湖北省黄冈中学2015年春季高一年级期末考试数学试题（附答案解析）

湖北省黄冈中学2015年春季高一年级期末考试数学试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，总分150分，考试时间120分钟．

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．

1、已知各项均为正数的等比数列{an}，a2＝5，a8＝10，则a5＝（　）

A．　　　　　　　　　　　　　B．7

C．6　　　　　　　　　　　　　　 D．

2、若a，b，c为实数，则下列命题正确的是（　）

A．若a＞b，则ac2＞bc2

B．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2

C．若a＜b＜0，则

D．若a＜b＜0，则

3、已知直线l1：x＋2ay－1＝0与l2：（2a－1）x－ay－1＝0平行，则a的值是（　）

A．0或1　　　　　　　　　　　　　B．1或

C．0或　　　　　　　　　　　　 D．

4、已知x＞2，则函数的最小值是（　）

A．5　　　　　　　　　　　　　　 B．4

C．8　　　　　　　　　　　　　　 D．6

5、一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（　）

A．　　　　　　　　　　　　　 B．

C．　　　　　　　　　　　　　 D．7

6、关于直线m，n与平面α，β，有以下四个命题：

①若且α∥β，则m∥n；

②若且，则；

③若且，则；

④若且，则；

其中正确命题的序号是（　）

A．①②　　　　　　　　　　　　　B．③④

C．①④　　　　　　　　　　　　　D．②③

7、在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，则A＝（　）

A．30°　　　　　　　　　　　　　B．60°

C．120°　　　　　　　　　　　　 D．150°

8、已知点A（1，3），B（－2，－1），若直线l：y＝k（x－2）＋1与线段AB没有交点，则k的取值范围是（　）

A．　　　　　　　　　　　　 B．

C．或k＜－2　　　　　　　　 D．

9、设等差数列{an}满足，公差，当且仅当n＝9时，数列{an}的前n项和Sn取得最大值，则该数列首项a1的取值范围为（　）

A．　　　　　　　　　　　B．

C．　　　　　　　　　　　D．

10、若正实数a，b满足a＋b＝1，则（　）

A．有最大值4　　　　　　　　B．ab有最小值

C．有最大值　　　　　 D．a2＋b2有最小值

11、点M（x，y）是不等式组表示的平面区域Ω内的一动点，且不等式2x－y＋m≥0恒成立，则m的取值范围是（　）

A．　　　　　　　　　 B．m≥3

C．m≥0　　　　　　　　　　　　　D．

12、如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且，则下列结论中错误的是（　）

A．AC⊥BE

B．EF//平面ABCD

C．三棱锥A—BEF的体积为定值

D．异面直线AE，BF所成的角为定值

第Ⅱ卷　非选择题

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13、经过点P（3，－1），且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线l的方程是__________．

14、一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积与半球的体积恰好相等，则圆锥轴截面顶角的余弦值是__________．

15、△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．若满足条件的三角形有两个，则x的取值范围是___________．

16、已知数列{an}满足a1＝33，an＋1－an＝2n(n∈N*)，则的最小值为__________．

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17、（本题满分10分）

已知关于x的不等式ax2－3x＋2≤0的解集为{x|1≤x≤b}．

（1）求实数a，b的值；

（2）解关于x的不等式：（c为常数）．

18、（本题满分12分）

设公差不为0的等差数列{an}的首项为1，且a2，a5，a14构成等比数列．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）若数列{bn}满足，求{bn}的前n项和Tn．

19、（本题满分12分）在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，，sin（B－A）＝cosC．

　　（1）求A，B；

　　（2）若△ABC的面积，求a，c．

20、（本题满分12分）

　　已知直线方程为（2－m）x＋（2m＋1）y＋3m＋4＝0，其中m∈R．

　　（1）求证：直线恒过定点；

　　（2）当m变化时，求点Q（3，4）到直线的距离的最大值；

　　（3）若直线分别与x轴负半轴、y轴负半轴交于A、B两点，求△AOB面积的最小值及此时的直线方程．

21、（本题满分12分）A、B两仓库分别有编织袋50万个和30万个，由于抗洪抢险的需要，现需调运40万个到甲地，20万个到乙地．已知从A仓库调运到甲、乙两地的运费分别为120元/万个、180元/万个；从B仓库调运到甲、乙两地的运费分别为100元/万个、150元/万个．问如何调运，能使总运费最小？总运费的最小值是多少？

22、（本题满分12分）

　　已知几何体A—BCDE的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．

　　（Ⅰ）求此几何体的体积V的大小；

　　（Ⅱ）求异面直线DE与AB所成角的余弦值；

　　（Ⅲ）求二面角A—ED—B的正弦值．

答案解析

1、A

解析：，选A．

2、B

解析：在A中当c＝0时，不成立，在B，C，D中令a＝－2，b＝－1可得B正确，选B

3、C

解析：当a＝0时，l1：x＝1，l2：x＝－1两直线平行，

当a≠0时，，选C．

4、B

解析：，当且仅当x＝4时取等号．选B

5、A

解析：，选A．

6、D

解析：在（1）中直线m，n还可能相交或异面，在（4）中同样直线m，n还可能相交或异面．选D．

7、A

解析：由，∴a2＝7b2，

，A＝30°，选A．

8、C

解析：直线l：y＝k（x－2）＋1过定点（2，1），由数形结合可知要使得直线l与线段AB没有公共点，则或k＜－2，选C．

9、C

10、C

解析：，，当且仅当时取等号，选C．

11、B

解析：画出点M的可行域，要使不等式2x－y＋m≥0恒成立，则点M的可行域全部在直线的右侧，所以点（0，3）在直线的右侧，所以0－3＋m≥0，m≥3，选B．

12、D

解析：在A中AC⊥面BB1D1D，所以AC⊥BE，在B中一定成立，在C中A到面BB1D1D的距离是定值，三角形BEF的底和高也是定值，故体积为定值．所以D错误．选D．

13、x＋2y－1＝0或x＋3y＝0

解析：当截距为0时直线方程为，∴x＋3y＝0，当截距不为0时直线方程为，过点（3，－1），所以，直线为x＋2y－1＝0．

14、

解析：

15、

解析：，，

画出的图像，与y＝b的图象有两个交点，．

16、

17、解：（1）由题知1，b为关于x的方程ax2－3x＋2＝0的两根，

即，∴a＝1，b＝2．（5分）

（2）不等式等价于（x－c）（x－2）＞0，

所以：当c＞2时解集为{x|x＞c或x＜2}；

当c＝2时解集为{x|x≠2，x∈R}；

当c＜2时解集为{x|x＞2或x＜c}．（10分）

18、解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d（d≠0），

∵a2，a5，a14构成等比数列，．（2分）

即（1＋4d）2＝（1＋d）（1＋13d），解得d＝0（舍去），或d＝2．

．（5分）

（Ⅱ）由已知，当n＝1时，．

当n≥2时，．．（7分）

由（Ⅰ）知，．（8分）

又，．（9分）

两式相减，得，

．（12分）

19、解：（1）因为，即，

所以，

即，

得．所以C－A＝B－C，或（不成立）．

即2C＝A＋B，得，所以．

又因为，则，或，（舍去）

得．（6分）

（2），又，即，得．（12分）

20、（1）证明：直线方程为，可化为对任意m都成立，所以，解得，所以直线恒过定点（－1，－2）．（4分）

（2）解：点Q与定点（－1，－2）的连线的距离就是所求最大值．

即．

（3）解：设直线方程为y＋2＝k（x＋1），k＜0，则，B（0，k－2），

，

当且仅当k＝－2时取等号，面积的最小值为4．

此时直线的方程为2x＋y＋4＝0．（12分）

21、解：设从A仓库调运x万个到甲地，y万个到乙地，总运费记为z元．那么需从B仓库调运（40－x）万个到甲地，调运（20－y）万个到乙地．

从而有（5分）

z＝120x＋180y＋100（40－x）＋150（20－y）

＝20x＋30y＋7000，（6分）

作出以上不等式组所表示的平面区域（如图所示），即可行域．

令z′＝z－7000＝20x＋30y．

作直线l：20x＋30y＝0，

把直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点M（30，0），且与原点距离最小，即x＝30，y＝0时，z＝20x＋30y取得最小值，从而z＝z′＋7000＝20x＋30y＋7000亦取得最小值，zmin＝20×30＋30×0＋7000＝7600（元）．（11分）

答：从A仓库调运30万个到甲地，从B仓库调运10万个到甲地，20万个到乙地，可使总运费最小，且总运费的最小值为7600元．（12分）

22、解：（Ⅰ）∵AC⊥平面BCE，则

∴几何体的体积V为16．（4分）

（Ⅱ）取EC的中点F，连结BF，

则BF//DE，∴∠FBA或其补角即为异面直线DE与AB所成的角．（6分）

在△BAF中，，．．

∴异面直线DE与AB所成的角的余弦值为．（8分）

（III）AC⊥平面BCE，过C作CG⊥DE交DE于G，连AG．可得DE⊥平面ACG，

从而AG⊥DE，∴∠AGC为二面角A－ED－B的平面角．（10分）

在△ECD中，；

在△ACG中，∠ACG＝90°，AC＝4，，，

．

∴二面角A－ED－B的正弦值为．（12分）