2021北京重点校初三（上）期中数学汇编：圆章节综合2

2021北京重点校初三（上）期中数学汇编

圆章节综合2

一、单选题

1．（2021·北京四中九年级期中）⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为6，则直线l与⊙O的位置关系是（　　）

A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定

2．（2021·北京·北师大实验中学九年级期中）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（ ）

A．① B．② C．③ D．均不可能

3．（2021·北京·北师大实验中学九年级期中）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有这样一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆，径几何？”其意思是：“如图，今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？”此问题中，该内切圆的直径是（　　）

A．5步 B．6步 C．8步 D．10步

4．（2021·北京师大附中九年级期中）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝34°，那么∠BAD等于（　　）

A．34° B．46° C．56° D．66°

5．（2021·北京四中九年级期中）已知⊙O，如图，

（1）作⊙O的直径AB；

（2）以点A为圆心，AO长为半径画弧，交⊙O于C，D两点；

（3）连接CD交AB于点E，连接AC，BC．

根据以上作图过程及所作图形，有下面三个推断：①；②；③．其中正确的推断的个数是（       ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

6．（2021·北京·人大附中九年级期中）数学活动课上，同学们想测出一个残损轮子的半径，小宇的解决方案如下：如图，在轮子圆弧上任取两点A，B，连接AB，再作出AB的垂直平分线，交AB于C点，交弧AB于D点，测出AB，CD的长度，即可计算得出轮子的半径，现测出AB＝40cm，CD＝10cm，则轮子的半径为（     ）

A．50cm B．30cm C．25cm D．20cm

7．（2021·北京一七一中九年级期中）若一个扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的面积为（     ）

A． B． C． D．

8．（2021·北京四中九年级期中）如图，点A，B，C均在上，当时，的度数是（　　　）

A． B． C． D．

9．（2021·北京师大附中九年级期中）如图，OA交⊙O于点B，AD切⊙O于点D，点C在⊙O上．若∠A＝40°，则∠C为（　　）

A．20° B．25° C．30° D．35°

10．（2021·北京四中九年级期中）如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB＝43°，则∠AOB的度数是（　　）

A．83° B．84° C．86° D．87°

二、填空题

11．（2021·北京八十中九年级期中）排水管的截面为如图所示的⊙O，半径为5m，已知现在水面位于圆心O下方，且水面宽AB＝6m，如果水面上涨后，水面宽为8m，那么水面上涨了_____m．

12．（2021·北京四中九年级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，7），点B的坐标为（0，3），点C的坐标为（3，0），那么△ABC的外接圆的圆心坐标为____．

13．（2021·北京一七一中九年级期中）2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（π Day）．历史上求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔卡西的计算方法是：当正整数n充分大时，计算某个圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形各边均与圆相切的正6n边形的周长，再将它们的平均数作为2π的近似值．当n=1时，右图是⊙O及它的内接正六边形和外切正六边形．

（1）若⊙O的半径为1，则⊙O的内接正六边形的边长是_______；

（2）按照阿尔卡西的方法，计算n=1时π的近似值是_______．（结果保留两位小数）（参考数据：）

14．（2021·北京一七一中九年级期中）《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作之一．书中记载了一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容圆半径几何？”译文：“如图，今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的半径是多少步？”根据题意，该直角三角形内切圆的半径为____步．

15．（2021·北京·人大附中九年级期中）如图，AB是半圆O的直径，C、D点在半圆O上，若∠BOC＝80°，则∠BDC＝_______．

16．（2021·北京四中九年级期中）在半径为1cm的圆中，圆心角为120°的扇形的弧长是_____cm．

三、解答题

17．（2021·北京四中九年级期中）如图，内接于半圆，是直径，过作直线，使，

（1）求证：是半圆的切线；

（2）作弧的中点，连结交于，过作于，交于．（尺规作图，并保留作图痕迹），并求证：．

（3）若，，求．

18．（2021·北京八十中九年级期中）已知，如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为弧AC上一点，AE、DC的延长线相交于点F，

求证：∠AED=∠CEF

19．（2021·北京八十中九年级期中）如图，有一个圆形工具，请利用直尺和圆规，确定这个圆形工具的圆心．

20．（2021·北京八中九年级期中）已知四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB＝90°．

（Ⅰ）如图1，连接BD，若⊙O的半径为6，弧AD=弧AB，求AB的长；

（Ⅱ）如图2，连接AC，若AD＝5，AB＝3，对角线AC平分∠DAB，求AC的长．

21．（2021·北京·北师大实验中学九年级期中）下面是小融设计的“过直线外一点作圆与这条直线相切”的尺规作图过程．

已知：直线及直线外一点P（如图1）．

求作：⊙P，使它与直线相切．

作法：如图2，

①在直线上任取两点A，B；

②分别以点A，点B为圆心，AP，BP的长为半径画弧，两弧交于点Q；

③作直线PQ，交直线于点C；

④以点P为圆心，PC的长为半径画⊙P．

所以⊙P即为所求．

根据小融设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明．

证明：连接AP，AQ，BP，BQ．

∵AP＝        ，BP＝ ，

∴点A，点B在线段PQ的垂直平分线上．

∴直线AB是线段PQ的垂直平分线．

∵PQ⊥，PC是⊙P的半径，

∴⊙P与直线相切（             ）（填推理的依据）．

22．（2021·北京八中九年级期中）已知：如图，ABC为锐角三角形，AB=AC，CD∥AB．

求作：线段BP，使得点P在直线CD上，且∠ABP=．

作法：①以点A为圆心，AC长为半径画圆，交直线CD于C，P两点；②连接BP．线段BP就是所求作线段．

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明．

证明：∵CD∥AB，

∴∠ABP=       ．

∵AB=AC，

∴点B在⊙A上．

又∵∠BPC=∠BAC（ ）（填推理依据）

∴∠ABP=∠BAC

参考答案

1．C

【详解】

已知⊙O的半径为5，圆心O到直线L的距离为3，因5＞3，即d＜r，所以直线L与⊙O的位置关系是相交.故选C

2．A

【详解】

试题分析：第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．

故选A．

考点：垂径定理的应用

3．B

【详解】

勾股定理知，斜边是=17，利用切线长定理知，

半径==3，直径是6.故选B.

4．C

【分析】

由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ADB＝90°，又由∠ACD＝34°，可求得∠ABD的度数，再根据直角三角形的性质求出答案．

【详解】

解：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，

∵∠ACD＝34°，

∴∠ABD＝34°

∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝56°，

故选C．

【点睛】

此题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．

5．D

【分析】

①根据作图过程可得，根据垂径定理可判断；

②连接OC，根据作图过程可证得△AOC为等边三角形，由等边三角形的性质即可判断；

③根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半即可判断．

【详解】

解：①∵以点A为圆心，AO长为半径画弧，交⊙O于C，D两点，

∴，

根据垂径定理可知，AB⊥CE，CE=DE，

∴①正确；

②连接OC，∵AC=OA=OC，

∴△AOC为直角三角形，

∵AB⊥CE，

∴AE=OE，

∴BE=BO+OE=3AE，

∴②正确；

③∵AB为直径，

∴∠ACB=90°，

∵∠CAB=60°，

∴∠ABC=30°，

∴BC=2CE，

∴③正确，

故选：D．

【点睛】

本题考查了垂径定理、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质，理解基本作图知识，熟练掌握各基本性质和综合运用是解答的关键．

6．C

【分析】

由垂径定理可得出BC的长，连接，在中，可用半径表示出的长，进而可根据勾股定理求出轮子的半径即可．

【详解】

解：如图，设圆心为点，连接，

∵，AB＝40cm，

∴，，

∵CD＝10cm，

∴，

∵在中，，

∴，

解得：cm，

∴轮子的半径为25cm．

故选：C．

【点睛】

本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．

7．D

【分析】

根据扇形公式S扇形=，代入数据运算即可得出答案．

【详解】

解：由题意得，n=90°，R=6，

S扇形 =，

故选：D．

【点睛】

本题主要考查了扇形的面积计算，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握扇形的面积公式，另外要明白扇形公式中，每个字母所代表的含义．

8．C

【分析】

首先在优弧AC上取点D，连接AD，CD，首先求出∠AOC，然后由圆周角定理，求得∠ADC的度数，再由圆的内接四边形的性质，可求得∠B的度数．

【详解】

解：如图，在优弧AC上取点D，连接AD，CD，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA=40°，

∴∠AOC=180°-40°×2=100°，

∴∠ADC=∠AOC=50°，

∴∠B=180°-50°=130°，

故选C．

【点睛】

此题考查了圆周角定理以及圆的内接四边形的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．

9．B

【分析】

根据切线的性质得到∠ODA＝90°，根据直角三角形的性质求出∠DOA，根据圆周角定理计算即可．

【详解】

解：∵切于点

∴

∴

∵

∴

∴

故选：B

【点睛】

本题考查了切线的性质：圆心与切点的连线垂直切线、圆周角定理以及直角三角形两锐角互余的性质，结合图形认真推导即可得解．

10．C

【分析】

圆周角定理：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半，根据圆周角定理即可得出答案．

【详解】

解：∵∠ACB＝43°，

∴∠AOB＝2∠ACB＝86°，

故选：C．

【点睛】

本题考查的是圆周角定理，掌握圆周角定理求解圆心角或圆周角是解题的关键.

11．1或7．

【分析】

根据垂径定理和勾股定理即可得到结论．

【详解】

解：过O点作OC⊥AB，连接OB，如图所示：

∴AB＝2BC，

在Rt△OBC中，BC2+OC2＝OB2，

∵OB＝5m，BC＝3m，

∴OC＝＝＝4m，

∵MN∥AB，

∴OC⊥MN于D，

连接ON，

同理OD＝＝＝3，

∴CD＝1，

当MN与AB在圆心的两侧时，

CD＝3+4＝7，

故水面上涨了1m或7m，

故答案为1或7．

【点睛】

本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

12．(5，5)

【分析】

分别作出三角形任意两边的垂直平分线得到圆心的位置，进而得出答案．

【详解】

∵B(0，3)，C(3，0)，

∴在网格中，BC可以看作边长为3的正方形的对角线，

根据网格特征及正方形对角线互相垂直平分，分别作出AB、BC的垂直平分线，交于点E，则点E即为外接圆的圆心，如图所示，

∵A(0，7)，B(0，3)，

∴点E纵坐标为5，

∴由图可得，E(5，5)．

故答案为：(5，5)．

【点睛】

本题考查了坐标与图形，三角形的外接圆与外心，熟练掌握定义及性质是解题的关键．

13．     1     3.23

【分析】

（1）如图，根据正六边形的性质可证得△AOB为等边三角形，再根据等边三角形的性质即可求解；

（2）利用锐角三角函数分别计算出圆的内接正六边形的周长和外切正六边形的周长，再利用它们的算术平均数作为2π的近似数值即可解答．

【详解】

解：（1）如图，

∵该多边形为圆内接正六边形，

∴∠AOB=60°，

∵OA=OB=1，

∴△AOB为等边三角形，

∴AB=1，即则⊙O的内接正六边形的边长是1,

故答案为：1；

（2）如图，设圆的半径为1，

当n=1时，可得∠AOB=60°，∠BOC=30°，

则圆内接正六边形的边长为1，周长为6，

圆外切正六边形的边长为，周长为，

根据题意得：2π= ，

则π= ≈1.5+1.732=3.232≈3.23，

故答案为：3.23．

【点睛】

本题考查了圆周率π的近似值的计算、圆的内接和外切正多边形的性质、锐角三角函数解直角三角形，根据题意，结合图形，计算出单位圆内接正六边形和外切正六边形的边长是解答的关键．

14．

【分析】

连接，可知四边形为正方形，设半径为，根据切线长定理列方程求解即可．

【详解】

解：连接，如下图：

由题意可得：，

，

∴四边形为矩形，

又∵

∴矩形为正方形

设半径为，则

∴，

∴

解得

故答案为：

【点睛】

此题考查了勾股定理，切线长定理，正方形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．

15．

【分析】

连接，根据圆周角定理求得，进而根据圆的内接四边形对角互补，即可求得

【详解】

如图，连接,

故答案为：

【点睛】

本题考查了圆周角定理，圆的内接四边形对角互补，掌握以上知识是解题的关键．

16．

【详解】

知道半径，圆心角，直接代入弧长公式即可求得扇形的弧长：

17．（1）见解析；（2）见解析；（3）1

【分析】

（1）根据圆周角定理得到，再证明，然后根据切线的判定定理得到结论；

（2）作的垂直平分线交于点，利用基本作图作，利用圆周角定理得到，然后证明得到；

（3）连接交于，如图，根据垂径定理，利用点为的中点得到，，易得，接着证明得到，然后计算即可．

【详解】

解：（1）证明：为直径，

，

，

，

，

即，

，

是半圆的切线，

（2）证明：如图，

点为的中点，

，

，

，

，

，

，

；

（3）解：连接交于，如图，

点为的中点，

，，

，

在和中，

，

，

，

．

【点睛】

本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理、切线的判定与性质．

18．见解析

【分析】

连结AD，如图，根据垂径定理由CD⊥AB得到弧AC=弧AD，再根据圆周角定理得∠ADC=∠AED，然后根据圆内接四边形的性质得∠CEF=∠ADC，于是利用等量代换即可得到结论．

【详解】

证明：连结AD，如图，

∵CD⊥AB，

∴弧AC=弧AD，

∴∠ADC=∠AED，

∵∠CEF=∠ADC，

∴∠AED=∠CEF．

【点睛】

本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和圆内接四边形的性质．

19．作图见解析.

【分析】

在圆中任意作两条弦，分别作这两条弦的垂直平分线，根据垂径定理可得两条垂直平分线的交点即为圆心.

【详解】

如图，在圆中任意作两条弦，分别作这两条弦的垂直平分线，交点为O，由垂径定理得：点O即为圆心．

【点睛】

本题考查垂径定理的推论，弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧，熟练掌握垂径定理及推论是解题关键.

20．（Ⅰ）6；（Ⅱ）4

【分析】

（Ⅰ）如图1，先利用圆周角定理得到BD为直径，即BD＝12，再证明△ABD为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形求出AB；

（Ⅱ）如图2，连接BD，作BH⊥AC于H，先利用圆周角定理得到BD为直径，利用勾股定理计算出BD＝，再证明△CDB为等腰直角三角形得到BC＝BD＝，接着在Rt△ABH中计算出AH＝BH＝，然后在Rt△BCH中计算出CH＝，从而得到AC的长．

【详解】

解：（Ⅰ）如图1，

∵∠DAB＝90°，

∴BD为直径，即BD＝12，

∵，

∴AD＝AB，

∴△ABD为等腰直角三角形，

∴AB＝BD＝6；

（Ⅱ）如图2，连接BD，作BH⊥AC于H，

∵∠DAB＝90°，

∴BD为直径，BD＝＝，

∴∠BCD＝90°，

∵AC平分∠DAB，

∴∠BAC＝∠BAC＝45°，

∴∠CBD＝∠BDC＝45°，

∴△CDB为等腰直角三角形，

∴BC＝BD＝×＝，

在Rt△ABH中，AH＝BH＝AB＝，

在Rt△BCH中，CH＝＝，

∴AC＝AH+CH＝＝4．

【点睛】

此题考查的是圆周角定理、等腰直角三角形的判定及性质和勾股定理，掌握90°的圆周角所对的弦是直径、等腰直角三角形的判定及性质和利用勾股定理解直角三角形是解决此题的关键.

21．（1）见解析；（2）AQ；BQ；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

【分析】

（1）按照题目要求作图即可；

（2）根据垂直平分线的性质和切线的判定填写即可．

【详解】

（1）如图所示，

；

（2）证明：连接AP，AQ，BP，BQ．

∵AP＝AQ，BP＝BQ ，

∴点A，点B在线段PQ的垂直平分线上．

∴直线AB是线段PQ的垂直平分线．

∵PQ⊥，PC是⊙P的半径，

∴⊙P与直线相切（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）．

故答案为：AQ；BQ；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

【点睛】

本题考查了尺规作图，垂直平分线的判定和性质，圆的性质，切线的判定，掌握知识点并且灵活运用是解题关键．

22．（1）见解析；（2）∠BPC，在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半

【分析】

（1）按照作法的提示，逐步作图即可；

（2）利用平行线的性质证明： 再利用圆的性质得到：∠BPC=∠BAC，从而可得答案．

【详解】

解：（1）依据作图提示作图如下：

（2）证明：∵CD∥AB，

∴∠ABP=      ．

∵AB=AC，

∴点B在⊙A上．

又∵∠BPC=∠BAC（在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半． ）（填推理依据）

∴∠ABP=∠BAC

故答案为：∠BPC；在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．

【点睛】

本题考查的是作图中复杂作图，同时考查了平行线的性质，圆的基本性质：在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．掌握以上知识是解题的关键．