2023年甘肃省陇南市西和县中考数学一模试卷(含答案)

2023年甘肃省陇南市西和县中考数学一模试卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项.

1．（3分）下列各数中，是负数的是（　　）

A．﹣（﹣2） B．（﹣1）2023 C．|﹣12| D．（﹣5）2

2．（3分）8点30分，时针与分针所夹的小于平角的角为（　　）

A．55° B．60° C．75° D．80°

3．（3分）一元一次不等式2x﹣1≥3的解为（　　）

A．x≥0 B．x≥1 C．x≥2 D．x≥3

4．（3分）用公式法解方程x2﹣4x﹣11＝0时，Δ＝（　　）

A．﹣43 B．﹣28 C．45 D．60

5．（3分）已知△ABC∽△DEF，且∠A＝30°，∠E＝30°，则∠C的度数是（　　）

A．120° B．60° C．90° D．30°

6．（3分）制鞋厂准备生产一批男皮鞋，经抽样（120名中年男子），得知所需鞋号和人数如下：

并求出鞋号的中位数是25.5cm，众数是26cm，平均数约是25.5cm，下列说法正确的是（　　）

A．因为需要鞋号为27cm的人数太少，所以鞋号为27cm的鞋可以不生产 

B．因为平均数约是25.5cm，所以这批男鞋可以一律按25.5cm的鞋生产 

C．因为中位数是25.5cm，所以25.5cm的鞋的生产量应占首位 

D．因为众数是26cm，所以26cm的鞋的生产量应占首位

7．（3分）在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同、天下一家”的主题，让世界观众感受到中国人的浪漫，如图，将“雪花”图案（边长为4的正六边形ABCDEF）放在平面直角坐标系中，“雪花”中心与原点重合，C，F在y轴上，则顶点B的坐标为（　　）

A．（4，2） B．（4，4） C． D．

8．（3分）“五一”节期间，几名同学在老师组织下包租一辆旅游中巴车前往七星关鸡鸣三省红色景区游览，租价为180元，出发时因特殊原因两名同学不能前往，结果每个同学比原来多摊了3元车费，设实际参加游览的同学共有x人，则所列方程为（　　）

A．＝3 B．＝3 

C．＝3 D．＝3

9．（3分）道路施工部门在铺设如图所示的管道时，需要先按照其中心线计算长度后再备料．图中的管道中心线的长为（单位：m）（　　）

A． B． C． D．

10．（3分）如图（1），▱ABCD中，AB＝3，BD⊥AB，动点F从点A出发，沿折线ADB以每秒1个单位长度的速度运动到点B．图（2）是点F运动时，△FBC的面积y随时间x变化的图象，则m的值为（　　）

A．6 B．10 C．12 D．20

二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.

11．（4分）计算：＝　                　．

12．（4分）因式分解：a2﹣6a+9＝　         　．

13．（4分）直线y＝kx+b经过点A（0，﹣4），且与坐标轴围成的三角形面积为4，则k＝　     　．

14．（4分）如图矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E，F，AB＝3，BC＝4，则图中阴影部分的面积为　   　．

15．（4分）如图，点A、B、C在⊙O上，且AC∥OB，若∠BOC＝42°，则∠AOC的度数为 　     　°．

16．（4分）如图，四边形ABCD是菱形，AC与BD相交于点O，添加一个条件：　                  　，可使它成为正方形．

17．（4分）有一个抛物线型蔬菜大棚，将其截面放在如图所示的平面直角坐标系中，抛物线可以用函数来表示，已知OK＝8米．若借助横梁ST（ST∥OK）建一个门，要求门的高度为1.5米，则横梁ST的长度是 　              　米．

18．（4分）如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，△BCE沿BE折叠得到对应的△BFE，且点C的对应点F落在AD上．若tan∠DFE＝，BC＝3，则CE＝　   　．

三、解答题：本大题共5小题，共38分.解答时，应写出必要的文字说明，证明过程或

19．（6分）计算：．

20．（6分）化简：．

21．（8分）在△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°．点M在BC的延长线上，∠ABC的平分线交AC于点D．∠MCA的平分线与射线BD交于点E．

（1）依题意补全图形；用尺规作图法作∠MCA的平分线；

（2）求∠BEC的度数．

22．（8分）某建筑工地的平衡力矩塔吊如图所示，在配重点E处测得塔帽A的仰角为30°，在点E的正下方23米处的点D处测得塔帽A的仰角为53°，请你依据相关数据计算塔帽与地面的距离AC的高度（计算结果精确到1米）．

参考数据：，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，．

23．（10分）某校为丰富课后活动，实现“多彩校园，出彩少年”的教育目标，创建了“诗词雅颂”、“民乐风韵”、“武术雄姿”、“围旗圣手”四个社团（依次记为A、B、C、D）．小华和小莉两名同学报名参加社团，一人只能参加一个社团．

（1）小华参加“诗词雅颂”社团的概率是 　                　；

（2）请用列表法或画树状图的方法，求小华和小莉两名同学参加同一社团的概率．

四、解答题：本大题共5小题，共50分.解答时，应写出必要的文字说明，证明过程或

24．（8分）“春节”是我国最重要的传统佳节，民间历来有除夕夜吃饺子的习俗．我市某食品厂为了解市民对今年销售的四种口味的饺子（A什锦馅饺子，B素菜馅饺子，C羊肉馅饺子，D牛肉馅饺子）的喜爱情况，在节后对某居民区进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）．

请根据以上信息回答：

（1）本次参加抽样调查的居民有 　      　人；

（2）将两幅不完整的统计图补充完整；

（3）该居民区共有常住居民约60000人，那么估计有多少人喜欢羊肉馅饺子？

25．（10分）如图，在直角坐标系xOy中，反比例函数图象与直线y＝2x相交于点A，且点A的横坐标为2．点B在该反比例函数的图象上，且点B的纵坐标为1，连接AB．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）求∠OAB的度数．

26．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，过O作OD⊥AC于点E，延长OE至点D，连结CD，使∠D＝∠A．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若AB＝CD＝2，求AC的长．

27．（10分）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且DE⊥AF．

（1）求证：DE＝AF．

【迁移应用】

（2）如图2，在矩形ABCD中，AD＝kAB（k为常数），点E，F，G，H分别在矩形ABCD的边上，且EG⊥FH，求证：EG＝kFH．

28．（12分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）已知点P（m，n）在抛物线上，当﹣1≤m＜3时，直接写出n的取值范围；

（3）抛物线的对称轴与x轴交于点M，点D坐标为（2，3），试问在该抛物线上是否存在点P，使△ABP与△ABD全等？若存在，请求出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．

2023年甘肃省陇南市西和县中考数学一模试卷

（参考答案）

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项.

1．（3分）下列各数中，是负数的是（　　）

A．﹣（﹣2） B．（﹣1）2023 C．|﹣12| D．（﹣5）2

【解答】解：A、﹣（﹣2）＝2，是正数，不符合题意；

B、（﹣1）2023＝﹣1，是负数，符合题意；

C、|﹣12|＝1，是正数，不符合题意；

D、（﹣5）2＝25，是正数，不符合题意；

故选：B．

2．（3分）8点30分，时针与分针所夹的小于平角的角为（　　）

A．55° B．60° C．75° D．80°

【解答】解：由题意知，2.5×30°＝75°，

∴8点30分，时针与分针所夹的小于平角的角为75°，

故选：C．

3．（3分）一元一次不等式2x﹣1≥3的解为（　　）

A．x≥0 B．x≥1 C．x≥2 D．x≥3

【解答】解：2x﹣1≥3，

2x≥3+1，

2x≥4，

x≥2，

故选：C．

4．（3分）用公式法解方程x2﹣4x﹣11＝0时，Δ＝（　　）

A．﹣43 B．﹣28 C．45 D．60

【解答】解：x2﹣4x﹣11＝0，

∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣11，

∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣11）＝60．

故选：D．

5．（3分）已知△ABC∽△DEF，且∠A＝30°，∠E＝30°，则∠C的度数是（　　）

A．120° B．60° C．90° D．30°

【解答】解：∵△ABC∽△DEF，∠E＝30°，

∴∠ABC＝∠E＝30°，

∵∠A＝30°，

∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠ABC＝120°．

故选：A．

6．（3分）制鞋厂准备生产一批男皮鞋，经抽样（120名中年男子），得知所需鞋号和人数如下：

并求出鞋号的中位数是25.5cm，众数是26cm，平均数约是25.5cm，下列说法正确的是（　　）

A．因为需要鞋号为27cm的人数太少，所以鞋号为27cm的鞋可以不生产 

B．因为平均数约是25.5cm，所以这批男鞋可以一律按25.5cm的鞋生产 

C．因为中位数是25.5cm，所以25.5cm的鞋的生产量应占首位 

D．因为众数是26cm，所以26cm的鞋的生产量应占首位

【解答】解：因为需要鞋号为27cm的人数太少，所以鞋号为27cm的鞋可以少生产，故选项A不符合题意；

因为平均数约是25.5cm，所以这批男鞋可以一律按25.5cm的鞋生产是不合理的，其他号码的人就买到鞋子了，故选项B不符合题意；

因为中位数是25.5cm，所以25.5cm的鞋的生产量应占首位是不合理的，关键要看众数，表格中的众数是26cm的，故选项C不符合题意，选项D符合题意；

故选：D．

7．（3分）在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同、天下一家”的主题，让世界观众感受到中国人的浪漫，如图，将“雪花”图案（边长为4的正六边形ABCDEF）放在平面直角坐标系中，“雪花”中心与原点重合，C，F在y轴上，则顶点B的坐标为（　　）

A．（4，2） B．（4，4） C． D．

【解答】解：连接OB，OA，如图所示：

∵正六边形是轴对称图形，中心与坐标原点重合，

∴△AOB是等边三角形，AO＝BO＝AB＝4，AB⊥x轴，AM＝BM，

∵AB＝4，

∴AM＝BM＝2，

∴OM＝，

∴点B的坐标为：（2，2），

故选：C．

8．（3分）“五一”节期间，几名同学在老师组织下包租一辆旅游中巴车前往七星关鸡鸣三省红色景区游览，租价为180元，出发时因特殊原因两名同学不能前往，结果每个同学比原来多摊了3元车费，设实际参加游览的同学共有x人，则所列方程为（　　）

A．＝3 B．＝3 

C．＝3 D．＝3

【解答】解：设实际参加游览的同学共x人，

根据题意得：＝3．

故选：A．

9．（3分）道路施工部门在铺设如图所示的管道时，需要先按照其中心线计算长度后再备料．图中的管道中心线的长为（单位：m）（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：图中的管道中心线的长为＝（m），

故选：B．

10．（3分）如图（1），▱ABCD中，AB＝3，BD⊥AB，动点F从点A出发，沿折线ADB以每秒1个单位长度的速度运动到点B．图（2）是点F运动时，△FBC的面积y随时间x变化的图象，则m的值为（　　）

A．6 B．10 C．12 D．20

【解答】解：由图可知，AD＝a，AD+BD＝9，

则BD＝9﹣a，

由BD⊥AB，可得△ABD是直角三角形，

由勾股定理可得：AD2＝BD2+AB2，

即a2＝（9﹣a）2+32，

解得a＝5，

即AD＝5，

所以BD＝4，

所以m＝S△BDC＝＝6．

故选：A．

二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.

11．（4分）计算：＝　　．

【解答】解：＝＝．

故答案为：．

12．（4分）因式分解：a2﹣6a+9＝　（a﹣3）2　．

【解答】解：a2﹣6a+9＝（a﹣3）2．

13．（4分）直线y＝kx+b经过点A（0，﹣4），且与坐标轴围成的三角形面积为4，则k＝　±2　．

【解答】解：如图：直线y＝kx+b与y轴交于点A（0，﹣4），

∴b＝﹣4，OA＝4，

∴y＝kx﹣4，

当y＝0时，即kx﹣4＝0，

解得x＝，

∵直线y＝kx﹣4与x轴交于点，|，直线y＝kx﹣4与坐标轴围成的三角形面积为4，

∴S△AOB＝OB•OA＝4，

即|＝4，

解得|k|＝2，

即k＝±2，

故答案为：±2．

14．（4分）如图矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E，F，AB＝3，BC＝4，则图中阴影部分的面积为　6　．

【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，

∴OA＝OC，∠AEO＝∠CFO；

又∵∠AOE＝∠COF，

在△AOE和△COF中，

，

∴△AOE≌△COF，得S△AOE＝S△COF，

∴S阴影＝S△AOE+S△BOF+S△COD＝S△AOE+S△BOF+S△COD＝S△BCD；

∵S△BCD＝BC•CD＝6，故S阴影＝6．

故答案为6．

15．（4分）如图，点A、B、C在⊙O上，且AC∥OB，若∠BOC＝42°，则∠AOC的度数为 　96　°．

【解答】解：∵AC∥OB，

∴∠C＝∠BOC＝42°，

∵OA＝OC，

∴∠A＝∠C＝42°，

∴∠AOC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣42°﹣42°＝96°，

故答案为：96．

16．（4分）如图，四边形ABCD是菱形，AC与BD相交于点O，添加一个条件：　∠BAD＝90°（答案不唯一）　，可使它成为正方形．

【解答】解：由于四边形ABCD是菱形，

如果∠BAD＝90°，

那么四边形ABCD是正方形．

故答案为：∠BAD＝90°．

17．（4分）有一个抛物线型蔬菜大棚，将其截面放在如图所示的平面直角坐标系中，抛物线可以用函数来表示，已知OK＝8米．若借助横梁ST（ST∥OK）建一个门，要求门的高度为1.5米，则横梁ST的长度是 　4　米．

【解答】解：由题意可得，抛物线经过K（8，0），

将（8，0）代入，

∴﹣×82+8b＝0，

解得b＝，

∴抛物线的函数关系式为y＝﹣x2+x．

由题意可得当y＝1.5时，

1.5＝﹣x2+x，

解得x1＝4+2，x2＝4﹣2，

∴ST＝x1﹣x2＝4+2﹣（4﹣2）＝4（米）．

则横梁ST的长度是4米．

故答案为：4．

18．（4分）如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，△BCE沿BE折叠得到对应的△BFE，且点C的对应点F落在AD上．若tan∠DFE＝，BC＝3，则CE＝　2　．

【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC＝3，

∴∠ABF+∠AFB＝90°，

由折叠的性质，可得：∠BFE＝∠C＝90°，BF＝BC＝3，CE＝EF，

∴∠AFB+∠DFE＝90°，

∴∠ABF＝∠DFE，

∵tan∠DFE＝，

∴sin∠ABF＝，cos∠ABF＝，

∴在Rt△ABF中，AF＝BF•sin∠ABF＝3×＝，AB＝BF•cos∠ABF＝3×＝，

∴DF＝AD﹣AF＝3﹣＝，

∴CE＝EF＝＝×＝2．

故答案为：2．

三、解答题：本大题共5小题，共38分.解答时，应写出必要的文字说明，证明过程或

19．（6分）计算：．

【解答】解：原式＝1﹣3+2+9

＝9．

20．（6分）化简：．

【解答】解：原式＝

＝

＝

＝

＝•

＝．

21．（8分）在△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°．点M在BC的延长线上，∠ABC的平分线交AC于点D．∠MCA的平分线与射线BD交于点E．

（1）依题意补全图形；用尺规作图法作∠MCA的平分线；

（2）求∠BEC的度数．

【解答】解：（1）如图，CE即为所求；

（2）∵AB＝AC，∠A＝100°，

∴∠ACB＝∠ABC＝40°，

∵BD是∠ABC的平分线，

∴∠ABD＝∠CBD＝20°，

∵∠ACM＝180°﹣40°＝140°，CE是∠MCA的平分线，

∴∠MCE＝∠DCE＝70°，

∴∠BEC＝∠MCE﹣∠CBD＝70°﹣20°＝50°．

22．（8分）某建筑工地的平衡力矩塔吊如图所示，在配重点E处测得塔帽A的仰角为30°，在点E的正下方23米处的点D处测得塔帽A的仰角为53°，请你依据相关数据计算塔帽与地面的距离AC的高度（计算结果精确到1米）．

参考数据：，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，．

【解答】解：由题意得：EB⊥AC，DC⊥AC，BE＝CD，BC＝23米，

设BE＝CD＝x米，

在Rt△ABE中，∠AEB＝30°，

∴AB＝BE•tan30°≈x（米），

∴AC＝AB+BC＝（x+23）米，

在Rt△ACD中，∠ADC＝53°，

∴AC＝CD•tan53°≈x（米），

∴x＝x+23，

解得：x＝，

∴AC＝x≈41（米），

∴塔帽与地面的距离AC的高度约为41米．

23．（10分）某校为丰富课后活动，实现“多彩校园，出彩少年”的教育目标，创建了“诗词雅颂”、“民乐风韵”、“武术雄姿”、“围旗圣手”四个社团（依次记为A、B、C、D）．小华和小莉两名同学报名参加社团，一人只能参加一个社团．

（1）小华参加“诗词雅颂”社团的概率是 　　；

（2）请用列表法或画树状图的方法，求小华和小莉两名同学参加同一社团的概率．

【解答】解：（1）小华参加“诗词雅颂”社团的概率是，

故答案为：；

（2）画树状图如下：

共有16种等可能的结果，其中小华和小莉两名同学参加同一社团的结果有4种，

∴小华和小莉两名同学参加同一社团的概率为＝．

四、解答题：本大题共5小题，共50分.解答时，应写出必要的文字说明，证明过程或

24．（8分）“春节”是我国最重要的传统佳节，民间历来有除夕夜吃饺子的习俗．我市某食品厂为了解市民对今年销售的四种口味的饺子（A什锦馅饺子，B素菜馅饺子，C羊肉馅饺子，D牛肉馅饺子）的喜爱情况，在节后对某居民区进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）．

请根据以上信息回答：

（1）本次参加抽样调查的居民有 　600　人；

（2）将两幅不完整的统计图补充完整；

（3）该居民区共有常住居民约60000人，那么估计有多少人喜欢羊肉馅饺子？

【解答】解：（1）本次参加抽样调查的居民人数是60÷10%＝600（人），

故答案为：600；

（2）A组所对应的百分比是，

C组的人数是600﹣180﹣60﹣240＝120，所占的百分比是，

将两幅不完整的统计图补充完整如下：

（3）60000×20%＝12000（人）

答：估计有12000人喜欢羊肉馅饺子．

25．（10分）如图，在直角坐标系xOy中，反比例函数图象与直线y＝2x相交于点A，且点A的横坐标为2．点B在该反比例函数的图象上，且点B的纵坐标为1，连接AB．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）求∠OAB的度数．

【解答】解：（1）在y＝2x中，令x＝2得y＝4，

∴A（2，4），

设反比例函数的解析式为y＝，将A（2，4）代入得：

4＝，

∴k＝8，

∴反比例函数的解析式为y＝；

（2）连接OB，如图：

∵点B在反比例函数y＝的图象上，且点B的纵坐标为1，

∴B（8，1），

∵A（2，4），

∴OA2＝（2﹣0）2+（4﹣0）2＝20，AB2＝（8﹣2）2+（1﹣4）2＝45，OB2＝（8﹣0）2+（1﹣0）2＝65，

∴OA2+AB2＝65＝OB2，

∴∠OAB＝90°．

26．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，过O作OD⊥AC于点E，延长OE至点D，连结CD，使∠D＝∠A．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若AB＝CD＝2，求AC的长．

【解答】（1）证明：连接OC，

∵OD⊥AC，

∴∠DEC＝90°，

∴∠D+∠DCE＝90°，

∵∠A＝∠D，

∴∠A+∠DCE＝90°，

∵OA＝OC，

∴∠A＝∠ACO，

∴∠ACO+∠DCE＝90°，

∴OC⊥CD，

∵OC是⊙O的半径，

∴CD是⊙O的切线；

（2）解：∵AB＝CD＝2，

∴OC＝，

∴OD＝＝＝5，

∵S△COD＝OC•CD＝OD•CE，

∴CE＝＝＝2，

∵OD⊥AC，

∴AC＝2CE＝4．

27．（10分）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且DE⊥AF．

（1）求证：DE＝AF．

【迁移应用】

（2）如图2，在矩形ABCD中，AD＝kAB（k为常数），点E，F，G，H分别在矩形ABCD的边上，且EG⊥FH，求证：EG＝kFH．

【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，

∴AD＝AB，∠EAD＝∠B＝90°，

又∵DE⊥AF，

∴∠ADE+∠DAF＝90°＝∠BAF+∠DAF，

∴∠BAF＝∠ADE，

在△ADE和△BAF中，

，

∴△ADE≌△BAF（ASA），

∴DE＝AF；

（2）过点D作DM∥EG交AB于点M，过点A作AN∥FH交BC于点N，

∵DM∥EG，AB∥CD，

∴四边形EGDM为平行四边形，

∴EG∥DM且EG＝DM，

同理AN∥FH且AN＝FH，

由（1）同理可得∠ADM＝∠BAN，

∴△ADM∽△BAN，

∴，

∴，

∴EG＝kFH．

28．（12分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）已知点P（m，n）在抛物线上，当﹣1≤m＜3时，直接写出n的取值范围；

（3）抛物线的对称轴与x轴交于点M，点D坐标为（2，3），试问在该抛物线上是否存在点P，使△ABP与△ABD全等？若存在，请求出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、C（0，3）代入抛物线y＝x2+bx+c得：

，

解得：，

∴抛物线的函数解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；

（2）令y＝x2﹣2x﹣3＝0，

解得：x＝3或﹣1，即A（﹣1，0）、B（3，0），

∴抛物线的对称轴为x＝1，

当m＝﹣1时，n＝（﹣1）2﹣2×（﹣1）﹣3＝0，

当m＜3时，函数的最小值为顶点纵坐标的值：y＝1﹣2﹣3＝﹣4，

故n的取值范围为﹣4≤n≤0；

（3）∵D（2，3）到x轴的距离为3，由图象可知，要使△ABP≌△ABD，则点P在x轴下方，点P到x轴的距离为3，

当y＝﹣3时，x2﹣2x﹣3＝﹣3，

解得：x＝0或x＝2，

∴点P的坐标为（0，﹣3）或（2，﹣3）．