2024版新教材高考数学复习特训卷滚动过关检测七第1章_第8章

这是一份2024版新教材高考数学复习特训卷滚动过关检测七第1章_第8章，共12页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．(3－2i)(2－i)＝( )
A．8＋7i B．8－7i
C．4＋7i D．4－7i
2．已知集合A＝{2，3，5，7，9}，B＝{1，2，3，5，7}，则A∩B的真子集的个数为( )
A．7 B．8C．15 D．16
3．“x2－3x＜10”是“ eq \f(1,4)＜2x＜31”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4.
已知某种装水的瓶内芯近似为底面半径是4 dm、高是8 dm的圆锥，当瓶内装满水并喝完一半，且装水的瓶正立放置时(如图所示)，水的高度约为(参考数据： eq \r(3,3)≈1.44， eq \r(3,4)≈1.59)( )
A．1.62 dm B．3.18 dm
C．1.64 dm D．3.46 dm
5．已知函数f(x)＝1＋2sin (2x＋ eq \f(π,3))，则( )
A．f(x)的最大值为2
B．直线x＝－ eq \f(π,12)是f(x)图象的一条对称轴
C．点( eq \f(π,3)，0)是f(x)图象的一个对称中心
D．f(x)在( eq \f(π,12)， eq \f(7π,12))上单调递减
6．若2＜m＜8，椭圆C： eq \f(x2,m)＋ eq \f(y2,2)＝1与椭圆D： eq \f(x2,m)＋ eq \f(y2,8)＝1的离心率分别为e1，e2，则( )
A.e1·e2的最小值为 eq \f(\r(3),2)
B．e1·e2的最大值为 eq \f(1,2)
C．e1·e2的最大值为 eq \f(\r(3),2)
D．e1·e2的最小值为 eq \f(1,2)
7．已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(|3x＋1－1|，x≤0，,ln x，x＞0))若函数g(x)＝f(x)－a有3个零点，则a的取值范围是( )
A．(0，1) B．(0，2]
C．(2，＋∞) D．(1，＋∞)
8．已知P为抛物线C：y＝－ eq \f(1,8)x2上一点，F为焦点，过P作其准线的垂线，垂足为H，若△PFH的周长为6＋2 eq \r(6)，则点P的纵坐标为( )
A．－1 B．－2
C．－ eq \f(1,2) D．－ eq \f(3,2)
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．命题p：“∀x∈(7，12)，cs (x－10)≠lg x”．命题q：“∃x∈R，(x－2)4＜x4－8x3＋24x2－32x＋15”．下列结论判断正确的是( )
A．p是存在量词命题
B．p是假命题
C．q的否定为“∀x∈R，(x－2)4≥x4－8x3＋24x2－32x＋15”
D．q是假命题
10．已知三棱锥P­ABC的棱PA，AB，AC两两垂直，PA＝AC＝2，AB＝4，D为AB的中点，E在棱BC上，且AC∥平面PDE，则( )
A． eq \(PE,\s\up6(→))＝ eq \f(1,4) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(PC,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(PD,\s\up6(→))
B．PC与平面ABC所成的角为45°
C．三棱锥P­ABC外接球的表面积为20π
D．点A到平面PDE的距离为 eq \r(2)
11．在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，(1－cs A)b＝a cs B，点D在线段AB上，且BD＝2AD，若CD＝4，则( )
A．b＝c
B．a＝b
C．△ABC面积的最大值是9
D．△ABC面积的最小值是6
12．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且f′(x)－f(x)＝x2ex，f(1)＝ eq \f(e,3)，则( )
A．ef(0)＜f(1)
B．ef(1)＜f(2)
C．f(x)没有极小值
D．当f(x)－b＝0有两个根时，－ eq \f(9,e3)＜b＜0
[答题区]
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．已知向量a＝(m，2)，b＝(－1，3)，若(a＋3b)⊥b，则m＝________．
14．已知函数f(x)的导函数为f′(x)＝(x－1)2(x2＋ax＋b)(x∈R)，写出满足f(x)的极大值点为2的a，b的一组值：a＝________，b＝________．
15．用3个0，3个1，1个2，1个3，1个4，1个5组成一个十位数，则3个0连在一起的十位数共有________个．
16．设Sn是数列{an}的前n项和，Sn＝ eq \f(3,2)an－3n＋1，则an＝________；若不等式an≥ eq \f(2n2＋n,\r(k))对任意n∈N＋恒成立，则k的最小值为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)已知在等比数列{an}中，a1＋a2＝4，且a1，a2＋2，a3成等差数列，数列{bn}满足bn＞0，b1＝1，b eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n＋1)) －b eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) ＝2(bn＋1＋bn).
(1)求{an}的通项公式；
(2)设cn＝2bn－an，求数列{cn}的前n项和Tn.
18.
(12分)如图，在平面四边形ABCD中，∠DAB＝∠DCB＝90°，∠ABC＝60°，AB＝2 eq \r(3)，AD＝4.
(1)求cs ∠DBC的值；
(2)求AC的长度．
19．(12分)已知圆C：(x－ eq \f(5,3))2＋(y－2)2＝1.
(1)若曲线y＝ax3在点(1，a)处的切线与圆C相切，求a的值；
(2)若直线l：(1＋2m)x＋(1－m)y－3＝0与圆C交于A，B两点，求|AB|的最小值．
20.
(12分)如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，△ABC是等边三角形，AB＝4，D是棱AB的中点．
(1)证明：平面A1CD⊥平面ABB1A1；
(2)若AA1∈[2，4]，求二面角D ­A1C­C1的余弦值的取值范围．
21．(12分)已知A(－1，0)，B(1，0)，动点C满足直线AC与直线BC的斜率乘积为3.记动点C的轨迹为E.
(1)求E的方程；
(2)过点(2，0)作直线l1交E于P，Q两点(P，Q在y轴两侧)，过原点O作直线l1的平行线l2交E于M，N两点(M，N在y轴两侧)，试问 eq \f(|MN|2,|PQ|)是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
22．(12分)设g′(x)为g(x)的导函数，若g′(x)是定义域为D的增函数，则称g(x)为D上的“凹函数”，已知函数f(x)＝xex＋ax2＋a为R上的凹函数．
(1)求a的取值范围；
(2)证明：f(x)＞ eq \f(1,2)x3＋ eq \f(45,44)x2＋x＋ eq \f(1,44).
滚动过关检测七 第一章～第八章
1．答案：D
解析：(3－2i)(2－i)＝4－7i.
2．答案：C
解析：因为A∩B有4个元素，所以A∩B的真子集的个数为24－1＝15.
3．答案：B
解析：由x2－3x＜10，得－2＜x＜5，则 eq \f(1,4)＜2x＜32.故“x2－3x＜10”是 eq \f(1,4)＜2x＜31”的必要不充分条件．
4．答案：C
解析：当瓶内装满水并喝完一半，且水瓶正立放置时，圆锥上半部分占圆锥体积的一半．设上半部分小圆锥的半径为r dm.易得小圆锥的高为2r dm，则 eq \f(1,3)πr2·2r＝ eq \f(1,2)× eq \f(1,3)π×42×8，解得r3＝32，即r＝2 eq \r(3,4)≈3.18 dm，2r≈6.36 dm，则剩余的水的高度为8－2r≈1.64 dm.
5．答案：D
解析：因为f(x)＝1＋2sin (2x＋ eq \f(π,3))，所以f(x)的最大值为3，A错误；因为sin (－2× eq \f(π,12)＋ eq \f(π,3))≠±1，所以B错误；易知C错误；令 eq \f(π,2)＋2kπ≤2x＋ eq \f(π,3)≤ eq \f(3π,2)＋2kπ.k∈Z.解得 eq \f(π,12)＋kπ≤x≤ eq \f(7π,12)＋kπ，k∈Z.所以f(x)的单调递减区间为[ eq \f(π,12)＋kπ， eq \f(7π,12)＋kπ]，k∈Z，所以D正确．
6．答案：B
解析：因为2＜m＜8，所以e1＝ eq \r(1－\f(2,m))，e2＝ eq \r(1－\f(m,8)).
所以e1·e2＝ eq \r(（1－\f(2,m)）（1－\f(m,8)）)＝ eq \r(1＋\f(1,4)－（\f(2,m)＋\f(m,8)）)≤ eq \r(\f(5,4)－2 \r(\f(2,m)·\f(m,8)))＝ eq \f(1,2).
当且仅当m＝4时，等号成立，故e1·e2的最大值为 eq \f(1,2)，e1·e2无最小值．
7．答案：A
解析：函数g(x)＝f(x)－a有3个零点等价于y＝f(x)的图象与直线y＝a有3个不同的交点．如图，画出f(x)的大致图象，由图可知a∈(0，1).
8．答案：A
解析：由y＝－ eq \f(1,8)x2，得x2＝－8y.如图，设点P的坐标为(m，n)，准线y＝2与y轴的交点为A，则|PF|＝|PH|＝2－n，|FH|＝ eq \r(|AF|2＋|AH|2)＝ eq \r(42＋m2)＝ eq \r(16－8n)，所以△PFH的周长为 eq \r(16－8n)＋2(2－n)＝6＋2 eq \r(6).设函数f(n)＝ eq \r(16－8n)＋2(2－n)(n≤0)，则f(n)为减函数，因为f(－1)＝6＋2 eq \r(6)，所以n＝－1.
9．答案：BCD
解析：p是全称量词命题，A错误．因为cs (10－10)＝lg 10＝1，所以B正确．q的否定为“∀x∈R，(x－2)4≥x4－8x3＋24x2－32x＋15”，C正确．因为(x－2)4＝x4－8x3＋24x2－32x＋16，所以q是假命题，D正确．
10.
答案：ABD
解析：因为AC∥平面PDE，AC⊂平面ABC，平面ABC∩平面PDE＝DE，所以AC∥DE，因为D为AB的中点，所以E为BC的中点，则 eq \(PE,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)( eq \(PB,\s\up6(→))＋ eq \(PC,\s\up6(→)))＝ eq \f(1,2)( eq \(PD,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(PC,\s\up6(→)))＝ eq \f(1,4) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(PC,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(PD,\s\up6(→))，A正确．因为PA，AB，AC两两垂直，所以可证AC⊥平面PAB，又AC∥DE，所以DE⊥平面PAB，从而可证平面PDE⊥平面PAB，所以点A到平面PDE的距离即点A到PD的距离，通过计算可以求得A到PD的距离为 eq \r(2)，D正确．依题意可得PC与平面ABC所成的角为∠PCA＝45°，B正确．三棱锥P­ABC可补形得到一个长方体，所以三棱锥P­ABC外接球的半径r＝ eq \f(\r(22＋22＋42),2)＝ eq \r(6)，所以三棱锥P­ABC外接球的表面积为4πr2＝24π，C错误．
11．答案：AC
解析：因为(1－cs A)b＝a cs B，所以sin B＝sin A cs B＋sin B cs A＝sin (A＋B)＝sin C，所以b＝c.设AD＝m，则b＝3m，在△ACD中，由余弦定理可得cs A＝ eq \f(（3m）2＋m2－42,2×3m2)＝ eq \f(5m2－8,3m2)，则sin A＝ eq \r(1－（\f(5m2－8,3m2)）2)＝ eq \f(4\r(－m4＋5m2－4),3m2)，故△ABC的面积S＝ eq \f(1,2)bc sin A＝ eq \f(1,2)×9m2× eq \f(4\r(－m4＋5m2－4),3m2)＝6 eq \r(－（m2－\f(5,2)）2＋\f(9,4))≤9，当且仅当m2＝ eq \f(5,2)时，△ABC的面积取得最大值9，△ABC的面积无最小值．
12．答案：ABD
解析：由f′(x)－f(x)＝x2ex，可得 eq \f(f′（x）－f（x）,ex)＝x2，设g(x)＝ eq \f(f（x）,ex)，则g′(x)＝x2，g(x)＝ eq \f(f（x）,ex)＝ eq \f(1,3)x3＋k，k是常数，所以f(x)＝ eq \f(1,3)x3ex＋kex.又因为f(1)＝ eq \f(e,3)，所以k＝0，f(x)＝ eq \f(1,3)x3ex.又由g′(x)＝ eq \f(f′（x）－f（x）,ex)＝x2≥0.可得g(x)在R上是单调递增函数，所以g(0)＜g(1)，g(1)＜g(2)，即 eq \f(f（0）,e0)＜ eq \f(f（1）,e)， eq \f(f（1）,e)＜ eq \f(f（2）,e2)，所以ef(0)＜f(1)，ef(1)＜f(2)，故A正确，B正确．由f(x)＝ eq \f(1,3)x3ex，
可得f′(x)＝ eq \f(1,3)x2(x＋3)ex，所以f(x)在(－∞，－3)上是单调递减函数，在(－3，＋∞)上是单调递增函数，f(x)≥－ eq \f(9,e3).如图，由图可知当f(x)－b＝0有两个根时，－ eq \f(9,e3)＜b＜0，所以D正确．f(x)只有极小值没有极大值，所以C错误．
13．答案：36
解析：由题意可得a＋3b＝(m－3，11)，则(a＋3b)·b＝－(m－3)＋33＝0，解得m＝36.
14．答案：－5，6
解析：依题意可得二次方程x2＋ax＋b＝0的一个根为2，设另一个根为m.若m＜2，则f(x)的极大值点为m.若m＝2，f(x)为增函数，无极值点．若m＞2，当x≤1时，f′(x)≥0，当1＜x＜2时，f′(x)＞0，当2＜ x＜m时，f′(x)＜0，当x＞m时，f′(x)＞0，所以f(x)的极大值点为2，所以22＋2a＋b＝0，且由根与系数的关系易知－a＞4，b＞4，即2a＋b＝－4(a＜－4，b＞4).
15．答案：5 880
解析：将3个0捆绑在一起，视为1个数字，与其他7个数字(含重复数字1)排成一排，其中3个0不能排在首位，故3个0连在一起的十位数共有C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(7)) C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(7)) A eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(4)) ＝5 880个．
16．答案：(4n＋2)×3n eq \f(1,36)
解析：当n＝1时，S1＝ eq \f(3,2)a1－32，得a1＝18.当n≥2时，Sn－1＝ eq \f(3,2)an－1－3n.则Sn－Sn－1＝an＝ eq \f(3,2)an－ eq \f(3,2)an－1－2×3n，得an＝3an－1＋4×3n，所以 eq \f(an,3n)－ eq \f(an－1,3n－1)＝4.又因为 eq \f(a1,31)＝6，所以{ eq \f(an,3n)}是以6为首项，4为公差的等差数列，所以 eq \f(an,3n)＝4n＋2，即an＝(4n＋2)×3n.因为对任意n∈N＋，an≥ eq \f(2n2＋n,\r(k))，所以(4n＋2)×3n≥ eq \f(2n2＋n,\r(k))，即 eq \f(2×3n,n)≥ eq \f(1,\r(k)).记bn＝ eq \f(2×3n,n)， eq \f(bn＋1,bn)＝ eq \f(3n,n＋1)＞1，所以{bn}是递增数列，从而bn≥b1＝6.所以 eq \f(1,\r(k))≤6，解得k≥ eq \f(1,36)，则k的最小值为 eq \f(1,36).
17．解析：(1)因为a1，a2＋2，a3成等差数列，所以a1＋a3＝2(a2＋2)，又因为a1＋a2＝4，则a3＝3a2，得{an}的公比为q＝3，所以a1＋3a1＝4，解得a1＝1，故an＝3n－1.
(2)由bn＞0，b eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n＋1)) －b eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) ＝2(bn＋1＋bn)，得bn＋1－bn＝2，则{bn}是等差数列，因为b1＝1，所以bn＝2n－1，则cn＝2bn－an＝22n－1－3n－1，则Tn＝(21－30)＋(23－31)＋(25－32)＋…＋(22n－1－3n－1)＝(21＋23＋25＋…＋22n－1)－(30＋31＋32＋…＋3n－1)
＝ eq \f(2（1－4n）,1－4)－ eq \f(1－3n,1－3)＝ eq \f(4n＋1－3n＋1－1,6).
18．解析：(1)在△ABD中，BD＝ eq \r(AB2＋AD2)＝2 eq \r(7)，sin ∠ABD＝ eq \f(AD,BD)＝ eq \f(2,\r(7))，cs ∠ABD＝ eq \f(AB,BD)＝ eq \f(\r(3),\r(7))，cs ∠DBC＝cs (60°－∠ABD)＝cs 60°cs ∠ABD＋sin 60°sin ∠ABD＝ eq \f(3\r(21),14).
(2)BC＝BD·cs ∠DBC＝3 eq \r(3).
AC＝ eq \r(AB2＋BC2－2AB·BC cs ∠ABC)＝ eq \r(21).
19．解析：(1)y′＝3ax2，则当x＝1时，y′＝3a，所以曲线y＝ax3在点(1，a)处的切线方程为y－a＝3a(x－1)，即3ax－y－2a＝0.依题意可知圆C的圆心为C( eq \f(5,3)，2)，圆C的半径为1，则圆心C( eq \f(5,3)，2)到直线3ax－y－2a＝0的距离d＝ eq \f(|3a－2|,\r(（3a）2＋（－1）2))＝1.
解得a＝ eq \f(1,4).
(2)由(1＋2m)x＋(1－m)y－3＝0，得x＋y－3＋m(2x－y)＝0.
令2x－y＝0，且x＋y－3＝0，解得x＝1，y＝2，所以直线l过定点P(1，2).易知P(1，2)在圆C的内部，所以当PC垂直于直线l时，|AB|取最小值，且最小值为2 eq \r(1－|PC|2)＝2 eq \r(1－（\f(2,3)）2)＝ eq \f(2\r(5),3).
20．解析：(1)证明：由直三棱柱的定义可知AA1⊥平面ABC.因为CD⊂平面ABC，所以AA1⊥CD.因为AC＝BC，且D 是棱AB的中点，所以CD⊥AB.因为AB，AA1⊂平面ABB1A1，且AB∩AA1＝A，所以CD⊥平面ABB1A1因为CD⊂平面A1CD，所以平面A1CD⊥平面ABB1A1.
(2)分别取AC，A1C1的中点O，E，连接OB，OE，易证OB，OC，OE两两垂直．以O为原点，分别以 eq \(OB,\s\up6(→))， eq \(OC,\s\up6(→))， eq \(OE,\s\up6(→))的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．设AA1＝m(2≤m≤4)，则A1(0，－2，m)，C(0，2，0)，D( eq \r(3)，－1，0)，则 eq \(A1C,\s\up6(→))＝(0，4，－m)， eq \(CD,\s\up6(→))＝( eq \r(3)，－3，0).设平面A1CD的法向量为n＝(x，y，z)，
令
z＝4，得n＝( eq \r(3)m，m，4).平面CC1A1的一个法向量为m＝(1，0，0).设二面角D ­A1C­C1为θ.由图可知，θ为钝角，则cs θ＝－|cs 〈n，m〉|＝－ eq \f(|n·m|,|n||m|)＝－ eq \f(\r(3)m,\r(4m2＋16))＝－ eq \f(\r(3),2\r(1＋\f(4,m2))).
因为2≤m≤4，所以1＋ eq \f(4,m2)∈[ eq \f(5,4)，2]，故cs θ的取值范围是[－ eq \f(\r(15),5)，－ eq \f(\r(6),4)].
21．解析：(1)设C(x，y)，因为直线AC与直线BC的斜率乘积为3，所以 eq \f(y,x＋1)× eq \f(y,x－1)＝3，所以x2－ eq \f(y2,3)＝1(x≠±1)，
故E的方程为x2－ eq \f(y2,3)＝1(x≠±1).
(2)易知直线l1的斜率存在且不为0.设直线l1：x＝ty＋2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝ty＋2，,x2－\f(y2,3)＝1，))得(3t2－1)y2＋12ty＋9＝0.则y1＋y2＝－ eq \f(12t,3t2－1)，y1y2＝ eq \f(9,3t2－1).因为P，Q在y轴的两侧，所以y1y2＞0，所以3t2－1＞0.所以|PQ|＝ eq \r(1＋t2)|y1－y2|＝ eq \r(1＋t2)· eq \r(（y1＋y2）2－4y1y2)＝ eq \f(6（t2＋1）,3t2－1).
因为l2∥l1，所以l2的方程为x＝ty.设M(x0，y0)，则N(－x0，－y0)，联立方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝ty,x2－\f(y2,3)＝1))得(3t2－1)y2＝3.所以y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＝ eq \f(3,3t2－1)，x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＝ eq \f(3t2,3t2－1)，
所以|MN|2＝4(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＋y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) )＝ eq \f(12（1＋t2）,3t2－1)，
所以 eq \f(|MN|2,|PQ|)＝ eq \f(12（1＋t2）,3t2－1)· eq \f(3t2－1,6（t2＋1）)＝2，即 eq \f(|MN|2,|PQ|)为定值2.
22．解析：(1)f′(x)＝(x＋1)ex＋2ax，设f″(x)为f′(x)的导函数，则f″(x)＝(x＋2)ex＋2a.
设m(x)＝f″(x)，则m′(x)＝(x＋3)ex，当x＜－3时，m′(x)＜0；当x＞－3时，m(x)＞0.所以m(x)在(－∞，－3)上是单调递减函数，在(－3，＋∞)上是单调递增函数，所以m(x)min＝－ eq \f(1,e3)＋2a，因为f(x)为R上的凹函数，所以－ eq \f(1,e3)＋2a≥0，解得a≥ eq \f(1,2e3)，故a的取值范围是[ eq \f(1,2e3)，＋∞).
(2)证明：设函数h(x)＝ex－ eq \f(1,2)x2－x－1，则h′(x)＝ex－x－1，则h′(x)的导函数h″(x)＝ex－1，若x＞0，则h″(x)＞0；若x＜0，则h″(x)＜0.所以h′(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，所以h′(x)的最小值为h′(0)＝0，则h′(x)≥0，h(x)为单调递增函数，又h(0)＝0，所以当x＞0时，h(x)＞0，当x＜0时，h(x)＜0，所以xh(x)＝xex－ eq \f(1,2)x3－x2－x≥0，即xex≥ eq \f(1,2)x3＋x2＋x所以f(x)＝xex＋ax2＋a≥ eq \f(1,2)x3＋(a＋1)x2＋x＋a.
由(1)知，a≥ eq \f(1,2e3)，因为2.7＜e＜2.8，所以a＞ eq \f(1,2×2.83)＝ eq \f(1,43.904)＞ eq \f(1,44)，
所以 eq \f(1,2)x3＋(a＋1)x2＋x＋a＞ eq \f(1,2)x3＋( eq \f(1,44)＋1)x2＋x＋ eq \f(1,44)，故f(x)＞ eq \f(1,2)x3＋ eq \f(45,44)x2＋x＋ eq \f(1,44).
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