解答以下问题：

本次接受问卷调查的共有______ 人；在扇形统计图中“”选项所占的百分比为______ ：
扇形统计图中，“”选项所对应扇形圆心角为______ 度；
请补全条形统计图；
若该小区共有名居民，请你估计该小区使用共享单车的时间在“”选项的有多少人？

22.  本小题分
如图，是的直径，是弦，是的中点，与交于点是延长线上的一点，且．
求证：为的切线；
连接，取的中点，连接若，，求的长．

 

23.  本小题分
【课本再现】
如图，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为，四边形为两个正方形重叠部分，正方形可绕点转动则下列结论正确的是______ 填序号即可．
≌；
；
四边形的面积总等于；
连接，总有．
【类比迁移】
如图，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，猜想，，之间的数量关系，并进行证明；
【拓展应用】
如图，在中，，，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线，相交于点，，可绕着点旋转，当时，求线段的长度．

 

24.  本小题分
在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，两点．是抛物线上一点，且在直线的上方．
求抛物线的解析式；
若面积是面积的倍，求点的坐标；
如图，交于点，交于点记，，的面积分别为，，判断是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
 

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
四个数中，最小的数是．
故选：．
任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于，负实数都小于，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小，由此即可得到答案．
本题考查实数的大小比较，关键是掌握实数大小的比较方法．
 

2.【答案】 

【解析】解：从左边看，是一列个矩形．
故选：．
根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
本题考查了简单几何体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意；
故选：．
根据算术平方根，完全平方公式，同底数幂除法，合并同类项等计算法则求解即可．
本题主要考查了求算术平方根，完全平方公式，同底数幂除法，合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
．
故选：．
直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出，进而得出答案．
此题主要考查了平行线的性质，根据题意得出的度数是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形的，故本选项符合题意．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了轴对称与中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

6.【答案】 

【解析】解：由统计图得，出现了次，出现次数最多，
所以数据的众数为分；
共有个数，最中间的两个数分别为，，
所以数据的中位数为分．
故选：．
利用众数和中位数的定义求解．
本题考查中位数、众数的意义，众数就是一组数据中出现次数最多的数，中位数则是将一组数据从小到大排列后处在中间位置的一个数或两个数的平均数．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了反比例函数与一次函数图象，关键是掌握一次函数图象与系数的关系．一次函数的图象有四种情况：
当，时，函数的图象经过第一、二、三象限，的值随的值增大而增大；
当，时，函数的图象经过第一、三、四象限，的值随的值增大而增大；
当，时，函数的图象经过第一、二、四象限，的值随的值增大而减小；
当，时，函数的图象经过第二、三、四象限，的值随的值增大而减小．
首先把一次函数化为，再分情况进行讨论，时；时，分别讨论出两函数所在象限，即可选出答案．
【解答】
解：，
当时，反比例函数在第一、三象限，一次函数在第一、三、四象限，
当时，反比例函数在第二、四象限，一次函数在第一、二、四象限，
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，，
当时，，
当，，
故符合题意的函数图象是选项A．
故选：．
根据运动速度乘以时间，根据勾股定理，可得长，可得答案．
本题考查了动点函数图象，利用勾股定理是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
根据科学记数法的概念，即把一个数表示成与的次幂相乘的形式不为分数形式，为整数，这种记数法叫做科学记数法，即可解答．
本题考查了科学记数法的概念，熟知概念是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了提取公因式和公式法分解因式，解本题的关键是提取公因式．
先提取，然后用完全平方公式分解即可．
【解答】
解：，
故答案为：．  

11.【答案】 

【解析】解：把“垃圾分类”“文明出行”“低碳环保”三个宣传队分别记为、、，
画树状图如下：

共有种等可能的结果，小华和小丽恰好选到同一个宣传队的结果有种，
小华和小丽恰好选到同一个宣传队的概率为，
故答案为：．
画树状图，共有种等可能的结果，小华和小丽恰好选到同一个宣传队的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件或的概率．正确画出树状图是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
如图，设交于点，连接首先证明，根据求解即可．
本题考查扇形面积的计算等知识，解题的关键是学会割补法求阴影部分的面积．
【解答】
解：如图，设交于点，连接．

，，
，
，
，，
，   ，


．
故答案为：．  

13.【答案】 

【解析】解：、为一元二次方程的两个不等实数根，
，




．
故答案为：．
利用根与系数的关系，可得出，先计算分式，将其代入即可求出结论．
本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：由折叠得：，，，
，
，
，
如图，过点作于，

，
，，
，，
；
故正确；
的面积，
当最小时，面积最小，
当时，面积最小，
如图，，，，

同理得：，，
面积的最小值为；
故正确；
当、、三点共线时，如图，则，

由折叠得：，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是菱形；
故正确；
如图，此时，

是等腰直角三角形，且，
，，
，
；
故正确；
本题正确的结论有．
故答案为：．
先根据折叠的性质证明是顶角是的等腰三角形，作辅助线，可得；如图可知：最小时，的面积最小，由图知：当时，最小，此时最小值是，代入计算可作判断；当、、三点共线时，正确画图，证明可作判断；证明可得．
本题是三角形的综合题，考查了等腰三角形性质，菱形的判定，翻折的性质，含角的直角三角形的性质，垂线段最短，三角形的面积等知识，解决问题的关键是熟悉等腰直角三角形的性质和判定及的等腰三角形边的关系．
 

15.【答案】解：解不等式得，
解不等式得，
不等式组的解集为：，
不等式组的正整数解为：，，． 

【解析】本题主要考查了一元一次不等式组的解法和一元一次不等式组的正整数解，利用一元一次不等式组的解法正确求得不等式组的解集是解题的关键．解不等式组求出它的解集，再取正整数解即可．
 

16.【答案】解：

． 

【解析】根据零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值和绝对值，按照计算顺序计算即可解答．
本题主要考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值和绝对值，熟知计算法则是解题的关键．
 

17.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，
点是的中点，
，
在和中，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
．
四边形是矩形．
解：由得四边形是矩形，
，，，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
即四边形的面积为． 

【解析】由四边形是平行四边形，得，而点是的中点，可得≌，即知，从而四边形是平行四边形，又，即得四边形是矩形；
由，，，得的长，进而得到矩形的面积，再求出的面积，即可得四边形的面积．
本题考查平行四边形的性质，矩形的判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理，证明．
 

18.【答案】；．
过点作于点，过点作，与延长线相交于点，如图，

，，
，
在中，，
则投影探头的端点到桌面的距离．
故投影探头的端点到桌面的距离约为． 

【解析】解：过点作，如图，则，

，
，
，
，
过点作于点，如图，

则，
则投影探头的端点到桌面的距离为：；
故答案为：；．
过点作，如图，根据平行线的性质解答便可；
过点作于点，如图，解直角三角形求出，进而计算求得结果；
过点作于点，过点作，与延长线相交于点，解直角三角形求出，再根据线段的和差关系求得投影探头的端点到桌面的距离．
此题主要考查了解直角三角形的应用，充分体现了数学与实际生活的密切联系，解题的关键是构造直角三角形．
 

19.【答案】解：设甲种图书每本的进价是元，则乙种图书每本的进价是元，
根据题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，也符合题意，
，
甲种图书每本的进价是元，则乙种图书每本的进价是元；
设购买甲种图书本，则购买乙种图书本，
甲种图书的数量比乙种图书的数量至少多本，
，
解得，
根据题意得：，
，
随的增大而增大，
时，取最小值，最小值为，
此时，
购买甲种图书本，购买乙种图书本，能使购书总费用最少，最少费用为元． 

【解析】设甲种图书每本的进价是元，可得：，解方程并检验可得答案；
设购买甲种图书本，由甲种图书的数量比乙种图书的数量至少多本，得，而，根据一次函数性质可得答案．
本题考查分式方程，一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数关系式．
 

20.【答案】解：将代入，得
反比例函数的解析式为；
将代入，得，
解得，
，
将和分别代入，得
，
解得，
所求的一次函数的解析式为；
当时，，
解得：，
，
，，
；
存在．
过点作轴于，交轴于，如图，

，
点坐标为，
点的坐标为；
，
，而，
，
∽，
，即，
，
，
点的坐标为，
满足条件的点坐标为、． 

【解析】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，解决问题的关键是了解反比例函数图象上点的坐标特征和待定系数法确定函数解析式；会运用三角形相似知识求线段的长度．
先把代入反比例函数解析式得到的值，从而确定反比例函数的解析式为；再利用反比例函数解析式确定点坐标为，然后运用待定系数法确定所求的一次函数的解析式为；
先依据一次函数求得点的坐标，进而得到的面积；
过点作轴于，交轴于，可得点的坐标为；再证明∽，利用相似比计算出的长度，进而得到的长度，可得点的坐标为，于是得到满足条件的点坐标．
 

21.【答案】     

【解析】解：根据组的百分比以及人数，可知总人数人，
占：，
故答案为：；；
组的扇形圆心角为，
故答案为：；
组人数为，条形图如图所示：

估计该小区使用共享单车的时间在“”选项的有人．
答：估计该小区使用共享单车的时间在“”选项的有人．
根据百分比，计算即可；
根据圆心角百分比计算即可；
求出组人数，画出条形图即可；
用样本估计总体的思想即解决问题；
本题考查了条形统计图、扇形统计图、样本估计总体的思想等知识，掌握基本概念是关键．
 

22.【答案】解：证明：如图，连接，．
，
，
，
，
，
，
是直径，是的中点，
，
，
，即，
是半径，
是的切线．
解：过点作于点．
设，则，
在中，，
，
，
，
，
，
，
为的中点，
为的中点，即，，，
，
． 

【解析】本题属于圆综合题，考查了切线的判定，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．
如图，连接，证明即可；
设，则，在中，，可得，证明，可得，，由此即可解决问题．
 

23.【答案】 

【解析】解：如图中，连接．

四边形是正方形，
，，
，
，
，
≌，故正确，
，故正确，
，故正确，
，
，
，，
，
，故正确，
故答案为：；
猜想：，理由如下：
连接，是矩形的中心，

点是的中心．
，
延长交于点，连接，
在矩形中，，，
，，
≌，
，，
在矩形中，，
，
在中，
；
设．
当点在线段上时，

，

在中，，
，
又由易知，

，
解得．
．
当点在延长线上时，同理可证．

，
又在中，．
．
解得．
．
故EF的长度为或．
证明≌，可得结论；
猜想：，连接，≌，再利用勾股定理证明即可；
设分两种情形：当点在线段上时，当点在延长线上时，分别利用勾股定理构建方程求解．
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，就提到过房间数正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

24.【答案】解：将，代入，
，
解得，
抛物线的解析式为：
设直线的解析式为：，
将，代入，
，
解得，
，，
，
，即，
过点作轴于点，与交于点，过点作于点，如图，

，
，
设点的横坐标为，
，，
．
解得或；
或．
，
∽，
：：：，
，，
，
设直线交轴于点则，
过点作轴，垂足为，交于点，如图，

，
，
，
，
，
：：，
设，
由可知，，
．
，
当时，的最大值为． 

【解析】本题考查一次函数和二次函数的图象与性质、三角形面积、相似三角形的判定与性质等基础知识，考查数形结合、函数与方程，函数建模等数学思想方法，考查运算能力、推理能力、空间观念与几何直观、创新意识等数学素养．
将点，的坐标代入二次函数的解析式，利用待定系数法求解即可；
利用待定系数法求出直线的解析式，过点作轴于点，与交于点，过点作于点，可分别表达和的面积，根据题意列出方程求出的长，设出点的坐标，表达的长，求出点的坐标即可；
根据三角形面积推出再证明，得出：：，进而得出，表示出，求最值即可．