2023年浙江省杭州市余杭区中考数学二模试卷（含解析）

2023年浙江省杭州市余杭区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  年月日，杭州某区最高气温为，最低气温为，那么这天的最高气温比最低气温高(    )

A.  B.  C.  D.

2.  据统计，年北京冬奥会人工造雪面积达到平方米，数用科学记数法表示应为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  点为直线外一点，于点，点是直线上的动点，则线段长可能是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，直线，点在直线上，，若，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  若点，关于原点成中心对称，则，的值分别为(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

7.  某公司本月信誉评分为分，比上个月的信誉评分提高了设该公司上个月的信誉评分为则(    )

A.  B.
C.  D.

8.  如图，正九边形外接圆的半径是，则这个正九边形的边长为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，在中，，，点在边上，若是的三等分线，则的长度为(    )

A. 或 B.
C. 或 D. 或

10.  已知关于的二次函数，下列结论中正确的序号是(    )
当时，函数图象的顶点坐标为；
当时，函数图象总过定点；
当时，函数图象在轴上截得的线段的长度大于；
若函数图象上任取不同的两点，，则当时，函数在时一定能使成立．

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  ______．

12.  分解因式：           ．

13.  某校成立了三个课后服务小组，张老师和李老师都报名参加若随机安排报名人员到服务小组，则他们恰好分到同组的概率是______ ．

14.  如图，，是的切线，切点分别为，，连接，如果，那么的度数为__________．

15.  如图，在中，的平分线交于点点，分别在，上，连结交于点若，：：，则： ______ ．

16.  如图，已知正方形的边长为，点是边上的动点不与，重合，点是的中点，过点作，分别交，，于点，，，设．
的长为______用含的代数式表示；
设，则的值为______．

三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
先化简，再求值：
，其中．

18.  本小题分
如图，中，，点在边上，且交于点．
求证：∽；
若，，是中点，求的长．

19.  本小题分
为调查同学们对亚运知识的了解情况，某校对七八两个年级进行了知识测试单位：分，从两个年级各随机抽取名同学的成绩数据，整理并绘制出七年级成绩数据的频数分布直方图每一组含前一个边界值，不含后一个边界值和两个年级测试成绩数据统计表已知七年级这一组的成绩数据为：
根据以上信息，回答下列问题：

写出表中的值．
抽取的测试成绩中，七年级有一个同学的成绩为分，八年级恰好也有一位同学的成绩也是分，这两名学生在各自年级抽取的测试成绩排名中更靠前的是______ ，理由是______ ．
若七年级共有学生人，估计七年级所有学生中成绩不低于分的约有多少人．

20.  本小题分
如图，双曲线上有一点，过点的直线与该双曲线交于点，且点的纵坐标为．
求反比例函数和一次函数的解析式；
连接、，求的面积；
根据图象直接写出在第一象限内一次函数的值大于反比例函数的值时，的取值范围．

21.  本小题分
如图，在四边形中，，，垂足为，过点作的垂线交的延长线于点．
求证：四边形是平行四边形；
若，，，求的长．

22.  本小题分
已知函数，为常数且．
若的图象经过点，求该函数的表达式．
若函数，的图象始终经过同一定点．
求点的坐标和的值．
若，当时，总有，求的取值范围．

23.  本小题分
如图，在▱中，是线段中点，连接交于点，连接．
如果．
求证：▱为菱形；
若，，求线段的长；
分别以，为半径，点，为圆心作圆，两圆交于点，，点恰好在射线上，如果，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：

，
故选：．
由题意列出算式，并运用有理数减法法则进行计算．
此题考查了运用有理数减法解决实际问题的能力，关键是能准确列式、计算．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
即．
故选：．
利用垂线段最短得到，然后对各选项进行判断．
本题考查了垂线段最短：垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
选项A不符合题意；
，
选项B不符合题意；
，
选项C不符合题意；
，
选项D符合题意；
故选：．
利用合并同类项法则，同底数幂的除法法则，幂的乘方与积的乘方法则对每个选项进行分析，即可得出答案．
本题考查了合并同类项，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，掌握相应法则是解决问题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，

，
，
，
，
故选：．
根据平角的定义得出，进而利用平行线的性质解答即可．
此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，同位角相等解答．
 

6.【答案】 

【解析】解：点，关于原点对称，
，．
故选：．
利用关于原点对称的点的坐标特点解答即可．
本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟知两个点关于原点对称时，它们的横纵坐标互为相反数是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：设该公司上个月的信誉评分为，根据题意得，
．
故选：．
设该公司上个月的信誉评分为，等量关系是：上月信誉评分本月信誉评分，依此列出方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，理解题意找到等量关系是解决本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图所示，

过作于点，则，
此多边形是正九边形，
，
，
在中，，
．
故选：．
过作于点，则，解直角三角形即可得到结论．
本题考查的是解直角三角形的应用及正多边形和圆，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，，
，
是的三等分线，
，，
，
，
在与中，
，
∽，
，
，
，
或．
故选C．
根据已知条件得出，再根据是的三等分线，求出的度数与，再根据证出∽，，从而得出，最后代值计算即可得出答案．
此题考查了等腰三角形的性质以及黄金分割，掌握相似三角形的判断以及等腰三角形的性质是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：当时，，
顶点坐标为，
故正确；
当时，，
当时，的值与无关，
此时，，
当，；当时，，
函数图象总经过两个定点，，
故正确；
当时，由得：，
，
，，
，
函数图象截轴所得的线段长度大于，
故正确；
时，抛物线的对称轴：，抛物线开口向下，
故时，只有当对称轴在右侧时，才随的增大而减小，即使成立，
故错误．
故选：．
把代入，再化为顶点式即可；
求得与轴的交点，进而求得的值，即可判断；
由，可知当时，的值与无关，然后求出，的对应值即可；
时，抛物线的对称轴：，抛物线开口向下，只有当对称轴在右侧时，才随的增大而减小，即可求解．
本题考查的是抛物线与轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
 

11.【答案】 

【解析】解：的值为．
故答案为：．
根据特殊角的三角函数值直接得出答案即可．
本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解答此题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
首先找出公因式，进而提取公因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
【解答】
解：．
故答案为：．  

13.【答案】 

【解析】解：三个课后服务小组分别用、、表示，
画树状图图如下：

共有种等可能的情况数，其中他们恰好分到同组的情况有种，
则他们恰好分到同一个小组的概率是．
故答案为：．
根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

14.【答案】 

【解析】解：，是的切线，切点分别为，，
，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
利用切线长定理和切线的性质得到，，则，所以，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求的度数．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了切线长定理．
 

15.【答案】： 

【解析】解：平分，
，
，
∽，
，
：：，
，
，
，，
∽，
．
故答案为：：．
先证明∽得到，再根据比例的性质由：：得到，所以，然后证明∽，则利用相似三角形的性质得到．
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．在应用相似三角形的性质时利用相似比得到相应线段之间的关系．
 

16.【答案】   

【解析】解：正方形的边长为，，
，
点是的中点，
，
，
，
，
，
∽，
，即，
，
故答案为；

解：如图，连接、、，
由正方形的轴对称性≌，
，，
，为中点，
，
，，
，
，
，
又四边形的内角和为，，
，
在中，为斜边，为的中点，
，
，
∽，
，
，
故答案为．
根据勾股定理求得，进而得出，证得∽，由相似三角形的性质即可求得的长；
连接、、，构建全等三角形和直角三角形，证明，再根据四边形的内角和定理得，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，然后根据相似三角形的性质求得，即可得出．
本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形判定和性质，等腰三角形的性质，以及直角三角形斜边上的中线的性质，证得是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式

，
当时，
原式． 

【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
 

18.【答案】证明：，，
．
又，
∽．
解：在中，，，，
．
是中点，
．
∽，
，即，
． 

【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是：利用“两角对应相等两三角形相似”证出两三角形相似；利用相似三角形的性质求出的长．
由，可得出，再结合公共角相等，即可证出∽；
在中，利用勾股定理可求出的长，结合点为线段的中点可求出的长，再利用相似三角形的性质，即可求出的长．
 

19.【答案】  七年级的中位数是分，八年级是分，七年级的中位数比八年级的大 

【解析】解：七年级一共有名同学，中位数是成绩数据由小到大排列后第，个数据的平均数，
数据较小的三组共有个数据，七年级学生成绩在从小到大排列为，，，，，，，，
七年级学生成绩从小到大排在第，的两个数分别为、，
七年级成绩的中位数
这两名学生在各自年级抽取的测试成绩排名中更靠前的是．
理由：七年级的中位数是分，八年级是分，七年级的中位数比八年级的大；
七年级不低于分的人数：人，
答：估计七年级所有学生中成绩不低于分的约有人．
结合题意，根据中位数的意义解答即可；
根据中位数的意义，比较七、八年级的中位数即可得出答案；
先算出样本中成绩不低于分的比例，再乘以即可得到答案．
本题考查频数分布直方图，平均数，中位数，众数的意义，准确理解这些概念是解题的关键．
 

20.【答案】解：将代入反比例解析式得：，
反比例解析式为，
将代入中得：，即，
将与代入一次函数解析式得：，
解得：，
则一次函数解析式为；

对于一次函数，令，求出，即，
，
又，，
则；

根据图象得：当时，一次函数的值大于反比例函数的值． 

【解析】将坐标代入反比例解析式中求出的值，确定出反比例解析式，将纵坐标代入反比例解析式中求出横坐标，确定出的坐标，将与坐标代入一次函数解析式中求出与的值，即可确定出一次函数解析式；
过、分别作轴的垂线，垂足分别为、，三角形面积三角形面积三角形面积，求出即可；
找出图象上一次函数在反比例函数上方时的范围即可．
此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，坐标与图形性质，一次函数与坐标轴的交点，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
 

21.【答案】证明：，，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形；
解：，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
故BC的长为． 

【解析】根据平行线的判定定理得到，根据平行四边形的判定定理即可得到结论；
根据平行线的性质得到，根据平行四边形的性质得到，，求得，于是得到结论．
本题考查了平行四边形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键．
 

22.【答案】解：把代入，得到，
解得，
抛物线的解析式为．
函数可变形为，该函数恒经过点，
函数，的图象始终经过同一定点，
当时，，
由可知函数经过定点，
对于函数，当时，，
当时，两个函数过定点．
，
抛物线的对称轴，
抛物线的对称轴在定点的左侧，

由题意当时，满足当时，总有，
，
． 

【解析】利用待定系数法解决问题即可．
因为函数经过定点，对于函数，当时，，推出当时，两个函数过定点．
首先确定抛物线的对称轴的位置，利用图象法，构建不等式解决问题即可．
本题考查二次函数与不等式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．
 

23.【答案】证明：如图，连接交于点，

四边形是平行四边形，
，
在和中，

≌，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
▱为菱形；
解：，
是的中线，
为的中点，
是的中线，
点是的重心，
，
设，则，
在中，由勾股定理得，，
在中，由勾股定理得，，
，解得负值舍去，
，
；
解：如图，

与相交于，，
，
由知点是的重心，
设延长线交于点，
在直线上，
是的中线，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
． 

【解析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形重心的性质，菱形的判定，相交两圆的性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
证明：如图，连接交于点，证明≌，由全等三角形的性质得出，证出，由菱形的判定可得出结论；
由重心的性质得出，设，则，由勾股定理得出，求出的值，则可得出答案；
由相交两圆的性质得出，由知点是的重心，由重心的性质及勾股定理得出答案．