2023年广东省汕尾市中考数学二模试卷（含解析）

这是一份2023年广东省汕尾市中考数学二模试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 我国两千多年前就开始使用负数，是世界上最早使用负数的国家之一，−2023的相反数是( )
A. 2023B. −2023C. 12023D. −12023
2. 下列四句话中的文字有三句具有对称规律，其中没有这种规律的一句是( )
A. 上海自来水来自海上B. 有志者事竟成
C. 清水池里池水清D. 蜜蜂酿蜂蜜
3. 2012年9月25日我国第一艘航母辽宁舰交付海军使用，自此我国航母技术发展迅猛，第三艘航空母舰福建舰于2022年6月17日在中国船舶集团有限公司江南造船厂举行下水命名仪式，福建舰是我国完全自主设计建造的首艘弹射型航空母舰，满载排水量约8万吨，这个数据用科学记数法表示为吨．( )
A. 0.8×104B. 0.8×105C. 8×104D. 8×105
4. 在下面的四个几何体中，主视图是三角形的是( )
A. B.
C. D.
5. 下列各式运算正确的是( )
A. x2+x3=x5B. x3−x2=xC. x2⋅x3=x6D. (x3)2=x6
6. 计算(−1)2022+| 2−2|的结果为( )
A. −1+ 2B. −3+ 2C. 3− 2D. 1+ 2
7. 如图，一个含有30°角的直角三角尺的两个顶点放在直尺的对边上，如果∠1=25°，那么∠2的度数是( )
A. 40°B. 35°C. 30°D. 25°
8. 如图①，从边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，然后将剩余分剪拼成一个长方形(如图②)，则上述操作所能验证的公式是( )
A. a2+ab=a(a+b)B. (a−b)2=a2−2ab+b2
C. (a+b)2=a2+2ab+b2D. a2−b2=(a+b)(a−b)
9. 如图，正方形ABCD的边长为4cm，点F为对角线AC上一点，当∠CBF=22.5°时，则AF的长是( )
A. 4cm
B. (4 2−4)cm
C. 2 5cm
D. 113cm
10. 如图，在5×5的正方形网格中(小正方形的连长为1)，有6个点A、B、C、D、E、F，若过A、B、C三点作圆O，则点D、E、F三点中在圆O外的有个．( )
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 在式子 x−2中，x的取值范围是______．
12. 因式分解：m2−3m= ______ ．
13. 如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、O在小正方形的顶点上，则cs∠OAB= ______ ．
14. 若m，n是方程x2+x−2023=0的两个实数根，则m2+2m+n的值为______．
15. 如图，Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=4，AB=5，点M、D、E分别位于AB、AC、BC上，MD⊥ME，且ME=2MD，则BM= ______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题8.0分)
解方程组：x+3y=7y−x=1．
17. (本小题8.0分)
已知A=x2x+1−1x+1．
(1)化简A；
(2)若x是3的绝对值，求A的值．
18. (本小题8.0分)
如图，四边形ABCD为矩形．
(1)求作DC边的中点E(用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法)；
(2)连接AE、BE，求证△ADE≌△BCE．
19. (本小题9.0分)
劳动教育具有树德、增智、强体、育美的综合育人价值，有利于学生树立正确的劳动价值观、某学校为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了m名学生在某个休息日做家务的劳动时间作为样本，并绘制了不完整的频数分布表和扇形统计图.根据题中已有信息，解答下列问题：
(1)m= ______ ，a= ______ ；
(2)若该校学生有640人，试估计劳动时间在2≤t≤3范围的学生有多少人？
(3)劳动时间在2.5≤t≤3范围的4名学生中有男生1名，女生3名，学校准备从中任意抽取2名交流劳动，求抽取的2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率．
20. (本小题9.0分)
如图，一次函数y=x+2的图象与双曲线y=kx在第一象限交于点A(2,a)，在第三象限交于点B．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)点P为x轴上的一点，连接PA、PB，若S△PAB=9，求点P的坐标．
21. (本小题9.0分)
某超市销售A、B两款保温杯，已知B款保温杯的销售单价比A款保温杯多10元，用480元购买B款保温杯的数量与用360元购买A款保温杯的数量相同．
(1)A、B两款保温杯的销售单价各是多少元？
(2)由于需求量大，A、B两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进这两款保温杯共120个，且A款保温杯的数量不少于B款保温杯数量的两倍．若A款保温杯的销售单价不变，B款保温杯的销售单价降低10%，两款保温杯的进价每个均为20元，应如何进货才能使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？
22. (本小题12.0分)
如图，△ABC中，AB=3，BC=4，AC=5，以AB为直径作⊙O，交AC于点F，连接CO并延长，分别交⊙O于D、E两点，连接BE、BD．
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)求证：BC2=CD⋅CE；
(3)求∠ABE的正切值．
23. (本小题12.0分)
如图，抛物线y=−x2+3x+4与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，连接AC，BC.点E为线段BC上的一点，直线AE与抛物线交于点H．
(1)直接写出A，B，C三点的坐标，并求出直线BC的表达式；
(2)连接HB，HC，求△HBC面积的最大值；
(3)若点P为抛物线上一动点，试判断在平面内是否存的一点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是以BC为边的矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：−2023的相反数为2023
故选：A．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题主要考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
2.【答案】B
【解析】解：在A中，上海自来水来自海上，可将“水”理解为对称轴，对折后重合的字相同；
在B中，有志者事竟成，五字均不相同，所以不对称；
在C中，清水池里池水清，可将“里”理解为对称轴，对折后重合的字相同；
在D中，蜜蜂酿蜂蜜，可将“酿”理解为对称轴，对折后重合的字相同．
故选：B．
1、分析题意，回想一下轴对称的定义；
2、如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形关于这条直线对称(轴对称)，这条直线就是对称轴；
3、先将题中的四个选项看成一个图形，然后结合轴对称的定义即可得到本题答案．
本题考查轴对称图形，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．
3.【答案】C
【解析】解：8万吨=80000吨=8×104吨．
故选：C．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，确定a与n的值是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：A.该圆锥主视图是等腰三角形，故A符合题意；
B.该正方体主视图是正方形，故B不符合题意；
C.该三棱柱的主视图是矩形，故C不符合题意；
D.该圆柱主视图是矩形，故D不符合题意；
故选：A．
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
本题考查了简单几何体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
5.【答案】D
【解析】解：A.x2与x3不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
B.x3与x2不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
C.x2⋅x3=x5，错误，故本选项不合题意；
D.(x3)2=x6，正确，故本选项符合题意．
故选：D．
分别根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则以及幂的乘方运算法则逐一判断即可．
本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法以及幂的乘方，熟记相关运算法则是解答本题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：(−1)2022+| 2−2|
=1+2− 2
=3− 2，
故选：C．
先计算乘方和绝对值，再计算加减．
此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确理解运算顺序，并能正确地进行计算．
7.【答案】B
【解析】解：如图：
∵直角尺的两边是平行的，
∴∠3=∠1=25°，
∴∠2=60°−∠3=60°−25°=35°，
故选：B．
先根据两直线平行，内错角相等可得∠3的度数，再由三角板的较大锐角减去∠3即可．
此题主要考查的是平行线的性质，能够熟练运用两直线平行，内错角相等是解答此题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：由图①得，空白图形面积=a2−b2；
由图②得，空白图形面积=(a+b)(a−b)．
故可得公式：a2−b2=(a+b)(a−b).所以可排除A，B，C选项．
所以本题答案为D．
根据题意，首先由图形分别求出面积，即可．
本题考查了平方差公式的几何背景，数形结合并熟练掌握相关几何图形的面积计算方法是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：在正方形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA=45°，
∵∠CBF=22.5°，
∴∠ABF=∠ABC−∠CBF=90°−22.5°=67.5°，
∴∠AFB=180°−∠BAC−∠ABF=180°−45°−67.5°=67.5°，
∴∠ABF=∠AFB，
∴AF=AB=4．
故选：A．
根据正方形的性质得∠ABC=90°，AB=BC，然后根据三角形内角和定理及余角性质可得∠ABF=∠AFB，最后根据等腰三角形的性质可得答案．
此题考查的是正方形的性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：连接AC，OD，OE，
∵△ABC是直角三角形，
∴△ABC外接圆的圆心是Rt△ABC斜边的中点，设圆心为O，半径是r，如图所示，
∵AC= 22+42=2 5，
∴r=12AC= 5，
∵OD=OE= 22+12= 5，
∴OD=OE=r，
∴D、E在圆上，
∵OF=3，
∴OF>r，
∴F在圆外，
∴点D、E、F三点中在圆O外的有一个．
故选：B．
由条件得到△ABC外接圆的圆心是Rt△ABC斜边的中点，设圆心为O，半径是r，求出AC的长，得到圆的半径长，由点与圆的位置关系即可判断．
本题考查三角形的外接圆与外心，点与圆的位置关系，确定圆的条件，关键是确定圆的圆心位置，求出圆的半径，掌握点与圆位置关系的判定方法．
11.【答案】x≥2
【解析】解：由题意得：x−2≥0，
解得：x≥2，
故答案为：x≥2．
根据二次根式有意义的条件可得：x−2≥0，再解即可．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
12.【答案】m(m−3)
【解析】解：m2−3m=m(m−3)．
故答案为：m(m−3)．
直接找出公因式m，进而分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
13.【答案】2 55
【解析】解：如图，

在直角三角形ABC中，AB=4，OC=2，
∴AO= AC2+OC2=2 5，
∴cs∠OAB=ACOA=42 5，
故答案为：2 55．
要求cs∠OAB的值，想到把∠OAB放在直角三角形中，解直角三角形即可解答．
本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
14.【答案】2022
【解析】解：∵m、n是方程x2+x−2023=0的两个实数根，
∴m+n=−1，m2+m−2023=0，
∴m2+m=2023，
∴m2+2m+n=m2+m+m+n=2023−1=2022．
故答案为：2022．
由于m、n是方程x2+x−2023=0的两个实数根，根据根与系数的关系可以得到m+n=−1，并且m2+m−2023=0，然后把m2+2m+n可以变为m2+m+m+n，把前面的值代入即可求出结果．
此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
15.【答案】35 10
【解析】解：过点M作MF⊥BC于点F，MN⊥AC于点N，则四边形CFMN为矩形，
∴MN=CF，∠FMN=90°，
∵AB=5，AC=4，
∴BC= AB2−AC2= 52−42=3，
∵∠C=∠FMN，
∴∠EMF=∠DMN，
∵∠EFM=∠DNM，
∴△EMF∽△DMN，
∴EMDM=FMMN=2，
∴设MN=x，则FM=2x，
∴BF=3−x，
∵tanB=FMBF=ACBC=43，
∴2x3−x=43，
解得x=65，
∴FM=35，BF=95，
∴MB= FM2+BF2= (35)2+(95)2=35 10，
故答案为：35 10．
过点M作MF⊥BC于点F，MN⊥AC于点N，则四边形CFMN为矩形，由勾股定理求出BC=3，证明△EMF∽△DMN，由相似三角形的性质得出EMDM=FMMN=2，设MN=x，则FM=2x，得出2x3−x=43，解方程求出x，则可得出答案．
本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
16.【答案】解：x+3y=7①y−x=1②，
由①+②得：4y=8，
解得：y=2，
将y=2代入②得：2−x=1，
解得：x=1，
∴方程组的解为x=1y=2．
【解析】利用加减消元法求解即可．
本题考查解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的解法−加减消元法和代入消元法．
17.【答案】解：(1)A=x2x+1−1x+1
=x2−1x+1
=(x+1)(x−1)x+1
=x−1；
(2)∵|x|=3，
∴x=±3，
当x=3时，
A=3−1
=2，
当x=−3时，
A=−3−1
=−4，
综上：A的值为2或−4．
【解析】(1)利用同分母分式加减法法则进行计算，即可解答；
(2)把x=±3代入(1)中的结果，进行计算即可解答．
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式计算法则是解题关键．
18.【答案】(1)解：如图，点E即为所求．

(2)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠D=∠C=90°，
在△ADE和△BCE中，
AD=BC∠D=∠C=90°DE=CE，
∴△ADE≌△BCE(SAS)．
【解析】(1)作线段CD的垂直平分线即可；
(2)根据ASA证明三角形全等．
本题考查作图−复杂作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
19.【答案】80 20
【解析】解：(1)m=12÷15%=80，
a=80−12−28−16−4=20；
故答案为：80，20；
(2)640×16+480=160(人)，
所以估计劳动时间在2≤t≤3范围的学生有160人；
(3)画树状图为：

共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8，
所以恰好抽到一名男生和一名女生的概率=612=12．
(1)用A组人数除以它所占的百分比得到m的值，然后m分别减去A、C、D、E组的人数得到a的值；
(2)用640乘以D、E组的人数所占的百分比的和即可；
(3)画树状图展示所有12种等可能的结果，找出一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．
20.【答案】解：(1)一次函数y=x+2的图象与双曲线y=kx在第一象限交于点A(2,a)，
∴a=2+2=4，
∴k=2a=8，
∴反比例函数的解析式为y=8x；
(2)由题意可知，A、B关于原点对称，
∴OA=OB，
∵S△PAB=9，
∴S△POA=92，
∴12OP⋅|yA|=92，即12OP⋅4=92，
∴OP=94，
∴点P的坐标是(94,0)或(−94,0)．
【解析】(1)由一次函数的解析式求得A的坐标，然后利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
(2)利用反比例函数的对称性求得OA=OB，得到S△POA=92，即12OP⋅4=92，求得OP的长度，即可求得P点的坐标．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数的对称性，三角形的面积，得到S△POA=92是解题的关键．
21.【答案】解：(1)设A款保温杯的单价是a元，则B款保温杯的单价是(a+10)元，
480a+10=360a，
解得，a=30，
经检验，a=30是原分式方程的解，
则a+10=40，
答：A、B两款保温杯的销售单价分别是30元、40元；
(2)设购买A款保温杯x个，则购买B款保温杯(120−x)个，利润为w元，
w=(30−20)x+[40×(1−10%)−20](120−x)=−6x+1920，
∵A款保温杯的数量不少于B款保温杯数量的两倍，
∴x≥2(120−x)，
解得，x≥80，
∴当x=80时，w取得最大值，此时w=1440，120−x=40，
答：当购买A款保温杯80个，B款保温杯40个时，能使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是1440元．
【解析】本题考查分式方程的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和分式方程的知识解答，注意分式方程要检验．(1)根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以求得A、B两款保温杯的销售单价，注意分式方程要检验；
(2)根据题意可以得到利润与购买A款保温杯数量的函数关系，然后根据A款保温杯的数量不少于B款保温杯数量的两倍，可以求得A款保温杯数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得应如何进货才能使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元．
22.【答案】(1)证明：∵AB2+BC2=32+42=25，AC2=52=25，
∴AB2+BC2=AC2，
∴∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，
∵AB为⊙O的直径，
∴BC是⊙O的切线；
(2)证明：∵DE是⊙O的直径，
∴∠DBE=90°，即∠ABD+∠ABE=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABD+∠CBD=90°，
∴∠CBD=∠ABE，
又OB=OE，
∴∠ABE=∠E，
∴∠CBE=∠E，
又∠BCD=∠ECB，
∴△CBD∽△CEB，
∴BCCD=CEBC，
即BC2=CD⋅CE；
(3)解：∵BC2=CD⋅CE，且BC=4，AB=3，
∴CD(CD+3)=16，即CD2+3CD−16=0，
解得：CD1= 73−32，CD2=− 73−32(舍去)，
∴CD= 73−32，
∴tanE=BDBE=CDCB= 73−324= 73−38，
∵∠ABE=∠E，
∴tan∠ABE= 73−38．
【解析】(1)勾股定理的逆定理证出∠ABC=90°，由切线的判定可得出结论；
(2)证明△CBD∽△CEB，由相似三角形的性质得出BCCD=CEBC，则可得出结论；
(3)由相似三角形的性质求出CD的长，由锐角三角函数的定义可得出答案．
本题考查了勾股定理的逆定理，切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质，锐角三角函数的定义，相似三角形的性质和判定，利用相似三角形的性质求线段的长度是本题的关键．
23.【答案】解：(1)在y=−x2+3x+4，令x=0得y=4，
∴C(0,4)，
在y=−x2+3x+4，令y=0得0=−x2+3x+4，
解得x=−1或x=4，
∴A(−1,0)，B(4,0)，
设直线BC的表达式为y=kx+b，把B(4,0)，C(0,4)代入得：
4k+b=0b=4，
解得k=−1b=4，
∴直线BC的表达式为y=−x+4，
∴A的坐标为(−1,0)，B的坐标为(4,0)，C的坐标为(0,4)；直线BC的表达式为y=−x+4；
(2)过H作HK//y轴交BC于K，如图：

设H(m,−m2+3m+4)，△HBC面积为S，则K(m,−m+4)，
∴HK=−m2+3m+4−(−m+4)=−m2+4m，
∴S=12HK⋅|xB−xC|=12×(−m2+4m)×4=−2m2+8m=−2(m−2)2+8，
∵−2<0，
∴当m=2时，S取最大值8，
∴△HBC面积的最大值为8；
(3)在平面内存在一点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是以BC为边的矩形，理由如下：
设P(t,−t2+3t+4)，Q(p,q)，
而B(4,0)，C(0,4)，
①若PC，BQ为对角线，则PC，BQ的中点重合，且PC=BQ，
∴t=p+4−t2+3t+4+4=qt2+(−t2+3t+4−4)2=(p−4)2+q2，
解得t=4p=0q=4(P与B重合，舍去)或t=−2p=−6q=−2，
∴Q(−6,−2)；
②若PB，CQ为对角线，则PB，CQ的中点重合，且PB=CQ，
∴t+4=p−t2+3t+4=q+4(t−4)2+(−t2+3t+4)2=p2+(q−4)2，
解得t=0p=4q=0(Q与B重合，舍去)或t=2p=6q=2，
∴(6,2)；
综上所述，Q的坐标为(−6,−2)或(6,2)．
【解析】(1)在y=−x2+3x+4，令x=0可得C(0,4)，令y=0得A(−1,0)，B(4,0)，设直线BC的表达式为y=kx+b，用待定系数法得直线BC的表达式为y=−x+4，
(2)过H作HK//y轴交BC于K，设H(m,−m2+3m+4)，△HBC面积为S，可得S=12HK⋅|xB−xC|=−2(m−2)2+8，根据二次函数性质得△HBC面积的最大值为8；
(3)设P(t,−t2+3t+4)，Q(p,q)，分两种情况：①若PC，BQ为对角线，则PC，BQ的中点重合，且PC=BQ，t=p+4−t2+3t+4+4=qt2+(−t2+3t+4−4)2=(p−4)2+q2，②若PB，CQ为对角线，则PB，CQ的中点重合，且PB=CQ，t+4=p−t2+3t+4=q+4(t−4)2+(−t2+3t+4)2=p2+(q−4)2，分别解方程组可得答案．
本题考查二次综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，矩形的性质及应用等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
劳动时间t(单位：小时)
频数
0.5≤t<1
12
1≤t<1.5
a
1.5≤t<2
28
2≤t<2.5
16
2.5≤t<3
4