2023年山东省菏泽市巨野县中考数学一模试卷（含解析）

2023年山东省菏泽市巨野县中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  截止月日，俄乌战争已造成多人死亡，这里的科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，由个相同正方体组合而成的几何体，它的俯视图是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  如图，，，平分，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

5.  如表是某超市上半年的月营业额单位：万元：

下列结论正确的是(    )

A. 平均数是 B. 中位数 C. 众数是 D. 方差是

6.  反比例函数，图象如图所示，点在图象上，连接交图象于点，则：的比为(    )

A. ： B. ： C. ： D. ：

7.  如图，中，直径与弦相交于点，连接，，过点的切线与的延长线交于点，若，则的度数等于(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，▱中，，，，动点沿匀速运动，运动过速度为，同时动点从点向点匀速运动，运动速度为，点到点时两点同时停止运动设点走过的路程为，的面积为，能大致刻画与的函数关系的图象是(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

9.  把多项式分解因式的结果为______．

10.  若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是          ．

11.  分式方程的解为______ ．

12.  如图，是圆的直径，点是延长线上的一点，点在圆上，且，，半径为，图中阴影部分的面积为______ ．

13.  如图，在中，以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以、为圆心，以相同长度为半径作弧，两弧相交于点，为射线上任意一点，过点作，交于点，连接，若．，则长度的最小值为______ ．

14.  如图，在平面直角坐标系中，，，点，，在直线上，点，，，在轴的正半轴上，若，，，，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在轴上，则第个等腰直角三角形顶点的横坐标为______．
 

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

15.  如图，一次函数与反比例函数的图象有公共点直线轴于点，与一次函数和反比例函数的图象分别交于点，．
求一次函数与反比例函数的解析式；
求的面积？

四、解答题（本大题共9小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：．

17.  本小题分
解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．
 

18.  本小题分
如图，在菱形中，，分别是和上的点，且求证：．

19.  本小题分
如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂长为，灯罩长为，底座厚度为，灯臂与底座构成的使用发现，光线最佳时灯罩与水平线所成的角为，此时灯罩顶端到桌面的高度是多少？结果精确到，参考数据：
 

20.  本小题分
直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为元的小商品进行直播销售，如果按每件元销售，每天可卖出件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低元，日销售量增加件．若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？

21.  本小题分
“校园安全”越来越受到人们的关注，我市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．根据图中信息回答下列问题：

接受问卷调查的学生共有______人，条形统计图中的值为______；
扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角的度数为______；
若该中学共有学生人，根据上述调查结果，可以估计出该学校学生中对校园安全知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数为______人；
若从对校园安全知识达到“非常了解”程度的名男生和名女生中随机抽取人参加校园安全知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到名男生和名女生的概率．

22.  本小题分
如图所示，是的直径，点为上一点，过点作，垂足为点，连结平分．
求证：为的切线．
若半径为，求的长．

23.  本小题分
已知，四边形是正方形，绕点旋转，，，连接，．
如图，求证：≌；
直线与相交于点．
如图，于点，于点，求证：四边形是正方形；
如图，连接，若，，直接写出在旋转的过程中，线段长度的最小值．
 

24.  本小题分
如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，且．
求点的坐标和此抛物线的解析式；
若点为第二象限抛物线上一动点，于点，是否存在点，使线段的长度最大若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
点在抛物线的对称轴上，若线段绕点逆时针旋转后，点的对应点恰好也落在此抛物线上，请直接写出点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是．
故选：．
利用相反数的定义判断．
本题考查了相反数，掌握相反数的定义是关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：选项A中的图形比较符合该组合体的俯视图，
故选：．
根据俯视图的意义进行判断即可．
本题考查计算组合体的三视图，理解视图的意义是正确判断的前提．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
平分，
，
，
，
故选：．
根据平行线的性质可得，再利用角平分线的定义可求出，然后利用平行线的性质，即可解答．
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：平均数为万元，故A不符合题意；
月营业额排好顺序为：，，，，，，故中位数为，故B符合题意；
出现次数最多的是，故众数为万元，故C不符合题意；
方差为：，故D不符合题意．
故选：．
直接根据平均数、众数、中位数及方差的定义判断即可．
本题主要考查统计的初步知识，熟练掌握平均数、众数、中位数及方差的定义是解答此题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的图象，根据三角形相似的性质得到是解题的关键．
作轴于，轴于，根据反比例函数系数的几何意义得到，，然后根据三角形相似的性质求得结论．
【解答】
解：作轴于，轴于，
点在图象上，连接交图象于点，
，，
，
，
，
，即，
故选：．  

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．
连接，根据切线的性质得到，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．
【解答】
解：连接，

是的切线，
，
由圆周角定理得，，
，
，
，
，
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：当时，
，
时，随着的增大而增大，函数图象的开口向上，是抛物线的一部分，故选项A、、D错误．
故选：．
分段函数，只要求出时的函数图象即可判断．
本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可．
本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提．
 

10.【答案】且 

【解析】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，

解得：且．
故答案为：且．
根据二次项系数非零以及根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
本题主要考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，根据二次项系数非零以及根的判别式，列出关于的一元一次不等式组是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：去分母得：，
移项合并得：，
解得：．
故答案为：．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
 

12.【答案】 

【解析】解：连接，

，，
，
，
，
，
，
，
，
由勾股定理得：，
阴影部分的面积
连接，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，求出，根据勾股定理求出，再分别求出和扇形的面积即可．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，直角三角形的性质，扇形的面积计算等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图：设交于点，过作于，过作于，

根据两点之间线段最短和垂线段最短，，
中，，
由作图得：平分，
，
又，
≌，
，
，，
，
∽，
，即：，
解得：，
故答案为：．
先根据角平分线的性质，垂线段最短及两点之间线段最短，找出的最小值，再根据相似三角形的性质求解．
本题考查了基本作图，找到最小值是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意得，
，
，，
，，，
，，，
的横坐标为．
故答案为．
先求出、、的坐标，探究规律后，即可根据规律解决问题．
本题考查规律型：点的坐标、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是从特殊到一般，探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．
 

15.【答案】解：将代入一次函数解析式得：，即，
一次函数解析式为；
将代入反比例解析式得：，
反比例解析式为；

，
点横坐标为，
将代入一次函数得：，将代入反比例解析式得：，
即，，到的距离为：，
则． 

【解析】将坐标代入一次函数解析式中求出的值，确定出一次函数解析式，将坐标代入反比例函数解析式中求出的值，即可确定出反比例解析式；
直接求出，的长，进而求出的长，即可求出的面积．
此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法求函数解析式，三角形，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
 

16.【答案】解：


． 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地化简各式是解题的关键．
 

17.【答案】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
 

【解析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
 

18.【答案】解：四边形是菱形，
，，
在和中，
，
≌，
，
． 

【解析】根据四边形是菱形得到，，从而证得≌，进一步得到，然后利用等边对等角证得结论即可．
考查了菱形的性质及全等三角形的判定与性质，解题的关键是利用证得三角形全等，难度不大．
 

19.【答案】解：由题意得：，过点作，，

灯罩长为，光线最佳时灯罩与水平线所成的角为，
，即为直角三角形，
，
在中，，
又，
四边形为矩形，
，
．
答：此时灯罩顶端到桌面的高度是． 

【解析】根据勾股定理，求出的长，的长，
这个题运用几何知识，和现实较为好的联系起来．
 

20.【答案】解：设每件售价应定为元，则每件的销售利润为元，日销售量为件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：每件售价应定为元． 

【解析】设每件售价应定为元，则每件的销售利润为元，日销售量为件，利用该种小商品的日销售利润每件的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

21.【答案】，


 由题意列树状图：


由树状图可知，所有等可能的结果有 种，恰好抽到名男生和名女生的结果有种，
恰好抽到名男生和名女生的概率为． 

【解析】

【分析】
此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
用“基本了解”的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，即可得到；
用乘以扇形统计图中“了解很少”部分所占的比例即可；
用总人数乘以达到“非常了解”和“基本了解”程度的人数所占的比例即可；
画树状图展示所有种等可能的结果数，找出恰好抽到个男生和个女生的结果数，然后利用概率公式求解．
【解答】
解：接受问卷调查的学生共有人，；
故答案为：，；
扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角的度数；
故答案为：；
该学校学生中对校园安全知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数为：人；
故答案为：；
见答案．  

22.【答案】证明：平分，
，
点在圆上，为半径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又为半径，
为圆的切线．
解：连接，

半径为，
，
是直径，
，
，
，
，
，，
∽，
，
． 

【解析】先利用平分得到，再证明，从而得到，然后根据切线的判定定理得到结论；
连接，由圆周角定理可得，由三角函数得，再根据相似三角形的判定与性质可得答案．
本题考查了解直角三角形和切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
 

23.【答案】证明：四边形是正方形，
，．
，．
，
，
在和中，

≌；

证明：如图中，设与相交于点．

，
．
≌，
．
，
．
，
，，
四边形是矩形，
．
四边形是正方形，
，．
．
又，
≌．
．
矩形是正方形；

解：作交于点，作于点，

此时≌．
．
，，
最大时，最小，．
．
由可知，是等腰直角三角形，
． 

【解析】根据证明三角形全等即可；
根据邻边相等的矩形是正方形证明即可；
作交于点，作于点，证明是等腰直角三角形，求出的最小值，可得结论．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
 

24.【答案】解：抛物线与轴交于点和点，
，
，
，
，
，
解得：，
所求抛物线解析式为：，；

存在．
理由：如图，连接，，过点作轴于点，设，
于点，当线段的长度最大时，的面积最大，
，，，



，
当时，最大，此时；

抛物线的对称轴为，点在抛物线的对称轴上，
设，
线段绕点逆时针旋转后，点的对应点恰好也落在此抛物线上，
当时，
，，
如图，过作对称轴于，设对称轴于轴交于点．
，
，
在与中，
，
≌，
，，
，
代入得：，
解得：，舍去，
当时，要使，由图可知点与点重合，
，
，
．
满足条件的点的坐标为或． 

【解析】已知抛物线过、两点，可将两点的坐标代入抛物线的解析式中，用待定系数法即可求出二次函数的解析式；
如图，连接，过点作轴于点，设，可得，，，根据，构建二次函数，利用二次函数的性质求解即可；
由在抛物线的对称轴上，设出坐标为，如图所示，过作对称轴于，由旋转的性质得到一对边相等，再由同角的余角相等得到一对角相等，根据一对直角相等，利用得到≌，由全等三角形的对应边相等得到，，表示出坐标，将坐标代入抛物线解析式中求出相应的值，即可确定出的坐标．
本题考查了全等三角形的判定与性质，待定系数法求二次函数，二次函数的性质，四边形的面积，综合性较强，难度适中．利用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．