2024届高三数学一轮复习基础夯实练61：圆锥曲线压轴小题突破练

这是一份2024届高三数学一轮复习基础夯实练61：圆锥曲线压轴小题突破练，共12页。试卷主要包含了已知双曲线C，已知F是抛物线C，设椭圆C，已知椭圆C等内容，欢迎下载使用。
基础夯实练61  圆锥曲线小题综合1．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是(　　)A．(0,1)   B.C.   D.2．(2022·保定模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l：y＝kx(k≠0)与C交于M，N两点，且四边形MF1NF2的面积为8a2.若点M关于点F2的对称点为M′，且|M′N|＝|MN|，则C的离心率是(　　)A.  B.  C．3  D．53．已知双曲线C的中心在坐标原点，其中一个焦点为F(－2,0)，过F的直线l与双曲线C交于A，B两点，且AB的中点为N(－3，－1)，则C的离心率为(　　)A.  B.  C.  D.4．已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，过点F作两条相互垂直的直线l1，l2，直线l1与C相交于A，B两点，直线l2与C相交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为(　　)A．16  B．14  C．12  D．105．(多选)已知双曲线C：x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线C的右支上，若∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则下列命题正确的是(　　)A．若θ＝60°，则S＝4B．若S＝4，则|PF2|＝2C．若△PF1F2为锐角三角形，则S∈(4,4)D．若△PF1F2的重心为G，随着点P的运动，点G的轨迹方程为9x2－＝16．(多选)(2022·济宁模拟)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分别为A1，A2，点P是C上异于A1，A2的一点，则下列结论正确的是(　　)A．若C的离心率为，则直线PA1与PA2的斜率之积为－B．若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为b2C．若C上存在四个点P使得PF1⊥PF2，则C的离心率的取值范围是D．若|PF1|≤2b恒成立，则C的离心率的取值范围是7．已知F是椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点，若直线x＝与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆的离心率的取值范围是(　　)A.   B.C．[－1,1]   D.8．已知双曲线的方程是－＝1(a>0，b>0)，点F1，F2为双曲线的两个焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线相交于点P(点P在第一象限)，若∠PF1F2≤，则双曲线离心率的取值范围是(　　)A.   B．[＋1，＋∞)C.   D．(1，＋1]9．设e1，e2分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足∠F1PF2＝，则e1e2的最小值为(　　)A.  B.  C.  D.10．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，点P是C上任意一点，若圆O：x2＋y2＝b2上存在点M，N，使得∠MPN＝120°，则C的离心率的取值范围是(　　)A.  B.  C.  D.11．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，其左、右焦点分别为F1，F2，其离心率e＝，点P为该椭圆上一点，且满足∠F1PF2＝，已知△F1PF2的内切圆半径为r＝，则该椭圆的长轴长为(　　)A．2  B．4  C．6  D．1212．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，过原点O的直线交C于A，B两点(点B在右支上)，双曲线右支上一点P(异于点B)满足·＝0，直线PA交x轴于点D，若∠ADO＝∠AOD，则双曲线C的离心率为(　　)A.  B．2  C.  D．313．如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是(　　)A.   B. C.   D.14．设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分别为A，B，直线AF2与该椭圆交于A，M两点，若∠F1AF2＝90°，则直线BM的斜率为(　　)A.  B.  C．－1  D．－15．直线l过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F(1,0)且与抛物线交于A，B两点，则|AF|－的最小值为________．16．(2023·苏州模拟)如图，一个酒杯的内壁的轴截面是抛物线的一部分，杯口宽4 cm，杯深8 cm，称为抛物线酒杯．(1)在杯口放一个表面积为36π cm2的玻璃球，则球面上的点到杯底的最小距离为_____ cm；(2)在杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径的取值范围为____________(单位：cm)． 
参考答案1．C　2.B3．B　[由F，N两点的坐标得直线l的斜率k＝1.∵双曲线一个焦点为(－2,0)，∴c＝2.设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)，则a2＋b2＝4.∵kAB＝kNF＝1，且kON＝，∴kAB·kON＝＝，即a2＝3b2，易得a2＝3，b2＝1，c2＝4，∴双曲线C的离心率e＝＝.]4．A　[如图，设直线l1的倾斜角为θ，θ∈，则直线l2的倾斜角为＋θ，由抛物线的焦点弦弦长公式知|AB|＝＝，|DE|＝＝，∴|AB|＋|DE|＝＋＝＝≥16，当且仅当sin 2θ＝1，即θ＝时，等号成立，即|AB|＋|DE|的最小值为16.]5．ACD　[由x2－＝1，得a2＝1，b2＝4，则a＝1，b＝2，c＝，焦点△PF1F2的面积公式S＝＝，将θ＝60°代入可知S＝4，故A正确；当S＝4时，θ＝90°，由可得|PF2|＝2，故B错误；当∠F1PF2＝90°时，S＝4，当∠PF2F1＝90°时，S＝4，因为△PF1F2为锐角三角形，所以S∈(4,4)，故C正确；设G(x，y)，P(x0，y0)(x0>1)，则x－＝1(x0>1)，由题设知F1(－，0)，F2(，0)，则所以点G的轨迹方程为9x2－＝1，故D正确．]6．BD　[设P(x0，y0)，所以＋＝1，因为e＝＝，所以a＝2c，所以a2＝b2，所以＝－＝－，所以A错误；若PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为b2tan ＝b2，所以B正确；若C上存在四个点P使得PF1⊥PF2，即C上存在四个点P使得△PF1F2的面积为b2，所以·2c·b>b2，所以c>b，所以c2>a2－c2，故e∈，所以C错误；若|PF1|≤2b恒成立，所以a＋c≤2b，所以a2＋c2＋2ac≤4b2＝4(a2－c2)，所以5e2＋2e－3≤0，故0<e≤，所以D正确．]7．D　[由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等，又|FA|＝－c＝，|PF|∈[a－c，a＋c]，∴∈[a－c，a＋c]，∴ac－c2≤b2≤ac＋c2，∴∴又∵e∈(0,1)，∴e∈.]8．D　[由题意＝sin∠PF1F2≤sin ＝，所以0<|PF2|≤c，又|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，即(|PF2|＋2a)2＋|PF2|2＝4c2，所以4c2≤(c＋2a)2＋c2，整理得2a2＋2ac－c2≥0，所以e2－2e－2≤0，又e>1，故解得1<e≤＋1.]9．A　[设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，不妨设|PF1|>|PF2|，由椭圆和双曲线的定义可得得设|F1F2|＝2c，因为∠F1PF2＝，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2，即4c2＝(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－2(a1＋a2)(a1－a2)cos ，整理得a＋3a＝4c2，故＋＝4.又4＝＋≥2＝，即2≥，所以e1e2≥，即e1e2的最小值为，当且仅当＝，即e1＝，e2＝时，等号成立．]10．C　[连接OP，当P不为椭圆的上、下顶点时，设直线PA，PB分别与圆O切于点A，B，∠OPA＝α，∵存在M，N使得∠MPN＝120°，∴∠APB≥120°，即α≥60°，又α<90°，∴sin α≥sin 60°，连接OA，则sin α＝＝≥，∴|OP|≤.又P是C上任意一点，则|OP|max≤，又|OP|max＝a，∴a≤，则由a2＝b2＋c2，得e2≤，又0<e<1，∴e∈.]11．D　[由e＝，得＝，即a＝2c.①在△F1PF2中，根据椭圆的定义及焦点三角形的面积公式，得＝b2tan ＝r(2a＋2c)，即b2＝(a＋c)，②由a2＝b2＋c2，③联立①②③，得c＝3，a＝6，b＝3，所以该椭圆的长轴长为2a＝2×6＝12.]12．A　[如图，·＝0，∴BA⊥BP，令kAB＝k，∵∠ADO＝∠AOD，∴kAP＝－kAB＝－k，又BA⊥BP，∴kPB＝－，依题意，kPB·kPA＝，∴－·(－k)＝，∴＝1，即e＝.]13．D　[设双曲线C2的方程为－＝1，则有a＋b＝c＝c＝4－1＝3.又四边形AF1BF2为矩形，所以△AF1F2的面积为btan 45°＝，即b＝b＝1.所以a＝c－b＝3－1＝2.故双曲线的离心率e＝＝＝.]14．B[∵∠F1AF2＝90°，∴△F1AF2为等腰直角三角形，∴b＝c，∴a2＝2b2＝2c2，∴＝，且∠AF2O＝45°，∴kMA＝－1，又kMA·kMB＝－＝－，∴kMB＝.]15．2－2解析　方法一　已知＝1，即p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x，若直线l与x轴重合，则该直线与抛物线只有一个交点，不符合题意；设直线l的方程为x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立可得y2－4my－4＝0，则所以＋＝＋＝＋＝＝＝＝1.所以＝1－，则|AF|－＝|AF|－2＝|AF|＋－2≥2－2＝2－2，当且仅当|AF|＝时，等号成立，故|AF|－的最小值为2－2.方法二　因为＝1，所以p＝2，又＋＝，所以＋＝1，所以＝1－，因为|AF|－＝|AF|－2＝|AF|＋－2≥2－2，当且仅当|AF|＝时，等号成立，所以|AF|－的最小值为2－2.16．(1)6　(2)解析　因为杯口放一个表面积为36π cm2的玻璃球，所以球的半径为3 cm，又因为杯口宽4 cm，所以|AB|＝4，|C1A|＝|C1B|＝3，C1D⊥AB，所以|AD|＝|BD|＝2，所以|C1D|＝＝＝1，所以|DE|＝2，又因为杯深8 cm，即|OD|＝8，故最小距离为|OD|－|DE|＝6，如图1所示，建立直角坐标系，易知B(2，8)，设抛物线的方程为y＝mx2，所以将B(2，8)代入，得m＝1，故抛物线方程为y＝x2，　图1　　　　　　 图2当杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，如图2，设玻璃球轴截面所在圆的方程为x2＋(y－r)2＝r2，依题意，需满足抛物线上的点到圆心的距离大于等于半径恒成立，即≥r，则有x2(x2＋1－2r)≥0恒成立，解得1－2r≥0，可得0<r≤.所以玻璃球的半径的取值范围为.