2012-2021高考真题分类汇编及详解——导数解答题

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    导数大题2022年题组1.（甲卷）已知函数．（1）若,求的取值范围；（2）证明：若有两个零点，，则．【答案】（1）；（2）见证明；【解析】（1）定义域为，令，所以时，单调递减；时，单调递增；，要使得恒成立即满足：.（2）由（1）知要使得有两个零点，则假设.要证明即证明，又由于在单增，即证明.下面构造函数由于，又函数在单减，.    时在单调递增，而   得证．2.（乙卷）已知函数（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】(1),所以在点处的切线方程为;(2).(I)当时，当时，成立，所以在单调递增，且，故时，无零点，舍去。(II)当时,当时,，由题意可知，必有，即.(i)当时, ，令，当时，，故，故，单调递增，在无零点，舍去。(ii)当时，，令，①当时，，单调递增，且，，故，使得，当时，，，单调递减；时，，，单调递增；又，且当时,，此时在上有一个零点；②当时，，由单调递增，且，，故，使得，当时，，单调递减，时，，单调递增；又，，故，使得，当时，，，单调递增，时，，，单调递减；又，且当时,，此时在上有一个零点；综上，3.（新高考1卷） 已知函数和有相同的最小值.（1）求；（2）证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.【解析】（1），①时，恒成立，所以在上单调递增，即没有最小值.该类情况应舍去.②时，在上小于0，在上大于0，所以在上单调递减，在上单调递增，所以在处有最小值为，所以在上小于0，在上大于0，所以在上单调递减，在上单调递增，所以在处有最小值为，因为和有相同的最小值.所以有，即因为，所以上式等价于，令，则恒成立，所以在上单调递增又因为且，所以.（2）证明：由（1），，且在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且.①时，此时，显然与两条曲线和共有0个交点，不符合题意；②时，此时，与两条曲线和共有2个交点，交点的横坐标分别为0和1；③时，首先，证明与曲线有2个交点：即证明有2个零点，，所以在上单调递减，在上单调递增，又因为，，，（令，则，）所以明在上存在且只存在1个零点，设为，在上存在且只存在1个零点，设为.其次，证明与曲线和有2个交点：即证明有2个零点，，所以在上单调递减，在上单调递增，又因为，，，（令，则，）所以在上存在且只存在1个零点，设为，在上存在且只存在1个零点，设为.再次，证明存在使得：因为，所以，若，则，即，所以只需证明在上有解即可，即在上有零点，因为，，所以在上存在零点，取一零点为，令即可，此时取则此时存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点最后证明，即从左到右的三个交点的横坐标成等差数列：因为，所以，又因为在上单调递减，，即，所以同理，因为，又因为在上单调递增，即，，所以，又因为，所以，即直线，与两条曲线和从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.4.（新高考2卷）已知函数．（1）当时，讨论的单调性；（2）当时，，求的取值范围；（3）设，证明：．【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析．【解析】（1）当时，单调递减；当时，单调递增．（2）令对恒成立又令则①   若，即，所以，使得当时，有单调递增，矛盾②   若，即时，在上单调递减，，符合题意．综上所述，实数的取值范围是．（3）求导易得令 即，证毕  2012-2021年题组1．(2021年高考全国甲卷理科)已知且，函数．(1)当时，求的单调区间；(2)若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围．2．(2021年高考全国乙卷理科)设函数，已知是函数的极值点．(1)求a；(2)设函数．证明:．3．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)已知函数．(1)当a=1时，讨论f(x)的单调性；(2)当x≥0时，f(x)≥x3+1，求a的取值范围．4．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)已知函数f(x)=sin2xsin2x．(1)讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；(2)证明：；(3)设n∈N*，证明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤5．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)设函数，曲线在点(，f())处的切线与y轴垂直．(1)求b．(2)若有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1．6．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知函数．(1)讨论的单调性；(2)是否存在，使得在区间最小值为且最大值为1？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由．7．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)已知函数．讨论的单调性，并证明有且仅有两个零点；设是的一个零点，证明曲线在点处的切线也是曲线的切线．8．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)已知函数，为的导数．证明：(1)在区间存在唯一极大值点；(2)有且仅有2个零点．9．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)已知函数．(1)若，证明：当时，，当时，；(2)若是的极大值点，求．10．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)(12分)已知函数．(1)若，证明：当时，；(2)若在只有一个零点，求．(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。11．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)(12分)已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若存在两个极值点，证明：．12．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)已知函数．(1)讨论的单调性;(2)若有两个零点,求的取值范围．(二)选考题:共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做,则按所做的第一题计分．13．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)(12分)已知函数．(1)若，求的值；(2)设为整数，且对于任意正整数，，求的最小值．14．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科)(12分)已知函数且．(1)求 ；(2)证明：存在唯一的极大值点，且．15．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)设函数,其中,记的最大值为.(Ⅰ)求;(Ⅱ)求;(Ⅲ)证明.16．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科)(本小题满分12分)(I)讨论函数 的单调性，并证明当时，； (II)证明：当 时，函数 有最小值．设的最小值为，求函数的值域．17．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)(本小题满分12分)已知函数有两个零点．(I)求a的取值范围；(II)设是的两个零点，证明：．18．(2015高考数学新课标2理科)(本题满分12分)设函数．(Ⅰ)证明：在单调递减，在单调递增；(Ⅱ)若对于任意，都有，求的取值范围．19．(2015高考数学新课标1理科)(本小题满分12分)已知函数 (Ⅰ)当为何值时，轴为曲线 的切线；(Ⅱ)用 表示中的最小值，设函数 ，讨论零点的个数．20．(2014高考数学课标2理科)(本小题满分12分)已知函数=．(Ⅰ)讨论的单调性；(Ⅱ)设，当时，, 求的最大值；(Ⅲ)已知，估计ln2的近似值(精确到0．001)21．(2014高考数学课标1理科)设函数,曲线在点处的切线．(1)求; (2)证明:．22．(2013高考数学新课标2理科)已知函数．(1)设是的极值点，求，并讨论的单调性；(2)当时，证明．23．(2013高考数学新课标1理科)已知函数＝，＝，若曲线和曲线都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线(Ⅰ)求，，，的值(Ⅱ)若≥－2时，≤，求的取值范围。24．(2012高考数学新课标理科)已知函数满足满足．(1)求的解析式及单调区间；(2)若，求的最大值．