湖北省黄冈市2016年春季高二年级期末考试数学试卷（理科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，总分150分，考试时间120分钟．

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．）

1、已知A＝{y|y＝log2x，x＞1}，，则A∩B＝（　）

A．　　　　　　　　　　　　　B．（0，1）

C．　　　　　　　　　　　　　D．

2、下表是某厂1—4月份用水量（单位：百吨）的一组数据：

由散点图可知，用水量与月份之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程为y＝－0.7x＋a，则a等于（　）

A．10.5　　　　　　　　　　　　　B．5.15

C．5.2　　　　　　　　　　　　　 D．5.25

3、若在的展开式中含有常数项，则正整数n取得最小值时的常数项为（　）

A．　　　　　　　　　　　　 B．－135

C． 　　　　　　　　　　　　　D．135

4、若f′（x0）＝2，则等于（　）

A．－1　　　　　　　　　　　　　 B．－2

C．1　　　　　　　　　　　　　　 D．

5、已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），其正态分布密度曲线为函数f（x）的图象，且则P（x＞4）＝（　）

A． 　　　　　　　　　　　　　　B．

C．　　　　　　　　　　　　　　D．

6、设点A是曲线上的任意一点，P点处的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（　）

A．　　　　　　　　　　　　B．

C．　　　　　　　　 D．

7、已知，则f（k＋1）－f（k）等于（　）

A．　　　　　　　　　　 B．

C．　　 D．

8、若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”，现从1，2，3，4，5，6这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有（　）

A．120个　　　　　　　　　　　　 B．80个

C．40个　　　　　　　　　　　　　D．20个

9、下列判断错误的是（　）

A．若随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），P（ξ≤4）＝0.79，则P（ξ≤－2）＝0.21

B．若n组数据（x1，y1）…（xn，yn）的散点都在y＝－2x＋1上，则相关系数r＝－1

C．若随机变量ξ服从二项分布：，则Eξ＝1

D．“am2＜bm2”是“a＜b”的必要不充分条件

10、为大力提倡“厉行节约，反对浪费”，我市通过随机询问100名性别不同的居民是否做到“光盘”行动，得到如下列联表及附表：经计算：，参照附表，得到的正确结论是（　）

A．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市民能否做到‘光盘’行动与性别有关”

B．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市民能否做到‘光盘’行动与性别无关”

C．有90%以上的把握认为“该市民能否做到‘光盘’行动与性别有关”

D．有90%以上的把握认为“该市民能否做到‘光盘’行动与性别无关”

11、给出下列四个命题：

①f（x）＝x3－3x2是增函数，无极值．

②f（x）＝x3－3x2在（－∞，2）上没有最大值

③由曲线y＝x，y＝x2所围成图形的面积是

④函数f（x）＝lnx＋ax存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a取值范围是（－∞，2）．

其中正确命题的个数为（　）

A．1　　　　　　　　　　　　　　 B．2

C．3　　　　　　　　　　　　　　 D．4

12、定义在区间[0，a]上的函数f（x）的图象如图所示，记以A（0，f（0）），B（a，f（a）），C（x，f（x））为顶点的三角形的面积为s（x），则函数s（x）的导函数s′（x）的图象大致是（　）

二、填空题（每小题5分，共20分）

13、下面是关于复数的四个命题：p1：|z|＝2，p2：z2＝2i，p3：z的共轭复数为1＋i，p4：z的虚部为－1，其中真命题的个数为__________．

14、某校开设九门课程供学生选修，其中A，B，C三门由于上课时间相同，至多选一门，若学校规定每位学生选修四门，则不同的选修方案共有__________种．

15、二维空间中，圆的一维测度（周长）l＝2πr；二维测度（面积）S＝πr2；三维空间中球的二维测度（表面积）S＝4πr2，三维测度（体积），应用合情推理，若四维空间中，“超球”的三维测度V＝8πr3，则其四维测度W＝__________．

16、已知，x∈R，若至少存在一个实数x使得f（a－x）＋f（ax2－1）＜0成立，a的范围为__________．

三、解答题（本大题共6小题，70分）

17、（本题满分12分）已知：全集U＝R，函数的定义域为集合A，集合B＝{x|x2－a＜0}．

（1）求；

（2）若A∪B＝A，求实数a的范围．

18、（本题满分12分）已知函数（a，b为常数），且，且f（0）＝0．

　　（I）求函数f（x）的解析式；

　　（Ⅱ）判断函数f（x）在定义域上的奇偶性，并证明；

　　（Ⅲ）对于任意的x∈[0，2]，f（x）（2x＋1）＜m·4x恒成立，求实数m的取值范围．

19、（本题满分12分）甲、乙两位小学生各有2008年奥运吉祥物“福娃”5个（其中“贝贝”、“晶晶”、“欢欢”、“迎迎”和“妮妮”各一个），现以投掷一个骰子的方式进行游戏，规则如下：当出现向上的点数是奇数时，甲赢得乙一个福娃；否则乙赢得甲一个福娃，规定掷骰子的次数达9次时，或在此前某人已赢得所有福娃时游戏终止．记游戏终止时投掷骰子的次数为ξ．

　　（1）求掷骰子的次数为7的概率；

　　（2）求ξ的分布列及数学期望Eξ．

20、（本小题满分12分）一家公司计划生产某种小型产品的月固定成本为1万元，每生产1万件需要再投入2万元．设该公司一个月内生产该小型产品x万件并全部销售完，每万件的销售收入为4－x万元，且每万件国家给予补助万元．（e为自然对数的底数，e是一个常数．）

　　（I）写出月利润f（x）（万元）关于月产量x（万件）的函数解析式；

　　（Ⅱ）当月生产量在[1，2e]万件时，求该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值（万元）及此时的月生产量（万件）．（注：月利润＝月销售收入＋月国家补助－月总成本）．

21、（本题满分12分）已知函数，a＞1．

　　（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；

　　（Ⅱ）证明：若1＜a＜5，则对任意x1，x2∈（0，＋∞），x1≠x2，有．

四、选考题（本题满分10分）（请在以下甲、乙、丙三个选考题中任选一个作答，多答则以第一个计分）

22、选修4—1：几何证明选讲

如图AB是⊙O直径，AC是⊙O切线，BC交⊙O于点E．

（1）若D为AC中点，求证：DE是⊙O切线；

（2）若，求∠ACB的大小．

23、选修4—4：坐标系与参数方程

　　已知曲线C的参数方程是，直线l的参数方程为（t为参数），

　　（1）求曲线C与直线l的普通方程；

　　（2）若直线l与曲线C相交于P，Q两点，且，求实数m的值．

24、选修4—5：不等式选讲

设函数f（x）＝|x－1|＋|x－a|．

（1）若a＝－1，解不等式f（x）≥3；

（2）如果R，f（x）≥2，求a的取值范围．

答案与解析：

1、A

解析：由题意可知A＝{y|y＞0}，．

2、D

3、C

4、A

解析：由题设条件，根据导数的定义知，

所以．

5、A

解析：因为随机变量X服从正态分布，其正态分布密度曲线为函数的图象，所以μ＝2，即函数f（x）的图象关于直线x＝2对称，因为所以，所以，因为，所以，故选A．

6、B

8、C

解析：由题意得，十位上的数最大，只能是3，4，5，6，分四种情形：当十位数字为3时，百位、个位的数字为1，2，有＝2种选法；当十位数字为4时，百位、个位的数字为1，2，3，有＝6种选法；当十位数字为5时，百位、个位的数字为1，2，3，4，有＝12种选法；当十位数字为6时，百位、个位的数字为1，2，3，4，5，有＝20种选法，则伞数的个数为2＋6＋12＋20＝40种，故选C．

9、D

解析：根据正态分布的性质，P（ξ≤－2）＝P（ξ＞4）＝1－P（ξ≤4）＝0.21，所以A正确，根据散点图中对应的点都在直线上，可知其为确定的函数关系，从而有相关系数r＝－1，故B是正确的，根据二项分布的期望公式，可知C是正确的，由am2＜bm2可以推出a＜b，而a＜b不一定有am2＜bm2，故am2＜bm2是a＜b的充分不必要条件，所以D项是不正确的，故选D．

10、C

解析：因为，因为2.706＜3.030＜3.841所以有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”．故选C．

11、B

解析：利用导数法知，函数f（x）＝x3－3x2的单调递增区间为（－∞，0）、（2，＋∞），单调递减区间为（0，2），既有极大值也有极小值，同时在区间（－∞，2）上有最大值，所以命题①②都错误； 所以命题③正确；函数f（x）＝lnx＋ax存在与直线2x－y＝0平行的切线等价于在（0，＋∞）有解，因，所以a＜2，即命题④正确．故正确的命题个数为2，所以选B．

12、D

13、2

解析：可得复数z＝－1－i，所以，z2＝2i，，z的虚部为－1，故命题p2，p4为真，因此真命题的个数为2．

15、2πr4

解析：因为二维空间中圆的一维测度（周长）l＝2πr，二维测度（面积）S＝πr2，观察可发现S′＝l，三维空间中，球的二维测度（表面积）S＝4πr2，三维测度（体积），可得V′＝S，由此可猜想，W′＝V＝8πr3，所以W＝2πr4．

16、

解析：已知函数f（x）为R上奇函数且单调递增，所以至少存在一个实数x使得f（a－x）＋f（ax2－1）＜0成立等价于f（ax2－1）＜f（x－a）即ax2－x－1＋a＜0在R上有解．

当a＝0时，x＞－1符合题意；当a＜0时，二次函数开口向下函数值小于零一定有解，所以此时符合题意；当a＞0时，需有△＝1－4a（a－1）＞0解得，．

综上，符合题意的实数a的范围是．

17、解：（1），∴－2＜x＜3．

∴A＝（－2，3），．（6分）

（2）当a≤0时，B＝Φ满足A∪B＝A．（7分）

当a＞0时，．∵A∪B＝A，∴BA，．

∴0＜a≤4．

综上所述，实数a的范围是a≤4．（12分）

考点：集合的补集、子集、函数的定义域.

18、（Ⅰ）由已知可得

，解得a＝1，b＝－1，

所以；（4分）

（Ⅱ）函数f（x）为奇函数．证明如下：f（x）的定义域为R，

，∴函数f（x）为奇函数；（8分）

（Ⅲ），∴2x－1＜m·4x．

，

故对于任意的x∈[0，2]，f（x）（2x＋1）＜m·4x恒成立等价于m＞g（x）max．

令，则，

则当时，，

故，

即m的取值范围为．（12分）

考点：1．函数的解析式、奇偶性；2．函数恒成立问题

19、（1）当ξ＝7时，甲赢意味着“第七次甲赢，前6次赢5次，但根据规则，前5次中必输1次”，由规则，每次甲赢或乙赢的概率均为，因此

（5分）．

（2）设游戏终止时骰子向上的点数是奇数出现的次数为m，向上的点数是偶数出现的次数为n，则由，可得：

当m＝5，n＝0或m＝0，n＝5时，ξ＝5；当m＝6，n＝1或m＝1，n＝6时，ξ＝7．

因此ξ的可能取值是5、7、9．

每次投掷甲赢得乙一个福娃与乙赢得甲一个福娃的可能性相同，其概率都是．

．

所以ξ的分布列是：

．（12分）

考点：n次独立重复试验发生k次的概率，随机变量的分布列，数学期望．

20、解：（Ⅰ）由于：月利润＝月销售收入＋月国家补助－月总成本，可得

（5分）

（Ⅱ）f（x）＝－x2＋2（e＋1）x－2elnx－2的定义域为[1，2e]，

且．

列表如下：

由上表得：

f（x）＝－x2＋2（e＋1）x－2elnx－2在定义域[1，2e]上的最大值为f（e）．

且f（e）＝e2－2．即：月生产量在[1，2e]万件时，该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值为f（e）＝e2－2万元，此时的月生产量值为e（万件）．（12分）

考点：1、用函数的思想优化生活中的实际问题；2、导数在研究函数性质中的应用．

21、解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，＋∞）．

（2分）

（i）若a－1＝1即a＝2，则，故f（x）在（0，＋∞）单调增加．（3分）

（ii）若a－1＜1，而a＞1，故1＜a＜2，则当x∈（a－1，1）时，f′（x）＜0；

当x∈（0，a－1）及x∈（1，＋∞）时，f′（x）＞0．

故f（x）在（a－1，1）单调减少，在（0，a－1），（1，＋∞）单调增加．（4分）

（iii）若a－1＞1，即a＞2，同理可得f（x）在（1，a－1）单调减少，在（0，1），（a－1，＋∞）单调增加．（5分）

（Ⅱ）令

则

由于1＜a＜5，故g′（x）＞0，即g（x）在（0，＋∞）单调增加，从而当x1＞x2＞0时有g（x1）－g（x2）＞0，即f（x1）－f（x2）＋x1－x2＞0，故，当0＜x1＜x2时，有．（12分）

考点：用导数研究函数的性质．

22、（1）连接AE，由已知得，AE⊥BC，AC⊥AB，在Rt△AEC中，由已知得DE＝DC，∴∠DEC＝∠DCE．

连结OE，∠OBE＝∠OEB，∴∠ACB＋∠ABC＝90°，∴∠DEC＋∠OEB＝90°，∴∠OED＝90°，∴DE是圆O的切线．（5分）

（2）设CE＝1，AE＝x，由已知得，，由射影定理可得，AE2＝CE·BE，，解得，∴∠ACB＝60°．（10分）

考点：1、切线的判定；2、圆周角定理．

23、（1）由得，

（1）2＋（2）2得，曲线C的普通方程为：x2＋（y－m）2＝1；

由得，代入中得y＝4＋2（x－1），

所以直线l的普通方程为y＝2x＋2．（5分）

（2）圆心（0，m）到直线l的距离为，

所以由勾股定理得，

解之得，m＝3或m＝1．（10分）

考点：1、直线的参数方程与普通方程的互化；2、圆的弦长问题．

24、解：（1）当a＝－1时，f（x）＝|x－1|＋|x＋1|．由f（x）≥3，得|x－1|＋|x＋1|≥3．

（i）x≤－1时，不等式化为1－x－1－x≥3，即－2x≥3．

不等式组的解集为．

（ii）当－1＜x≤1时，不等式化为1－x＋x＋1≥3，不可能成立．

不等式组的解集为．

（iii）当x＞1时，不等式化为x－1＋x＋1≥3，即2x≥3．

不等式组的解集为．

综上得，f（x）≥3的解集为．（5分）

（2）若a＝1，f（x）＝2|x－1|，不满足题设条件．

若a＜1，f（x）的最小值为1－a．

若a＞1，f（x）的最小值为a－1．

所以R，f（x）≥2的充要条件是|a－1|≥2，从而a的取值范围为（－∞，－1]∪[3，＋∞）．（10分）