湖北省黄冈中学2015届高三（上）期末考试数学（理）

黄冈中学2015届高三（上）期末考试数学试题（理科）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．直线与直线平行，则（      ）

    A．      B．         C．或    D．或

2．设全集U =R，，则图中阴影部分所表示的集合(     ）

A．  B．  C．      D．

3．下列有关命题的说法正确的是（     ）

A．命题“若”的否命题为：“若”；

B．“”是“”的必要不充分条件；

C．命题“若，则”的逆否命题为真命题；

D．若命题．

4．设向量是夹角为的单位向量，若，，则向量在方向的投影为（     ）

       A．      B．       C．       D．

5．已知等比数列的首项，公比为，记，则达到最大值时，的值为（      ）

   A．     B．       C．        D．不存在

6．在如图所示的空间直角坐标系中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(2，1，1)，(2，2，2)．给出编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的侧视图和俯视图分别为(　 　)

A．①和②      B．①和③      C．③和②     D．④和②

7．已知在中，边、、的对角为、、，，，，则此三角形中边的取值使得函数的值域为的概率为（    ）

A．            B．          C．           D．

8．近期由于雨雪天气，路况不好，某人驾车遇到紧急情况而刹车，以速度（为时间单位s）行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离（单位;）是（      ）

A．     B．    C．     D．

9．已知双曲线的左右焦点分别为，若双曲线右支上存在一点,使得关于直线的对称点恰在轴上，则该双曲线的离心率的取值范围为（      ）

A．      B．     C．      D．

10．已知函数，若满足，则的取值范围（      ）

A．           B．        C．    D．

二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分． 请将答案填在答题卡对应题号的位置上． 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．

（一）必考题（11—14题）

11．复平面内与复数所对应的点关于实轴对称的点为，则对应的复数为_______．

12．设，则        ．

13．已知实数满足，则的最小值为        ．

14．定义在上的函数满足：①当时，；②．设关于的函数的零点从小到大依次为．若，则   ________ ；若，则________________．

（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑． 如果全选，则按第15题作答结果计分．）

15．（选修4-1：几何证明选讲）如右图，圆O的直径AB=8，C为圆周上一点，BC=4，过C作圆的切线，过A作直线的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，则线段AE的长为        ．

16．（选修4-4：坐标系与参数方程）直线l的参数方程是（其中t为参数），圆c的极坐标方程为，过直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值是         ．

三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）已知向量，函数的图象与直线的相邻两个交点之间的距离为．

（I）求函数在上的单调递增区间；

（II）将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象．若在上至少含有6个零点，求的最小值．

18．（本小题满分12分）已知等差数列满足：，该数列的前三项分别加上1、1、3后顺次成为等比数列的前三项．

（I）求数列、的通项公式；

（II）设若恒成立，求c的最小值．

19．（本小题满分12分）私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力．为此，很多城市实施了机动车车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：

（Ⅰ）完成被调查人员的频率分布直方图；

（Ⅱ）若从年龄在[15，25)，[25，35)的被调查者中各随机选取2人进行追踪调查，求恰有2人不赞成的概率；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，再记选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为，求随机变量的分布列和数学期望．

20．（本小题满分12分） 如图1所示，直角梯形，，，，、为线段、上的点，且，设，沿将梯形翻折，使平面平面（如图2所示）．

（Ⅰ）若以、、、为顶点的三棱锥体积记为，求的最大值及取最大值时的位置；

（Ⅱ）在（1）的条件下，试在线段上的确定一点使得，并求直线与平面所成的角的正弦值．

21．（本小题满分13分）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为的正方形（记为）．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设点是直线与轴的交点，过点的直线与椭圆相交于两点，当线段的中点落在正方形内（包括边界）时，求直线斜率的取值范围．

22．（本小题满分14分）已知函数图像上的点处的切线与直线垂直．

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）求函数与的图象在区间上交点的个数；

（Ⅲ）证明：当时，．

期末考试参考答案

1-5：C D C A B     6-10：C D B B A   11．； 12.255 ； 13. ；  14.  14，；

15．4 ；  16．

6.解： 因为当时，函数始终满足．，所以0＜a＜1，则当x＞0时，函数,显然此时单调函数单调递增，则选B．

8.解：令 ，则。汽车刹车的距，故选B。

12．解：令得，令得，所以所求为255.

14. 解：定义在上的函数满足：①当时，；②，所以的构成规律是：对于任意 的整数，在每一个区间，，，且在此区间满足；当时，

的零点从大到小依次满足：，，…，所以。

15．解：连接OC，BE，如下图所示：
则∵圆O的直径AB=8，BC=4，∴△OBC为等边三角形，∠COB=60°
又∵直线l是过C的切线，故OC⊥直线l又∵AD⊥直线l∴AD∥OC
故在Rt△ABE中∠A=∠COB=60°∴AE=AB=4

17.解：（I），………………………2分

由题意得，所以，所以，

所以单增区间满足：，解得，……4分

又，所以和；              ……………6分

（II）由题意得，令得或，……8分

每个周期恰有2个零点，要恰有6个零点，则不小于6个零点的横坐标即可，

即。…………………………………………………………………12分

18．（I），       ………… 3分                …………6分

  （II）错位相减法得 …………………………………………………………10分

      要恒成立，则恒成立，又单调递增，

得，所以最小的整数………………………………………………12分

19．

（Ⅱ）由表知年龄在[15，25)内的有5人，不赞成的有1人，年龄在[25，35) 内的有10人，不赞成的有4人，恰有2人不赞成的概率为：

……………………7分

（Ⅲ）的所有可能取值为：0,1,2,3……………6分

所以的分布列是：

…………………………………………………10分

所以的数学期望．         ……………………………………………………12分

20．解：（1）由题意知，平面平面，，所以面，……2分

以、、、为顶点的三棱锥底面为，高为，

所以，………………………………4分

当时，，此时对应的点为的中点。……………………………6分

（Ⅱ）由（1）中知、、两两互相垂直，以为原点， 以为轴、为轴、为轴建立空间直角坐标系，，设，

由得，解得。…………………………8分

所以，设平面的法向量为，由，

可取，所以即为所求。…………………………12分

21． 解: （Ⅰ）依题意，设椭圆C的方程为(>>0),焦距为，

由题设条件知，，所以故椭圆C的方程为=1…………4分

   （Ⅱ）椭圆C的左准线方程为x=-4,所以点P的坐标为（-4,0），

显然直线l的斜率k存在，所以直线的方程为y=k(x+4)．             

    如图，设点M，N的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),线段MN的

中点为G(x0,y0)，

      由

得(1+2k2)x2+16k2x+32k2-8=0       ①  …………………6分

由=(16k2)2-4(1+2k2)(32k2-8)>0

解得<k<       ②         …………………7分   

因为x1,x2是方程①的两根，所以x1+x2=-，

于是x0==,y0=k(x0+4)=   

∵x0=≤0，所以点G不可能在y轴的右边．      …………………9分 

又直线F1B2,F1B1方程分别为y=x+2,y=-x-2

所以点G在正方形Q内（包括边界）的充要条件为

即           ………………………………11分          

解得≤k≤，此时②也成立．故直线l斜率的取值范围是[,]．……13分

22.解析:（1），-----1分

由于在点处的切线与直线垂直，

所以，，.……2分

令

故的单调递减区间为，单调递增区间为…………4分

（Ⅱ）函数与的图象在区间上有两个不同的交点

方程在区间上有两个不同的实数解

方程在区间上有两个不同的实数解.

函数与图象在区间上有两个不同的交点.- ………………………………………………………………6分

，；当时，当时，故在上是减函数，在是增函数；在区间上，，，其大致图象如右图：         …………………………8分

由图象可知，

当的取值范围是时，函数与的图象在区间上有两个不同的交点；

当时，函数与的图象在区间上有1个交点                                   ………………………………………………………………9分

（Ⅲ）令，，

要证，只需证，这等价于，

令，

令，，故在单调递减，

所以，故，故是减函数，

，即，

就是成立.    …………………………………………………14分