湖北省黄冈中学2011-2012学年高一下学期期末考试数学（文）试题

黄冈中学2012年春季高一数学期末考试试题（文科）

一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共60分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

１．直线的倾斜角为，则实数满足的关系是　　　    （　 　）

A．  　　 B． 　　　 C．  　  D．

解：Ａ　　因为斜率

2．给出下列命题：                                                      

①平行于同一条直线的两直线互相平行；

②垂直于同一直线的两条直线互相平行；

③平行于同一平面的两条直线互相平行．

   其中真命题的个数是                                                  （      ）

   A．0      　B．1    　  C．2        D．3

解：B     ②、③中的两直线还可以异面或相交

3．已知两平行直线与的距离为，则实数                    （     ）

A．           B．           C．               D．

解：D   由点到直线的距离公式有，所以．

4．如图，A，B，C，D，E，F分别为正方体相应棱的中点，

对于直线AB、CD、EF，下列结论正确的是（     ）

   A．AB∥CD       B．AB与CD相交   

C．AB与CD异面            D．CD与EF异面

解： C  因为FD与EC平行，所以CD与EF共面；易知A、 B答案是错误的

5．某几何体的正视图和侧视图均如图（1）所示，则该几何体的俯视图不可能是 （     ）

解：D   因为图形为D时，正视图上方的矩形中间应该有一条虚线．

6．已知直线与，若，则（     ）

A．2           B．           C．               D．

解：C   因为，得 当时两直线重合．

7．直线（）的倾斜角范围是                （     ）

 A．      B．     C．     D．

解：C  直线所以直线的斜率C：，所以有．

8．过点P（-1，1）且与原点距离最大的直线的方程是                    （     ）                                           

A．     B．  C．     D．

解：A  依题设直线与点P和坐标原点的连线垂直，所以直线的斜率等于1，方程为．

9．下列四个正方体图形中，，为正方体的两个顶点，，，分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的序号是                                                                             （  ）             

①                 ②                   ③                   ④

A．①、②             B．①、③             C． ②、③         D．②、④

解：B  在①中平行所在正方体的那个侧面的对角线，从而平行，所以平面；在③中设过点且垂直于上底面的棱与上底面交点为，则由，可知平面平行平面，即平面．                

10．某几何体的主视图与俯视图如图所示，左视图与主视图相同，且图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是

  A．　　　　　　Ｂ．

Ｃ．　　　　　　  Ｄ． 

10．解：C 可得直观图正方体从上向下挖去一个倒四棱锥，且四棱锥的的高等于，所以该几何体的体积为．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案写在横线上.

11．倾斜角为且在轴上截距为2的直线方程是______      ______．

11．解：直线斜率为且过点，所以直线为，即．

12．若直线与互相垂直，则的值是_________．

12．解：  ，得．

13．直线关于对称的直线的方程为_________．

13．解：直线．

14．已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为2正方形．若PA=2,则球O的表面积为_________．

14．解：可以将补成球的内接长方体，其对角线的长等于，即球的半径长等于，所以其表面积等于

15．一个无盖的圆柱形容器的底面半径为，母线长为6．现将该

容器盛满水，然后平稳缓慢地将容器倾斜让水流出，当容器中的水

是原来的时，圆柱的母线与水平面所成的角的大小为       ．

15．解：即倒掉的水是原来的，则过A的垂面将圆柱分成两部分，所以

点Ａ到上方的距离为２，又底面直径为，故所求角的大小为．

三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明或演算步骤.）

16．（本小题满分12分）已知点，和，求过点且与点， 距离相等的直线方程．

16．解：①当直线与点，的连线平行时，由直线的斜率

所以所求直线方程为，即；…………6分

②­­­­­当直线过线段的中点时，直线方程为．

∴所求直线方程为或．  ……………12分

17．（本小题满分12分）如图，三棱锥V—ABC中，

VA=VB＝AC=BC=２，AB＝，VC=1．求二面角的大小．

17．解：（Ⅰ）取AB的中点为D，连接VD，CD．∵VA=VB，∴AB⊥VD；同理AB⊥CD．

所以是二面角的的平面角．           …………7分

由题设可知VD＝CD =1，即．故二面角的大小为．…………12分

18．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，

PD=DC＝２，BC＝，E是PC的中点．

（Ⅰ）证明：PA∥平面EDB；

（Ⅱ）求异面直线AD 与BE所成角的大小． 

18．证明：（Ⅰ）连接AC，设AC∩BD=O，连接EO，

∵四边形ABCD为矩形，∴O为AC的中点．

∴OE为△PAC的中位线． 

∴PA∥OE，而OE平面EDB，PA平面EBD，∴PA∥平面EDB.  ……………6分

（Ⅱ）∵AD∥BC，∴就是异面直线AD 与BE所成的角或补角.………8分

  ∵PD⊥平面ABCD， BC平面ABCD ，∴BC⊥PD.又四边形ABCD为矩形，

∴BC⊥DC．又因为PDDC= D，所以BC⊥平面PDC. 

 在BCE中BC＝，EC＝，∴.   

   即异面直线AD 与BE所成角大小为．                    ……………12分

19. （本小题满分12分）已知、满足记点对应的平面区域为.

（Ⅰ）设，求的取值范围；

（Ⅱ）过点的一束光线，射到轴被反射后经过区域，当反射光线所在直线经过区域内的整点（即横纵坐标均是整数的点）时，求直线的方程.

19.解:平面区域如图所示，易得、、三点坐标分别为、、.

（Ⅰ）由知的值即是定点与区域内的点连接的直线的斜率，当直线过时，

；当直线过时，.故的取值范围是.   ………6分                                

（Ⅱ）过点的光线被轴反射后的光线所在直线必经过点，由题设可得区域内坐标为整数点仅有点，故直线的方程是，即.

                                                                   ………12分

20．（本小题满分13分）已知中，边上的高所在的直线方程为， 的角平分线所在的直线方程为，点的坐标为．

（Ⅰ）求点和点的坐标；

（Ⅱ）又过点作直线与轴、轴的正半轴分别交于点，求的面积最小值及此时直线的方程.

解：（Ⅰ）因为点在边上的高上，又在 的角平分线上，所以解方程组  得.        ……………3分

边上的高所在的直线方程为，，

点的坐标为，所以直线的方程为，

， ，所以直线的方程为，

解方程组  得,

故点和点的坐标分别为，．          ……………7分

（Ⅱ）依题意直线的斜率存在，设直线的方程为：，则，所以

，当且仅当时取等号，所以，此时直线的方程是．                         …………13分

21．（本小题满分14分）已知四棱锥中，底面为菱形，⊥底面，底面的对角线的交点为，，，是上的一点，且．

（Ⅰ）证明： ；  

（Ⅱ）证明是二面角的平面角；

（Ⅲ）设二面角为90°，求与平面所成角的大小．

21．证明：

（Ⅰ）因为，，

故，

从而．

      因为，所以∽， 由此知．    ……5分

（Ⅱ）因为底面为菱形，所以．又底面，所以．

     由（Ⅰ）知，所以与平面内两条相交直线都垂直，所以平面．在平面平面内，于是，，所以是二面角的平面角．                      …………9分

（Ⅲ）在平面内过点作，为垂足．

      因为二面角为，所以平面平面．

      又平面平面．故平面．

      所以与平面内两条相交直线都垂直，故平面，

于是，

所以底面为正方形，．    ………11分

设到平面的距离为．

因为，且平面平面，故平面、 两点到平面的距离相等，即．

设与平面所成的角为，则．

所以与平面所成的角为．                          …………14分