2022-2023学年山西省运城实验中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年山西省运城实验中学八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  年月日，国家粮食和物资储备局发布消息称，全国累计收购秋粮超亿吨若用亿吨表示我国今年秋粮收购的数量，则满足的关系为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图为山西省第八次旅游发展大会的吉祥物“盐精灵”，下列由该图平移得到的是(    )

A.
B.
C.
D.

3.  若，则下列不等式成立的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  如图，正方形网格中的，若小方格边长为，则的形状为(    )

A. 直角三角形
B. 锐角三角形
C. 钝角三角形
D. 以上答案都不对

5.  一个不等式组的解集在数轴上表示如图，则这个不等式组可能是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  下列命题中，其逆命题是真命题的是(    )

A. 角平分线上的点到角两边的距离相等 B. 对顶角相等
C. 若，则 D. 若，，则

7.  春到人间，绿化争先为增强师生的环境保护意识，提升学生的劳动实践能力，某学校开展了以“建绿色校园，树绿色理想”为主题的植树活动，决定用不超过元购买甲、乙两种树苗共颗，已知甲种树苗每颗元，乙种树苗每颗元，则至少可以购买乙种树苗(    )

A. 颗 B. 颗 C. 颗 D. 颗

8.  如图，将绕点逆时针方向旋转，得到，若点在线段的延长线上，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，将等腰沿方向平移得到，，下列结论：；；；阴影部分的面积为其中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  请你写一个满足不等式的正整数的值______ ．

12.  在平面直角坐标系中，将点向左平移个单位，向上平移个单位后得到点，则点的坐标是______ ．

13.  如图，在中，，点是上的点，且，垂直平分，垂足是如果，则等于______ ．

14.  为庆祝中国共产党第二十次全国代表大会胜利召开，某中学举行了以二十大精神为主题的知识竞赛，一共有道题，答对一题得分，不答得分，答错一题倒扣分，璐璐有题没答，大赛组委会规定总得分不低于分获奖，璐璐要想获奖，最多只能错______ 道题．

15.  如图，在等腰中，，，腰的垂直平分线分别交，边于，点，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务．．
解：第一步第二步第三步第四步第五步
任务一：填空：以上解题过程中，第一步去分母的依据是______ ；
第______ 步开始出现错误，这一步错误的原因是______ ；
任务二：请直接写出该不等式的正确解集．
解不等式组：．

17.  本小题分
今年是“一带一路”倡议提出及建设开启的十周年十年来，我国与个国家、个国际组织签署了余份共建“一带一路”合作文件，在基础设施建设、能源建设、交通运输、脱贫等多个方面取得成果，为多个国家的合作发展带来好消息如图，北京与雅典、莫斯科建立了“一带一路”贸易合作关系，记北京为地，莫斯科为地，雅典为地，若想建一个货物中转仓，使其到，，三地的距离相等，那么如何选择中转仓的位置？请你用尺规作图设计出中转仓的位置，保留作图痕迹，不用说明理由，并描黑作图痕迹．

18.  本小题分
如图，是的高，，是上的一点，，的延长线交于点．
求证：≌；
若，，则的长为______ ．

19.  本小题分
正方形网格中网格中的每个小正方形边长是，的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题：
画出关于点成中心对称的图形；
将沿轴正方向平移个单位长度得到，画出；
若与绕点旋转重合，则点的坐标为______ ．

20.  本小题分
阅读与思考
下面是森森同学写的一篇数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．

以上证明过程中，依据是______ ．
请你参照日记中的第一种情况，写出其余两种情况的已知和求证，并选择其中一种进行证明．

21.  本小题分
国务院关于印发健身计划年的通知文件要求，加大全民健身场地设施供给，建立健全场馆运营管理机制，提升场馆使用效益某健身体验中心为答谢新老会员举行春日大回馈活动，特推出两种“春季唤醒计划”活动方案．
方案：顾客不购买会员卡，每次健身收费元．
方案：顾客购买会员卡，每张会员卡元，每张会员卡仅限本人使用一年，每次健身收费元．
设小宇一年来此健身体验中心健身的次数为次，使用方案的费用为元，使用方案的费用为元．
请直接写出，与之间的函数表达式；
小宇一年内前往该健身房训练的次数在什么范围时，选择方案所需费用更少？并说明理由．

22.  本小题分
综合与实践：
问题情境：在数学实践课上，老师让小组合作探究两个完全相同的含角的三角板拼图间存在的关系．
如图，≌，，，．

操作探究：
如图，当，，在同一条直线时，直线与直线的位置关系是______ ；
如图，将图中的三角板绕点顺时针旋转，边与边交于点，此时与的位置关系是______ ，判断此时的形状并证明；
如图，将图中的三角板绕着点顺时针旋转，边与边交于点，当是以为腰的等腰三角形时，求的长．

23.  本小题分
综合与探究：
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交、轴于点、，点在轴上，平分．
求点、的坐标；
求线段的长；
在平面直角坐标系中是否存在点，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
故选：．
根据不等式的定义解答即可．
本题考查了不等式，熟练掌握不等式的定义，理解题干中“超亿”即“大于亿”是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：平移只改变位置，不改变大小和方向，
四个选项中，只有选项C符合题意，
故选：．
根据平移只改变位置，不改变大小和方向进行求解即可．
本题主要考查了平移的特点，熟知平移只改变位置，不改变大小和方向是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，
，
故本选项不符合题意；
B、，
，
故本选项不符合题意；
C、，
，
故本选项符合题意；
D、，
，
故本选项不符合题意；
故选：．
根据不等式性质解题：不等式两边同时乘或除以同一个正数仍成立，不等式两边同时乘或除同一个不等于零的负数要改变不等号的方向．
本题考查了不等式的性质，属于简单题，熟悉不等式的性质是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：正方形小方格边长为，
，
，
，
在中，
，，
，
所以，
是直角三角形．
故选：．
根据勾股定理求得各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状．
考查了勾股定理的逆定理，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形的三边满足，则三角形是直角三角形．
 

5.【答案】 

【解析】解：由数轴上不等式组的解集可得，，
解不等式得，，
解不等式得，，
则这个不等式组可能是，
故选：．
首先由数轴得出不等式的解集，然后分别求解不等式和进而判断即可．
此题考查了解一元一次不等式组以及在数轴上的表示，解题的关键是熟练掌握解不等式组的方法．
 

6.【答案】 

【解析】解：角平分线上的点到角两边的距离相等的逆命题是到角两边距离相等的点在角平分线上，逆命题是真命题，符合题意；
B.对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题是假命题，不符合题意；
C.若，则的逆命题是若，则，逆命题是假命题，不符合题意；
D.若，，则的逆命题是若，则，，逆命题是假命题，不符合题意．
故选：．
分别写出原命题的逆命题，再判断真假即可．
本题考查了命题与定理的知识，正确写出一个命题的逆命题是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：设购买乙种树苗棵，则购买甲种树苗棵，
由题意得：，
解得：，
为正整数，
最小取，
故选：．
设购买乙种树苗棵，根据用不超过元购买甲、乙两种树苗共颗，列出不等式求解即可．
本题考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意找到不等量关系．
 

8.【答案】 

【解析】解：将绕点按逆时针方向旋转，得到，
，，，
，
，
，
故选：．
由旋转的性质可得，，，由等腰三角形的性质可得，即可求解．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：直线与直线交于点，
不等式解集为．
故选：．
根据函数图象交点左侧直线图象在直线图象的下面，即可得出不等式的解集．
此题主要考查了一次函数与不等式关系，利用数形结合得出不等式的解集是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：将沿方向平移得到，
，
，，
，，，，则，
，正确；
，
，正确；
，
，故正确；
阴影部分的面积的面积的面积
的面积的面积四边形的面积
故正确．
综上，正确的有．
故选：．
根据平移的性质一一判断即可．
本题考查了平移的性质，掌握平移的性质是解题的关键．平移的性质：对应线段平行或共线且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行且相等．
 

11.【答案】，，，，填一个即可 

【解析】解：移项得，，
合并同类项得，，
系数化为得，，
满足不等式的正整数的值为：，，，．
故答案为：，，，，填一个即可．
首先确定不等式的解集，然后再找出不等式的特殊解．
本题主要考查了解不等式，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键，解不等式应根据不等式的基本性质．另外应掌握正整数的概念．
 

12.【答案】 

【解析】解：将点向左平移个单位，向上平移个单位后得到点，
点的坐标是，
故答案为：．
根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案．
本题考查坐标的平移变换，解题的关键是要懂得横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
 

13.【答案】 

【解析】解：垂直平分，
，
，
，
，
，
，
在，，
设，
，
，则，
解得，
．
故答案为：．
求出，推出，在，设，根据含度角的直角三角形性质求出，根据勾股定理即可解答．
本题考查了垂直平分线性质，角平分线性质，含度角的直角三角形性质的应用，勾股定理，关键是求出．
 

14.【答案】 

【解析】解：设璐璐错道题，则答对了题，
根据题意得：，
解得：，
为正整数，
的最大值为．
故答案为：．
设璐璐错道题，则答对了题，根据题意列出不等式，解不等式即可．
本题考查了一元一次不等式的应用，根据题意列出不等式是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接，．

是等腰三角形，点是边的中点，
，
，
是线段的垂直平分线，
点关于直线的对称点为点，
的长为的最小值，
的周长最小值．
故答案为：．
连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故AD，再根据勾股定理求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故AD的长为的最小值，由此即可得出结论．
本题考查的是轴对称最短路线问题，等腰三角形的性质，勾股定理，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
 

16.【答案】不等式的性质  二  前面是负号，括号内第二个数据没有变号 

【解析】解：任务一：以上解题步骤中，第一步是去分母，去分母的依据是不等式的性质；
第二步出现错误，这一步错误表现为去括号时，第二项没有变号．
故答案为：不等式的性质；二，去括号时，前面是负号，括号内数据没有变号．
任务二：解：，
，
，
，
，
该不等式的正确解集是；
，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为．
去分母；去括号；移项；合并同类项；化系数为，依此即可求解；
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式和解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

17.【答案】解：如图，点即为所求．
 

【解析】作线段，的垂直平分线交于点，点即为所求．
本题考查作图应用与设计作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

18.【答案】 

【解析】证明：是的高，
，
在和中，
，
≌；

解：≌，
，，
，
，
，
，
的面积的面积的面积，
，
即，
解得：，
，
故答案为：．
利用即可证明≌；
利用全等三角形的性质以及勾股定理求得，，再证，然后由三角形面积关系求出，据此求解即可．
本题考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质以及三角形面积等知识；证明三角形全等是解题的关键．
 

19.【答案】 

【解析】如图为所作；
如图所示为所作．
解：分别连接、、交于点．
是由沿轴向上平移个单位长度得到，
绕点顺时针旋转到，
故答案为：．

根据中心对称图表的定义找到相对应的点即可得到；
将沿轴正方向平移个单位长度，即相对应的点轴不变，轴向上平移个单位，即可得到；
分别连接、、交于一点，即为点，即可求出点坐标．
本题考查了旋转中作图，熟练掌握中心对称、平移以及旋转的定义是解题的关键．
 

20.【答案】等角对等边 

【解析】解：．
．
依据是等角对等边；
故答案为：等角对等边；
第二种情况，已知：如图，是等腰三角形，是的平分线．
求证：．
理由：是等腰三角形，
．
是的平分线，
．
．
．
第三种情况，已知：如图，是等腰三角形，．
求证：是的平分线．
证明：，
．
是等腰三角形．
．
，
是的平分线．
根据角平分线、平行线和等腰三角形的性质和判定解题即可．
本题考查角平分线、平行线和等腰三角形的性质和判定．熟练掌握相关性质和定理是解题的关键．
 

21.【答案】解：根据题意得：，，
即，与之间的函数表达式分别为，；
当时，选择方案所需费用更少，
解，得，
答：小宇一年内前往该健身房训练的次数大于次时，选择方案所需费用更少． 

【解析】根据两种方案分别列出函数关系式，即可求解；
解不等式，即可求得的取值范围．
本题主要考查了列函数关系式，解不等式，明确题意，准确列出函数关系式是解题的关键．
 

22.【答案】垂直  平行 

【解析】解：如图，延长交于点，

，，
，
，
，
，
即直线与直线的位置关系是垂直；
故答案为：垂直；

由旋转的性质得，
，，，
，，
，是等边三角形，
故答案为：平行；

是以为腰的等腰三角形，
分以下两种情况：
当时，
在中，，，，
，，
；

当时，
，
，
，
，
；
综上，的长为或．
延长交于点，根据题意及对顶角相等求出，再利用三角形内角和求解即可；
由旋转的性质得，再计算求得，，即可求解；
是以为腰的等腰三角形，分以下两种情况：当时，当时，据此求解即可．
此题考查了三角形内角和定理、旋转的性质、等边三角形的判定，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握旋转的性质及清晰的分类讨论是解题的关键．
 

23.【答案】解：令，则，
解得；
令，则；
点的坐标为、的坐标为；
过点作于点，

点的坐标为、的坐标为，
，，，
平分，
，
，
≌，
，
设，则，，
，即，
解得，
；
如图，作轴于点，

由题意得，，
，
≌，
，，
点的坐标为；
同理，点的坐标为；点的坐标为；点的坐标为；
点的坐标为或或或． 

【解析】令，求得；令，求得；即可求解；
证明≌，设，则，，利用勾股定理列方程求解即可；
分四种情况讨论．如图，作轴于点，证明≌，可求点的坐标；其他也同样画出图形，作出辅助线，同法求解即可．
此题是一次函数综合题，主要考查了求一次函数图象与坐标轴的交点，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，掌握相关性质定理并利用分类讨论思想解题是关键．