2022北京西城外国语初三（上）期中数学（教师版）

这是一份2022北京西城外国语初三（上）期中数学（教师版），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022北京西城外国语初三（上）期中
数 学
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
1. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. （2，1） B. （-2，1） C. （-2，-1） D. （1，2）
2. 下列各曲线是在平面直角坐标系中根据不同的方程绘制而成的，其中是中心对称图形的是（ ）
A B.
C. D.
3. 将抛物线向下平移1个单位长度，得到的抛物线是（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE．若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小为（　　）

A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°
5. 用配方法解方程，下列变形正确的是（ ）
A. B. C. D.
6. 方程的根的情况是（ ）
A 有两个相等实数根 B. 有两个不相等实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断
7. 生活垃圾无害化处理可以降低垃圾及其衍生物对环境的影响．据统计，2017年全国生活垃圾无害化处理能力约为2.5亿吨，随着设施的增加和技术的发展，2019年提升到约3.2亿吨．如果设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为，那么根据题意可以列方程为（ ）
A. B.
C. D.
8. 抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示.对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③；④若此抛物线经过点，则一定是方程的一个根．其中所有正确结论的序号是（ ）

A. ①② B. ①③ C. ③④ D. ①④
二、填空题（本题共16分，每小题2分．）
9. 写出一个二次函数，使得它有最小值，这个二次函数的解析式可以是__________．
10. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称点坐标为______．
11. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则___________
12. 若点，在抛物线上，则，的大小关系为：________（填“＞”，“=”或“＜”）．
13. 如图，在平面直角坐标系xOy中，AOB可以看作是将DCE绕某个点旋转而得到，则这个点的坐标是___________．

14. 二次函数与一次函数的图象如图所示，则满足的x的取值范围是____________．

15. 商店销售一种进价为20元/个的帽子，经调查发现，该种帽子每天的销售量（个）与销售单价（元）满足，设销售这种帽子每天的利润为（元），则与之间的函数关系式为______；当销售单价定为______元时，每天的利润最大．
16. 如图1，在△ABC中，AB>AC，D是边BC上的动点．设B，D两点之间的距离为x，A，D两点之间的距离为y， 表示 y与x的函数关系的图象如图2所示．线段AC的长为_________________，线段AB的长为____________．

三、解答题（本题共68分）
17. 解方程：．
18. 已知，求代数式的值．
19. 已知二次函数的图象如图所示，解决下列问题：

（1）关于的一元二次方程的解为 ；
（2）求此抛物线的解析式．
（3）若直线y＝k与抛物线没有交点，直接写出k的取值范围．
20. 如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转60°，得到线段，连接，．

（1）求证：；
（2）连接，若，求的度数．
21. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，关于原点对称的图形是．

（1）画出；
（2）与的位置关系是______；
（3）若点是一边上的任意一点，则点经过上述变换后的对应点的坐标可表示为_____．
22. 对于抛物线．
（1）它与轴交点的坐标为______，与轴交点的坐标为______，顶点坐标为______；
（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线．

…





…

…





…

（3）当时，结合函数图像，直接写出的取值范围．

23. 如图，△ABC内接于⊙O，高AD经过圆心O．
（1）求证：；
（2）若，⊙O半径为5，求△ABC的面积．

24. 已知关于的一元二次方程．
（1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）若此方程恰有一个根小于，求的取值范围．
25. 小明进行铅球训练，他尝试利用数学模型来研究铅球的运动情况．他以水平方向为轴方向，1m为单位长度，建立了如图所示的平面直角坐标系，铅球从y轴上的点出手，运动路径可看作抛物线，在点处达到最高位置，落在轴上的点处．小明某次试投时的数据如图所示．

（1）在图中画出铅球运动路径的示意图；
（2）根据图中信息，求出铅球路径所在抛物线的表达式；
（3）若铅球投掷距离（铅球落地点与出手点的水平距离的长度）不小于10m，成绩为优秀．请通过计算，判断小明此次试投的成绩是否能达到优秀．
26. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A．
（1）求点A坐标及抛物线的对称轴；
（2）当时，的最大值是3，求当时，的最小值；
（3）抛物线上的两点，，若对于，，都有，直接写出的取值的范围．
27. 点为线段上一点，以为斜边作等腰，连接，在外侧，以为斜边作等腰，连接．
（1）如图，当时，求证：；

（2）如图，当时，判断线段与的数量关系，并说明理由．


参考答案
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
1. 【答案】A
【解析】
【分析】根据抛物线的顶点式，即可得到抛物线的顶点坐标．
【详解】解：∵抛物线的解析式为，
∴顶点坐标是（2，1），
故选：A．
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，二次函数的顶点式为，则抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为(，) ．
2. 【答案】C
【解析】
【分析】中心对称图形的定义：如果把一个图形绕着一个定点旋转后，与初始图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；根据定义对四个选项进行判断即可．
【详解】解：A、不中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、是旋转对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选C．
【点睛】此题考查了中心对称图形的概念，熟练掌握中心对称图形的概念是解决此题的关键．
3. 【答案】A
【解析】
【分析】根据平移的规律：左加右减，上加下减，求出得到的抛物线的解析式即可．
【详解】解：抛物线向下平移1个单位长度后得到新抛物线的解析式为：．
故选A．
【点睛】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
4. 【答案】B
【解析】
【详解】解：∵△ADE是由△ABC绕点A旋转100°得到的，
∴∠BAD=100°，AD=AB，
∵点D在BC的延长线上，
∴∠B=∠ADB=．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了旋转性质和等腰三角形的性质，解题中只要抓住旋转角∠BAD=100°，对应边AB=AD及点D在BC的延长线上这些条件，就可利用等腰三角形中：两底角相等求得∠B的度数了．
5. 【答案】D
【解析】
【分析】把常数项移到等号的右边，两边同时加上一次项系数一半的平方，再依据完全平方公式将左边写成完全平方式即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
即．
故选D．
【点睛】本题考查了解一元二次方程——配方法．熟练掌握用配方法解一元二次方程是解题的关键．
6. 【答案】B
【解析】
【分析】把a=1，b=-3，c=1代入△=b2-4ac进行计算，然后根据计算结果判断方程根情况．
【详解】解：∵a=1，b=-3，c=1，
∴△=b2-4ac=(-3)2-4×1×1=5＞0，
所以方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2-4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．
7. 【答案】C
【解析】
【分析】设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为，根据等量关系，列出方程即可．
【详解】解：设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为，
由题意得：，
故选C．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，掌握增长率模型，是解题的关键．
8. 【答案】B
【解析】
【分析】利由抛物线的开口方向和位置可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（-1，0），代入解析式则可对②进行判断；由抛物线的顶点坐标以及对称轴可对③进行判断；抛物线的对称性得出点的对称点是，则可对④进行判断．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴，故①正确；
∵抛物线的顶点为，且经过点，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-1，0），
∴，故②错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=2，
∴，即：b=-4a，
∵，
∴c=b-a=-5a，
∵顶点，
∴，即：，
∴m=-9a，即：，故③正确；
∵若此抛物线经过点，抛物线的对称轴为直线x=2，
∴此抛物线经过点，
∴，
∴一定是方程的一个根，故④错误．
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置．
二、填空题（本题共16分，每小题2分．）
9. 【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据二次函数的性质即可得．
【详解】由题意，二次函数有最小值，说明函数开口向上，这个二次函数的解析式可以是，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
10. 【答案】
【解析】
【分析】根据原点对称的两个点其对应的横坐标，纵坐标分别互为相反数，列式计算即可．
【详解】解：因为点关于原点的对称点坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标计算，熟练掌握原点对称的两个点其对应的横坐标，纵坐标分别互为相反数，是解题的关键．
11. 【答案】
【解析】
【分析】把x=-1代入方程x2+kx-3=0得1-k-3=0，然后解关于k的方程．
【详解】解：把x=-1代入方程x2+kx-3=0得1-k-3=0，解得k=-2．
故答案为-2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
12. 【答案】＜
【解析】
【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可得出y1，y2的值，比较后即可得出结论．
【详解】解：∵若点A(−1,y1)，B(2,y2)在抛物线y=2x2上，
y1=2×（-1）2=2，y2=2×4=8，
∵2＜8，
∴y1﹤y2．
故答案为：﹤.
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标特征求出y1，y2的值是解题的关键．
13. 【答案】（2，2）
【解析】
【分析】根据旋转的性质可得：旋转中心到对应点的距离相等，则旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线上，由此即可作图求得答案．
【详解】解：如图，连接AE，分别作线段AE、线段OC的垂直平分线，相交于点F（2，2），
则点F（2，2）即为旋转中心，

故答案为：（2，2）．
【点睛】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转中心到对应点的距离相等以及垂直平分线的性质是解决本题的关键．
14. 【答案】
【解析】
【分析】根据函数图象可得，的x的取值范围就是二次函数图象在一次函数图象上方部分的x的取值范围即可．
【详解】解：根据函数图象可得，的x的取值范围就是二次函数图象在一次函数图象上方部分的x的取值范围
由图像可知，时二次函数图象在一次函数图象上方．
故答案为
【点睛】本题考查了二次函数与不等式，此类题目，数形结合准确识图是解题的关键．
15. 【答案】 ①. ②. 30
【解析】
【分析】根据利润=每件帽子的利润×销售量，即可得所求函数关系式；然后利用配方法求二次函数的最大值，从而可得每天最大的利润．
【详解】解：帽子的进价为20元/个，销售单价（元），
每件帽子的利润为元；
销售这种帽子每天的利润为：，
；
配方，得：，
，
当时，函数y有最大值200；
故答案为：；30．
【点睛】此题考查了二次函数的应用，准确理解题意找到等量关系并熟练运用配方法求二次函数的最值是解此题的关键．
16. 【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】从图象看，当x=1时，y=，即BD=1时，AD=，当x=7时，y=，即BD=7时，C、D重合，此时y=AD=AC=，则CD=6，即当BD=1时，△ADC为以点A为顶点腰长为的等腰三角形，进而求解．
【详解】解：从图象看，当x=1时，y=，
即BD=1时，AD=，
当x=7时，y=，即BD=7时，C、D重合，
此时y=AD=AC=，则CD=6，
即当BD=1时，△ADC为以点A为顶点腰长为的等腰三角形，如下图：

过点A作AH⊥BC于点H，
在Rt△ACH中，，
则，
在Rt△ABH中，，
故答案为：，．
【点睛】本题考查的是动点问题的函数图象，解题的关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
三、解答题（本题共68分）
17. 【答案】或
【解析】
【分析】利用十字相乘因式分解，进而即可求解．
【详解】，
，
∴或，
解得：或．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握“十字相乘法”是解题的关键．
18. 【答案】7
【解析】
【分析】由已知可得，然后利用整式的混合运算将代数式化成含有的形式，然后整体代入即可得到答案．
【详解】解：，
，

=
=，

=
=7．
故代数式的值为7．
【点睛】此题考查了代数式的求值，熟练运用整式的混合运算化简代数式和整体思想方法是解此题的关键．
19. 【答案】（1），；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）先由二次函数的对称性求出二次函数与x轴的另一个交点坐标，二次函数与x轴的交点坐标的横坐标即为一元二次方程的解；
（2）利用（1）求出的二次函数与x轴的两个交点坐标，利用交点式即可得到答案；
（3）联立得，二次函数与直线没有交点，即一元二次方程没有实数根，然后利用一元二次方程根的判别式求解即可．
【详解】解：（1）由函数图像可得，二次函数的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为（3，0），
∴二次函数与x轴的另一个交点坐标为（-1，0），
∴一元二次方程的解为，，
故答案为：，；
（2）∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的交点坐标为（3，0），（-1，0），
∴抛物线的解析式为；
（3）联立得，
∵二次函数与直线没有交点，
∴一元二次方程没有实数根，
∴
∴．
【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程，求二次函数解析式，一元二次方程根的判别式，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数与一元二次方程之间的关系．
20.【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】(1)证明即可．
(2)证明是等边三角形，计算即可．
【小问1详解】
因为等边三角形，线段绕点顺时针旋转60°，得到线段，
所以，，，
所以，
所以，
所以，
所以．
【小问2详解】
因为线段绕点顺时针旋转60°，得到线段，

所以，
所以是等边三角形，
所以；
因为，，
所以．
所以．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，旋转的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质，准确进行三角形全等证明是解题的关键．
21. 【答案】（1）答案见详解；
（2）平行； （3）．
【解析】
【分析】（1）如图所示，分别画出关于原点O对称的点，即可得；
（2）根据中心对称的性质，可知过点O且被点O平分，过点O且被点O平分，于是得四边形是平行四边形，得；
（3）根据中心对称的性质可得．
【小问1详解】
解：如图所示，为所求；

【小问2详解】
解：如图，与关于原点成中心对称，
分别被点O平分，
即：，
四边形是平行四边形，
；
故答案为：平行；
【小问3详解】
解：与关于原点成中心对称，
点与点关于原点对称，
，
，
故答案为：．
【点睛】此题考查了中心对称的概念与平行四边形的判定与性质，熟练掌握中心对称的概念与性质、平行四边形的判定与性质是解此题的关键．
22. 【答案】（1）；；
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）将抛物线配方为，分别令计算交点坐标即可，用顶点式写出顶点坐标即可．
（2）利用对称性，以顶点坐标为中心，左右各取两个点即可，依据画图像的基本步骤求解即可．
（3）分别计算的函数值，比较大小，接着验证对称轴是否落在该取值范围，若落在指定范围内，其函数值要不小于或不大于符号表示出来．
【小问1详解】
因为
，
当时，
得，
解得，
所以抛物线与轴交点的坐标为，
当时，
得，
所以抛物线与轴交点的坐标为，
因为，
所以抛物线顶点坐标为，
故答案为：，，；
【小问2详解】
列表如下：

画图像如下：
．
【小问3详解】
因为，
所以当时，；当时，；
因为，
所以对称轴落在该取值范围，
所以y能取到函数的最小值，
所以y的取值范围是．
【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴的交点问题，顶点坐标，画函数图像，指定自变量范围计算函数值的取值范围，熟练掌握抛物线的性质，顶点坐标的计算，验证对称轴是否落在指定取值范围是解题的关键．
23. 【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）根据垂径定理可得AD垂直平分BC，即可证明结论；
（2）连接OB，根据勾股定理可得，得出，利用三角形面积公式求解即可．
【详解】证明：（1）在⊙O中，
∵ OD⊥BC于D，
∴ BD=CD，
∴ AD垂直平分BC，
∴ AB=AC；
（2）连接OB，如图所示：

∵BC=8，由（1）得BD=CD，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ △ABC的面积：，
∴ △ABC的面积为32．
【点睛】题目主要考查垂径定理的应用，垂直平分线的性质，勾股定理等，理解题意，综合运用各个定理性质是解题关键．
24. 【答案】（1）见详解；（2）k＜-4
【解析】
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得Δ≥0，由此可证出方程总有两个实数根；
（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出x1=2、x2= k+3，根据方程有一根小于-1，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．
【详解】（1）证明：∵在方程中，Δ=[-（k+5）]2-4×1×（6+2k）=k2+2k+1=（k+1）2≥0，
∴方程总有两个实数根．
（2）解：∵，
∴x1=2，x2=k+3．
∵此方程恰有一个根小于，
∴k+3＜-1，解得：k＜-4，
∴k的取值范围为k＜-4．
【点睛】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）利用因式分解法解一元二次方程结合方程一根小于-1，找出关于k的一元一次不等式．
25. 【答案】（1）见解析；（2）；（3）达到优秀
【解析】
【分析】（1）根据题意可直接画出图象；
（2）由图中信息可设抛物线解析式为，然后把点代入求解即可；
（3）当y=0时，则有，求解即可得到点C的坐标，进而问题可求解．
【详解】解：（1）如图所示．

（2）解：依题意，抛物线的顶点B的坐标为（4，3），点A的坐标为（0，2），
设该抛物线的表达式为，
由抛物线过点A，有，
解得，
∴该抛物线的表达式为；
（3）解：令，得，
解得，（C在x正半轴，故舍去），
∴ 点C的坐标为（，0），
∴ ，
由，可得，
∴ 小明此次试投的成绩达到优秀．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是由题中信息得出抛物线的解析式．
26. 【答案】（1）；直线；
（2）；
（3）或．
【解析】
【分析】（1）令可得点A坐标，直接用对称轴的公式写出抛物线的对称轴；
（2）由当时，的最大值是3，可知抛物线开口向下，可知最大值是顶点纵坐标，最小值是在离对称轴比较远的时取到；
（3）分两种情况进行讨论：①当时，需满足：时的函数值小于时的函数值，②时，需满足：时的函数值大于时的函数值；分别列出不等式即可得到答案．
【小问1详解】
解：令得，
；
抛物线的对称轴为直线；
故点；抛物线的对称轴为直线．
【小问2详解】
解：，
抛物线开口向下，
对称轴是直线，在时，的最大值是3
当时，，
，
，
，
当时，y取最小值，
，
故当时，的最小值为．
【小问3详解】
解： 对于，，都有，分两种情况讨论：
①当时，需满足：时的函数值小于时的函数值，
，
解得：，
；
②时，需满足：时的函数值大于时的函数值，
，
解得：，
；
综上所述，若对于，，都有，则的取值的范围是或．
【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图像与性质，熟练地运用数形结合的思想方法与根据二次函数的性质列出不等式是解此题的关键．
27. 【答案】（1）证明见详解；
（2）；理由见详解．
【解析】
【分析】（1）过点D作于F，由直角三角形的性质得，，即得证；
（2）过点D作交的延长线于G，连接，先证，再证，得，再根据直角三角形的性质可得出结论．
【小问1详解】
证明：过点D作于F，如图1所示，
则，
，
，
是以为斜边的等腰直角三角形，，
，
；

【小问2详解】
解：，证明如下：
过点D作交的延长线于G，连接，如图2所示，
则，

即，
是以为斜边的等腰直角三角形，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，

又，
，
．

【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，直角三角形的性质等知识，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明是解此题的关键．
28. 【答案】（1）①OA′，图形见详解；②2；③ “转后距”为；（2）t的取值范围为t＜-5或0＜t＜2或．
【解析】
【分析】（1）①当时，记线段OA为图形M．图形M绕原点逆时针旋转90°得到图形即OA′．
②∵点C为图形N，求出OC=2最短距离；
③过点O作OF⊥AC于F，先证△OAC为等边三角形，OF⊥AC，根据勾股定理求出OF=即可；
（2）点，点，可求tan∠OPQ=，得出当点P在x轴负半轴时，∠OPQ=120°，当点P在x轴正半轴时，∠OPQ=60°，得出∠CAB=∠ABC=30°，分三种情况，当°，当点P在点B右边，PB=t-4，BD＞1，列不等式，解得，当点P在点B左边B′右边时，∠EPB=∠OPQ=60°，PB=2PE＞2×1即4-t＞2解得t＜2，当t=0时，OA′=2，A′Q=2-1=1，t＞0，当点P在B′左边，PB′＞1，OB′=OB=4，t＜-5即可．
【详解】解：（1）①当时，记线段OA为图形M．图形M绕原点逆时针旋转90°得到图形即OA′；
②∵点C为图形N，OC=2为图形M与图形N的“转后距”，
∴“转后距”为2，
故答案为2；
③线段AC为图形N，
过点O作OF⊥AC于F，
根据勾股定理OA=，AC=，
∴OA=AC=OC=2，
∴△OAC为等边三角形，
∵OF⊥AC，
∴AF=CF=1，
∴OF=，
∴“转后距”为；

（2）∵点，点，
∴tan∠OPQ=，
∴当点P在x轴负半轴时，∠OPQ=120°，当点P在x轴正半轴时，∠OPQ=60°，
∵CB=4-2=2=AC，∠ACO=60°，
∴∠CAB=∠ABC=30°，
分三种情况，
当°，当点P在点B右边，PB=t-4，BD＞1，
∴BPsin60＞1，
∴，
解得；

当点P在点B左边B′右边时，∠EPB=∠OPQ=60°，
∴∠OEB=180°-∠EPB-∠ABC=180°-60°-30°=90°，
∵PB=4-t，
∴PB=2PE＞2×1即4-t＞2，
解得t＜2，
当t=0时，点P与原点O重合，OA′=2，A′Q=2-1=1，
∴t＞0，
∴0＜t＜2；

当点P在B′左边，PB′＞1，OB′=OB=4，
∴t＜-5；

综合t的取值范围为t＜-5或0＜t＜2或．
【点睛】本题考查图形新定义，仔细阅读，熟悉新定义要点，图形旋转性质，最短距离，锐角三角函数，锐角三角函数值求角度，等边三角形判定与性质，勾股定理，掌握图形新定义，仔细阅读，熟悉新定义要点，图形旋转性质，最短距离，锐角三角函数，锐角三角函数值求角度，等边三角形判定与性质，勾股定理是解题关键．

28. 在平面直角坐标系xOy中，旋转角满足，对图形M与图形N给出如下定义：将图形M绕原点逆时针旋转得到图形．P为图形上任意一点，Q为图形N上的任意一点，称PQ长度的最小值为图形M与图形N的“转后距”．已知点，点，点．
（1）当时，记线段OA为图形M．
①画出图形；
②若点C为图形N，则“转后距”为______；
③若线段AC为图形N，求“转后距”；

（2）已知点，点，记线段AB为图形M，线段PQ为图形N，对任意旋转角，“转后距”大于1，直接写出t的取值范围．