2022-2023学年安徽省宣城市第二中学高一上学期第一次月考数学试题（解析版）

2022-2023学年安徽省宣城市第二中学高一上学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．已知集合，，若，则a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意可得0，3均为中的元素，从而求得结果.

【详解】因为，故0，3均为中的元素，所以

故选：B

2．集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据一元二次不等式可得,进而根据集合的补运算和交运算即可求解.

【详解】由题意得或，，

所以，

故选：B

3．已知，“”是“”的一个充分不必要条件，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】结合一元二次不等式的解法以及充分不必要条件的知识求得正确答案.

【详解】依题意，，

或，

由于“”是“”的一个充分不必要条件，

所以，.

故选：A

4．命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【分析】利用特称命题的否定的概念即可求解,改量词，否结论.

【详解】由特称命题的否定的概念知，

“，”的否定为：，．

故选：B．

5．已知函数，则（    ）

A． B．3 C．1 D．19

【答案】B

【分析】根据已知函数解析式可先求，然后代入可求.

【详解】由，则.

故选：B

6．已知为正实数且，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．3

【答案】D

【分析】由题知，再结合基本不等式求解即可.

【详解】解：因为为正实数且，

所以，

所以，

因为，当且仅当时等号成立；

所以，当且仅当时等号成立；

故选：D

7．已知，且是方程的两根，则的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】画出函数图象，数形结合进行求解.

【详解】为二次函数，开口向上，

因为是方程的两根，

故为图象与轴的两个交点横坐标，

其中，

画出图象如下：

显然，

故选：C

8．若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数与函数即为“同族函数”．请你找出下面哪个函数解析式也能够被用来构造“同族函数”的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意，可知构造“同族函数”的函数最起码不能是单调的，结合选项一一判断即可.

【详解】对于选项AD，函数都为单调递增的，故不满足，因此AD都错；

对于选项C，在区间和上都是单调递减的，且在两个区间上的取值一正一负，故不满足，因此C错；

对于选项B，函数，和函数，即为“同族函数”，故满足，因此B正确.

故选：B.

二、多选题

9．下列命题是假命题的有（    ）．

A．两个无理数的和一定是无理数

B．，

C．，

D．，方程恰有一解

【答案】AD

【分析】应用特殊值法判断A、C、D的正误，根据因式分解判断全称命题的真假判断B.

【详解】

故选：AD

10．已知非零实数，，满足，，则下列不等式一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】根据题意知故可判断A，取特殊值判断BC，由不等式的性质判断D.

【详解】A选项，由于，故，所以，正确；

B选项，取 知不成立，错误；

C选项，取知不成立，错误;

D选项，由于得， 而， 故，正确.

故选：AD

11．已知不等式的解集是，则下列四个结论中正确的是（    ）.

A．

B．若不等式的解集为，则

C．若不等式的解集为，则

D．若不等式的解集为，且，则

【答案】ABD

【分析】利用一元二次不等式的解法与一元二次方程之间的关系以及韦达定理进行求解.

【详解】由题意，不等式的解集是，

所以，，所以A正确；

对于B：变形为，其解集为，

所以，得，故成立，所以B正确；

对于C：若不等式的解集为，由韦达定理知：

，所以C错误；

对于D：若不等式的解集为，

即的解集为，由韦达定理知：

，

则，解得，

所以D正确.

故选：D.

12．设，则用表示不超过的最大整数，例如，.已知函数，则函数的值域中含有的元素可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】方法一：采用分离常数法可得，由此可得，由定义可得结果；

方法二：当时，可得；当时，，由此可得；由定义可得结果.

【详解】方法一：，

，，，即，

的值域为；

方法二：当时，，此时；

当时，，

，，即，此时或；

的值域为.

故选：BC.

三、填空题

13．函数的定义域为 _________.

【答案】

【分析】根据根式的定义及分式的定义即可得到不等式组，即可求解.

【详解】解：由题可得，解得，，且；

的定义域为：．

故答案为：.

14．已知函数，则______.

【答案】##1010.75

【分析】观察所求结构，考察的值，然后可得.

【详解】因为，，

所以

.

故答案为：

15．已知，函数若对任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，则a的取值范围是__________．

【答案】

【分析】由题意分类讨论和两种情况，结合恒成立的条件整理计算即可求得最终结果.

【详解】分类讨论：①当时，即：，

整理可得：，

由恒成立的条件可知：，

结合二次函数的性质可知：

当时，，则；

②当时，即：，整理可得：，

由恒成立的条件可知：，

结合二次函数的性质可知：

当或时，，则；

综合①②可得的取值范围是，故答案为.

点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．

16．给出下列命题：①若，则；②若，则a+b；③若，则；④若，则；⑤若，则；其中正确的命题有________.(将正确的序号填在此处)

【答案】③④⑤

【分析】①举例判断；②举例判断；③利用基本不等式判断；④利用作差法判断；⑤利用作差法判断.

【详解】①当时，，故错误；

②当时，a+b，故错误；

③因为，所以，则，因为，等号不成立，故，故正确；

④因为，所以，故，故正确；

⑤因为，则，故，故正确；

故答案为：③④⑤

四、解答题

17．解下列关于的不等式：

(1)

(2)

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)将不等式转化为即可得解.

(2)等价转化为，可求解集.

【详解】（1）由可得：，

所以，故解集为.

（2），，等价转化为，

解得，所以不等式解集为.

18．已知集合.全集

(1)若，求图中阴影部分；

(2)若，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）分别求出集合，由图可知，阴影部分表示，根据交集和补集的定义即可得解；

（2）分和两种情况讨论，再结合子集的定义可得出答案.

【详解】（1）解：当时，，

，

则或，

所以，

即图中阴影部分；

（2）解：因为，

当，

则，解得；

当时，

则，解得，

综上所述.

19．实数满足.

(1)求实数的取值范围；

(2)求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由，根据不等式的性质计算可得；

（2）求出，再利用不等式的性质得解.

【详解】（1），

由，，则，

所以，即，

故实数的取值范围为．

（2）设，

则，解得，

∴，

∵，．

∴，，

∴，

即的取值范围为．

20．已知p：关于x的方程有实数根，q：.

(1)若命题p是假命题，求实数a的取值范围；

(2)若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由命题p是假命题，可得，从而可求出实数a的取值范围；

（2）根据题意可得，从而可求出实数m的取值范围.

【详解】（1）因为命题p是假命题，所以对于方程无实根，

有，解得，

所以实数a的取值范围是.

（2）由（1）可知p：.

因为p是q的必要不充分条件，

所以，则，解得，

所以实数m的取值范围是.

21．为响应国家环保的号召，某企业计划2020年引进新型环保设备生产新能源汽车，通过市场分析，全年需投入固定成本1000万元，每生产x（百辆）汽车，需另投入成本万元，且若每辆新能源汽车售价为8万元，并且全年内生产的汽车当年能全部销售完．

(1)求2020年的利润L（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式（其中利润=销售额-成本）

(2)当2020年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求最大利润．

【答案】(1)

(2)15百辆时，企业所获利润最大，最大利润为1250万元．

【分析】（1）根据成本函数与销售收入计算利润得利润函数；

（2）根据利润函数分段分别利用二次函数性质、基本不等式求得最大值，然后比较可得．

【详解】（1）根据题意可知，

当时，，

当时，，

所以

（2）当时，，

∴当时，取得最大值1250；

当时，，

当且仅当即时取等号．

∴综上，当时，取得最大值1250．

即2020年产量为15百辆时，企业所获利润最大，最大利润为1250万元．

22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，．

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点是该抛物线对称轴上的一点，求的最小值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）把三点坐标代入抛物线解析式得到关于的方程组，求解即可；

（2）如图，结合由抛物线的对称性得到，当在一条线上时，最小，利用勾股定理求即可.

【详解】（1）解：因为抛物线经过点，，，

，解得

所以抛物线的解析式为：；

（2）

由（1）知抛物线的解析，

抛物线的对称轴为，且对称轴垂直平分线段，

是该抛物线对称轴上的一点，，

，

如图，当在一条线上时，最小，

作轴于点，，，

又，，

在中，，

故的最小值为.