内蒙古2022-2023学年高三第二次模拟考试数学（理科）试卷（含解析）

这是一份内蒙古2022-2023学年高三第二次模拟考试数学（理科）试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
内蒙古2022-2023学年高三第二次模拟考试数学（理科）试卷一、单选题1．设复数z满足（i是虚数单位），则（    ）A． B． C．1 D．2．已知集合，则（    ）A． B．C． D．3．已知双曲线的焦点到顶点的距离为，且双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的方程为（    ）A． B． C． D．4．已知实数x，y满足则的最小值是（    ）A． B． C． D．95．如图，在正六边形中，若，为的中点，则（    ）A．7 B．5 C．3 D．16．某社区医院为了了解社区老人与儿童每月患感冒的人数（人）与月平均气温（）之间的关系，随机统计了某4个月的患病（感冒）人数与当月平均气温，其数据如下表：月平均气温171382月患病（人）24334055由表中数据算出线性回归方程中的，气象部门预测下个月的平均气温约为，据此估计该社区下个月老年人与儿童患病人数约为（    ）A．38              B．40              C．46              D．587．已知数列中，，前项和为，且满足，则（    ）A． B． C． D．8．定义在R上的偶函数满足，且当时，，则(    )A． B． C． D．9．如图，在正四棱柱中，，点为棱的中点，过，，三点的平面截正四棱柱所得的截面面积为（    ）A．2 B． C． D．10．数列中，如果＝3n(n＝1，2，3，…) ，那么这个数列是 A．公差为2的等差数列 B．公差为3的等差数列C．首项为3的等比数列 D．首项为1的等比数列11．十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，…．即从第三项开始，每一项都等于它前两项的和．后人为了纪念他，就把这列数称为斐波那契数列．因以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”．下面关于斐波那契数列的说法不正确的是（    ）A．是奇数 B．C． D．12．已知，，，则（    ）A．   B．   C．   D．  二、填空题13．若，，则______．14．二项式的展开式中的系数为_________．15．如图，某款酒杯容器部分为圆锥，且该圆锥的轴截面为面积是的正三角形.若在该酒杯内放置一个圆柱形冰块，要求冰块高度不超过酒杯口高度，则酒杯可放置圆柱冰块的最大体积为______.三、双空题16．已知平面内两定点，，点满足，则动点的轨迹方程为______________；若平面内两动点，（）满足，则的最大值为______________.四、解答题17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(1)求C；(2)若，△ABC的面积为，求a，b18．某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）(1)应收集多少位女生样本数据？(2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：，，，，，．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率．(3)视样本数据的频率为概率，现从全校取4名学生，记为这四名学生中运动时间超过4小时的人数，求的分布列以及数学期望．19．如图，在四棱锥中，平面平面，底面为梯形，，，，，为的中点.(1)证明：平面；(2)求三棱锥的体积20．已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴所围成三角形的面积；(2)若没有零点，求a的取值范围．21．已知抛物线C：的焦点为F，M为抛物线C上一点，且.（1）求抛物线C的方程；（2）设直线l：与C交于M.N两点，在x轴上是否存在定点P，使得当m变化时，总有∠OPM=∠OPN成立？若存在，求出点P的坐标；不存在，请说明理由.22．已知，p：“函数的定义域为”，q：“，使得成立”．(1)若q为真命题，求实数m的取值范围；(2)若“”为真命题，“”为假命题，求实数m的取值范围．23．已知正数a，b，c，d满足，证明：(1)；(2).
参考答案1．A【分析】由复数的除法法则求得，再由复数的模长公式求解即可【详解】因为，所以，所以，故选：A2．B【分析】先求出集合，，再结合交集的定义求解即可.【详解】由，，则.故选：B.3．B【分析】由焦点到顶点的距离为，得到，由双曲线的一条渐近线与直线垂直，得到联立求解.【详解】由题意得，解得，所以双曲线的方程为．故选：B．4．B【分析】画出约束条件所表示的平面区域，由直线截距的几何意义即可求解.【详解】解：约束条件所表示的可行域如图阴影部分（包含边界），令，则，由直线截距的几何意义知，当直线经过时在轴上截距最大，此时最小，所以的最小值为，即的最小值是，故选：B.5．B【分析】由，再延长AB，DC交于点H，得到各所求向量间的夹角再求解即可【详解】如图，延长AB，DC交于点H，则，，所以．故选：B．6．C【分析】由表格数据求样本中心，根据线性回归方程过样本中心点，将点代入方程求参数，写出回归方程，进而估计下个月老年人与儿童患病人数.【详解】由表格得为，由回归方程中的，∴，解得，即，当时，.故选：C.7．C【分析】根据累加法求得数列的通项公式,结合等差数列求得前项和.取倒数后,即可根据裂项法求和,即可求解.【详解】数列中,, 满足则所以数列是以为首项,以为公差的等差数列由等差数列通项公式可得数列前项和为,由等差数列的前项和公式可得所以则故选:C 8．B【分析】根据f(x)是偶函数且满足可求f(x)的周期，从而可将转化到内进行求值．【详解】∵f(x)是R上偶函数，∴f(-x)=f(x)，又∵，∴，故f(x)的一个周期是2，故．故选：B．9．D【分析】根据题意画出截面，得到截面为菱形，从而可求出截面的面积.【详解】取的中点， 的中点，连接，因为该几何体为正四棱柱，∴故四边形为平行四边形，所以，又，∴，同理，且，所以过，，三点的平面截正四棱柱所得的截面为菱形，所以该菱形的面积为.故选：D10．B【分析】由题意结合数列的通项公式确定数列的性质即可.【详解】由数列的通项公式可得：为定值，故数列是公差为3的等差数列.故选B.【点睛】本题主要考查等差数列的定义与判断，属于基础题.11．B【分析】直接根据斐波那契数列的递推关系及数列求和，相消法的应用进行判断即可求解.【详解】因为的项具有2奇1偶，3项一周期的周期性，所以是奇数，所以A正确；因为，所以B错误；因为，所以C正确；因为，所以D正确．故选：B.12．A【分析】根据，的特征，要比较二者大小，可作差，由此构造函数，利用其单调性比较大小，同理，和比较，构造函数，利用单调性比较 ，的大小.【详解】设，则，故单调递减，故，由， 设函数，则，当时，，递减，当时，，递增，故，即，当时取等号，由于 ，故，即，故，故选：A.【点睛】本题考查了数的大小比较问题，考查了构造函数，利用导数判断函数的单调性，解答的关键是明确解答思路，能根据数的特点构造恰当的函数，从而利用导数判断函数单调性，比较大小.13．【分析】由两角差的正切公式计算．【详解】由已知．故答案为：．14．【分析】根据完全平方差公式，结合二项式通项公式进行求解即可.【详解】当时，，通项公式为：，令，所以展开式的系数为；当时，，通项公式为：，令，所以展开式的系数为，故答案为：15．##【分析】先求出圆锥底面圆半径，设冰块的底面圆半径为，用表达出冰块的体积，利用导函数求出冰块体积的最大值.【详解】设圆锥底面圆的半径为，圆柱形冰块的底面圆半径为，高为，由题意可得，，解得，，设圆柱形冰块的体积为，则.设，则.当时，；当时，.所以在处取得极大值，也是最大值，，故酒杯可放置圆柱形冰块的最大体积为.故答案为：16．          【分析】设，用两点间距离公式表示，化简可得动点的轨迹方程；使用向量垂直表示，由几何意义求解的最大值即可.【详解】设动点，则，，∵点满足，∴，化简，整理得.∴动点的轨迹方程为.若平面内两动点，（）满足，则，∴，，∴，∴，∵，∴，∴的几何意义为点到原点的距离，∵动点的轨迹为圆心为，半径为的圆，∴如图，当点位于处时，到原点距离最大值为，即的最大值为.故答案为：，.【点睛】 关键点睛：本题第二空的解题关键，是将直角转化为向量关系（或斜率关系），化简后得出m的几何意义——点M到原点的距离，使用数形结合思想求解.17．(1)(2) 【分析】（1）转化为，结合，求解即可；（2）由，，联立求解即可（1）因为，所以即解得或（舍去）又，所以（2）由（1）可知，△ABC的面积又C，所以所以，即，即（舍负）故.18．(1)90(2)0.75(3)分布列见解析， 【分析】（1）根据分层抽样的定义即可求解；（2）利用样本频率估计总体概率；（3）运动时间超过4小时的概率为，结合分布列和数学期望的定义求解即可.【详解】（1）因为男生10500人，女生4500人，所以抽取女生占总人数的比例为．又因为分层抽样收集300位学生，所以女生样本数据应收集为．（2）由频率分布直方图可知，学生每周平均体育运动时间超过4个小时的频率为．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率0.75.（3）由（2）可知运动时间超过4小时的概率为，则，所以，，，，，则的分布列为：01234 则．19．(1)证明见解析(2) 【分析】（1）利用三角形的中位线定理及平行的传递性，结合平行四边形的判定和性质定理及线面平行的判定定理即可求解；（2）根据已知条件及三角形的面积公式，利用面面垂直的性质定理及等边三角形的三线合一定理，结合棱锥的体积公式即可求解.【详解】（1）取中点，连接、，如图所示又∵为的中点，∴，∵，，∴，，∴四边形是平行四边形.∴.又平面，平面，∴平面.（2）∵底面为梯形，，，∴,取中点，连接,如图所示，因为，中点为，所以,在中，,∵平面平面，∴平面平面，平面，所以平面，即等边三角形在边上的高线即为点到平面的距离.∴.又为的中点，∴点到平面的距离为,∴.20．(1)(2) 【分析】（1）先求出切点，利用导数求得切线斜率，进而得到切线方程，再分别求出在，轴上的截距, 最后利用直角三角形面积公式求得结果;（2）对分和两种情况讨论，利用导数探究出函数的单调性，进而求得函数最值分析可得答案.【详解】（1）当时，．，故曲线在点处的切线方程为，即．因为该切线在，轴上的截距分别为和，所以该切线与两坐标轴所围成的直角三角形的面积．（2）①当时，，则，由图象可得，当时，；当时，．所以在上单调递减，在上单调递增，故为最小值，且．所以此时存在零点，不符合题意．②当时，因为，所以，令，则，因为，所以，在上单调递增，又，由零点存在定理得，在上有唯一的零点，即，因此有．当时，，即；当时，，即．所以在上单调递减，在上单调递增，故为最小值．由，得，，所以，因为，所以，又因为，所以，所以．所以，此时没有零点．综上，的取值范围是．【点睛】方法点睛：利用导数求解零点问题的常用方法：（1）分离参数法：一般给出零点个数，求解参数范围，通常把参数分离出来，利用导数求解新函数的单调性，最值；结合零点个数，列出不等关系.（2）分类讨论法：结合单调性，先确定参数分类讨论的标准，利用导数求解单调性和最值，有时需要二次求导.21．(1) 抛物线C的方程为：；(2) 存在点P(-4,0) 使得当m变化时，总有∠OPM=∠OPN成立.【分析】(1)由结合抛物线定义可得点M到抛物线的准线的距离为4，列方程求p，由此可得抛物线方程；(2)设存在P满足条件，联立直线方程与抛物线方程，求交点M，N的坐标关系，并由∠OPM=∠OPN可得直线OM与直线ON的斜率和为0，由此求出P的坐标.【详解】(1)∵  M为抛物线C上一点，且，∴M到抛物线C的准线的距离为4，∴  ∴  ∴ ，∴抛物线C的方程为：；(2)设存在x轴上的点，使得∠OPM=∠OPN成立，则直线MP的斜率与直线NP的斜率之和为0，设，则，化简可得联立直线l与抛物线C的方程可得，化简可得，由已知，为方程的解，∴  ，，∴  ，∴   ，∴   ∴ 存在点P(-4,0) 使得当m变化时，总有∠OPM=∠OPN成立.【点睛】解决直线与抛物线的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、抛物线的条件；(2)强化有关直线与抛物线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．22．(1)(2) 【分析】（1）分离参数，转化为求函数的最大值问题，从而求出的取值范围；（2）当命题为真时根据进行分类讨论，注意借助与的大小关系，求出的取值范围，然后通过含逻辑联结词的复合命题的真假判断出的真假，由此求解出的取值范围.【详解】（1）当为真命题时，在上有解，所以，当时取，有最大值3，所以，所以实数m的取值范围为；（2）当为真命题时，当时，，定义域为，满足题意；当时，要使的定义域为R，则，解得，综上可知：的取值范围是.因为为真命题且为假命题，所以一真一假，当真假时，，解得，当假真时，，此时，综上，的取值范围是.23．(1)证明见解析(2)证明见解析 【分析】（1）由基本不等式证明；（2）由柯西不等式证明.（1）因为，，所以，当且仅当时，等号成立，又正数a，b，c，d满足，所以.（2）因为正数a，b，c，d满足，所以由柯西不等式，可得，当且仅当，时，等号成立，故.