2022北京八一学校高一6月月考数学

2022北京八一学校高一6月月考

数    学

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1. 若且，则角所在的象限是（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限

C. 第三象限 D. 第四象限

2. 点A在直线l上，直线l在平面内，用符号表示，正确的是（    ）

A. ， B. ， C. ， D. ，

3. `已知向量，，，则实数k的值为（    ）

A.  B.  C. 6 D. 2

4. 下列选项中，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的是（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 函数是（    ）

A. 周期为的奇函数 B. 周期为的奇函数

C. 周期为的偶函数 D. 周期为的偶函数

6. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ）

A 向左平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度

C. 向右平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度

7. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“”是“是直角三角形”的（    ）

A. 充要条件 B. 充分不必要条件

C 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

8. 已知函数，则（    ）

A. 在上单调递减 B. 在上单调递增

C. 在上单调递增 D. 在上单调递减

9. 《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.如图，在堑堵中，，且.下列说法错误的是（    ）

A. 四棱锥为“阳马”

B. 四面体为“鳖臑”

C. 四棱锥体积的最大值为

D. 过A点作于点E，过E点作于点F，则面AEF

10. 在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

第二部分（非选择题    共60分）

二、填空题，共5小题，每小题4分，共20分.

11. 如图，是水平放置的的直观图，则的周长为________．

12. 已知单位向量夹角为60°，______________，的最小值为_________.

13. 已知某圆锥的母线长为3，其侧面展开图的面积为，则该圆锥的体积为________．

14. 已知的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，则能使成立的一组A，B的值是________．

15. 已知正四棱锥的所有棱长均为4，S是四边形ABCD及其内部的点构成的集合，设集合，则T表示的区域的面积为______.

三、解答题共4小题，共40分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16. 在中，．

（1）求；

（2）若，且的面积为，求的周长．

17. 已知函数的最大值为1.

（1）求函数的最小正周期及单调递减区间；

（2）当时，求函数的值域.

18. 已知三棱锥中，侧棱和底面边长均为6，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别是边AB，BC上的点，且.

（1）求证：E，F，G，H四点共面；

（2）设直线EH与FG相交于一点P，证明：点P一定在直线BD上；

（3）求三棱锥的体积.

19. 已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数.

（1）设函数，试求的相伴特征向量；

（2）记向量的相伴函数为，求当且，的值；

（3）已知，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点P，使得.若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.

参考答案

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1.【答案】D

【解析】

【分析】根据三角函数的正负，确定角所在的象限.

【详解】，则角在第三，四象限，，则角在第二，四象限，

所以满足且，角在第四象限.

故选：D

2. 【答案】D

【解析】

【分析】根据点线关系和线面关系判定即可.

【详解】点A在直线l上，则，l在平面内，则

故选：D

3. 【答案】C

【解析】

【分析】根据两向量垂直向量积为0，得到关于的方程，进行求解.

【详解】解：因为，故，即，解得.

故选：C.

4. 【答案】D

【解析】

【分析】根据由中点构成的中位线和几何体的特征先判断是否平行，再判断是否在同一平面内，然后对选项逐一判断即可.

【详解】对于A选项，，如图所示，

易证，所以P，Q，R，S四个点共面，故A错误；

对于B选项，过P，Q，R，S可作一正六边形，如图示，

所以P，Q，R，S四个点共面，故B错误；

对于C选项，分别连接，如图示，

易证，所以P，Q，R，S四个点共面，故C错误；

对于D选项，连接，如图示

因为平面，平面，

但平面，所以异面，所以P，Q，R，S四个点不共面，故D正确.

故选：D

5. 【答案】B

【解析】

【分析】根据正切函数的性质判断的最小正周期、奇偶性，即可得答案.

【详解】由正切函数性质知：的最小正周期为，

定义域关于原点对称且，即为奇函数.

所以是周期为的奇函数.

故选：B

6. 【答案】A

【解析】

【分析】将所给函数化为，根据三角函数相位变换原则可得结果.

【详解】

只需将的图象向左平移个单位长度即可得到的图象.

故选：A

7. 【答案】B

【解析】

【分析】结合余弦定理，角化边，即可求解

【详解】由，得，即，则是直角三角形；反之，若是直角三角形，则与不一定相等.故“”是“是直角三角形”的充分不必要条件.

8. 【答案】B

【解析】

【分析】化简得出，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.

【详解】因为.

对于A选项，当时，，则在上单调递增，A错；

对于B选项，当时，，则在上单调递增，B对；

对于C选项，当时，，则在上单调递减，C错；

对于D选项，当时，，则在上不单调，D错.

故选：B.

9. 【答案】C

【解析】

【分析】根据“阳马”和“鳖膈”的定义，可判断A，B的正误；当且仅当时，四棱锥体积有最大值，求值可判断C的正误；根据题意可证平面，进而判断D的正误.

【详解】底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，

∴在堑堵中，，侧棱平面，

A选项，∴，又，且，则平面，

∴ 四棱锥为“阳马”，故A正确；

B选项，由，即，又且，

∴平面，∴，则为直角三角形，

又由平面，得为直角三角形，由“堑堵”的定义可得为直角三角形，为直角三角形，∴ 四面体为“鳖膈”，故B正确；

C选项，在底面有，即，当且仅当时取等号，

，最大值为，故C错误；

D选项，因为，，，所以平面，故D正确；

故选：C

10. 【答案】D

【解析】

【分析】依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；

【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，

因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，

设，，

所以，，

所以

，其中，，

因为，所以，即；

故选：D

第二部分（非选择题    共60分）

二、填空题，共5小题，每小题4分，共20分.

11. 【答案】

【解析】

【分析】根据斜二测画法的规则得到直角三角形的直角边长，用勾股定理求出斜边长可得结果.

【详解】根据斜二测画法的规则可知，，，，

所以，

所以的周长为.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：掌握斜二测画法的规则是解题关键.

12. 【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】利用定义求向量数量积，再根据模的平方求模

【详解】，

，

所以的最小值为.

【点睛】本题考查平面向量的数量积．求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：

①    或.

②.

③若则.

13. 【答案】##

【解析】

【分析】先由侧面展开图求出底面圆半径，进而求得高，再由体积公式求解即可.

【详解】设该圆锥的母线长为l，高为h，底面圆的半径为r．圆锥侧面展开图的面积为，解得，

，该圆锥的体积为．

故答案为：.

14. 【答案】（答案不唯一）

【解析】

【分析】利用正弦定理边化角，再利用三角恒等变换公式得到等式，进而写出一组值即可.

【详解】由正弦定理得：，

 ，，

，

，

（答案不唯一）.

故答案为：（答案不唯一）.

15. 【答案】

【解析】

【分析】由题意，相当于求出以为球心，4为半径的球与底面的截面圆的半径后可求区域的面积.

【详解】设顶点在底面上的投影为，连接，则为正方形的中心，如图，

且，故.

因为当时，故，

故的轨迹为以为圆心，1为半径的圆面，而正方形内切圆的圆心为，半径为，

故的轨迹在正方形内部，故其面积为.

故答案为：

三、解答题共4小题，共40分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16. 【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得的值，结合角的取值范围可求得角的值；

（2）利用三角形的面积公式可求得的值，由余弦定理可求得的值，即可求得的周长.

【小问1详解】

解：因为，则，由已知可得，

可得，因此，.

【小问2详解】

解：由三角形的面积公式可得，解得.

由余弦定理可得，，

所以，的周长为.

17. 【答案】（1）最小正周期，单调递减区间为，；（2）.

【解析】

【分析】（1）用诱导公式和二倍角公式，两角和的正弦公式化函数为一个角的三角函数形式，然后结合正弦函数性质求解；

（2）由，得，然后由正弦函数性质得值域．

【详解】（1）

，

∴.

令，，

得，，

函数的单调递减区间为，.

（2）由，∴，

∵，∴，

∴，

∴的值域为.

【点睛】方法点睛：本题考查两角差的正弦公式，二倍角公式，考查正弦函数的性质．此类问题的解题方法是：利用二倍角公式降幂，利用诱导公式、两角和与差的正弦（余弦）公式展开与合并，最终把函数化为形式，然后结合正弦函数性质求解．

18. 【答案】（1）答案见解析；   

（2）答案见解析；    （3）.

【解析】

【分析】（1）根据中位线及平行线分线段成比例的逆定理可得与平行，即可知，得证；

（2）根据两平面的公共点必在两平面交线上求证即可；

（3）求出棱锥的高，再由棱锥体积公式计算即可.

【小问1详解】

连接，，如图，

，，又分别为AD，CD的中点，

，，故E，F，G，H四点共面

【小问2详解】

，平面，平面，

平面，平面，

平面平面，

，即点P一定在直线BD上.

【小问3详解】

取的中心，连接，，如上图，

则平面，即是三棱锥的高，

在正中，，

所以，

所以.

19. 【答案】（1）；（2）；（3）存在，点.

【解析】

【分析】（1）根据三角函数诱导公式化简函数得，根据题意可可得特征向量；（2）根据题意可得相伴函数，再根据条件可得，由最终得到结果；（3）根据三角函数图象变换规则求出的解析式，设，根据条件列出方程式求出满足条件的点P坐标即可.

【详解】解：（1）

的相伴特征向量.

（2）向量的相伴函数为，

，.

，，.

.

（3）由为的相伴特征向量知：

.

所以.

设，，

，，

又，.

，

，，

.

又，

当且仅当时，和同时等于，这时式成立.

在图像上存在点，使得.

【点睛】关键点点睛：熟练使用三角函数诱导公式、三角恒等变换是本题的关键.本题还考查了三角函数图象变换后的解析式以及向量垂直的数量积关系，属于中档题.