2021-2022学年浙江省杭州市七县市、八县区高二（上）期末数学试卷

这是一份2021-2022学年浙江省杭州市七县市、八县区高二（上）期末数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年浙江省杭州市七县市、八县区高二（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知全集U＝{0，﹣1，﹣2，﹣3，﹣4}，集合M＝{0，﹣1，﹣2}，N＝{0，﹣3，﹣4}，则（∁UM）∩N＝（　　）
A．{0} B．{﹣3，﹣4} C．{﹣1，﹣2} D．∅
2．（5分）若复数z满足z（1+2i）＝3﹣4i（其中i为虚数单位），则z的虚部是（　　）
A．2i B．﹣2i C．2 D．﹣2
3．（5分）已知x2+y2﹣6x﹣7＝0与抛物线y＝ax2（a＞0）的准线相切，则a＝（　　）
A． B．16 C． D．8
4．（5分）下列命题中，不正确的是（　　）
A．若事件A，B互斥，则P（A∪B）＝P（A）+P（B）
B．若事件A，B互为独立，则
C．若事件A，B，C两两互斥，则P（A∪B∪C）＝P（A）+P（B）+P（C）
D．若事件A，B，C两两独立，则P（ABC）＝P（A）P（B）P（C）
5．（5分）如图所示，是某厂生产的一批不倒翁型台灯外形，它由一个圆锥和一个半球组合而成，其中，圆锥的底面和球的直径都是0.2m，圆锥的高是0.24m．要对1000个这样的台灯表面涂一层胶，如果每平方米需要涂胶100克，则共需胶（　　）克．

A．340π B．440π C．4600π D．6600π
6．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π），其图象关于点成中心对称，相邻两条对称轴的距离为，且对任意x∈R，都有，则在下列区间中，f（x）为单调递减函数的是（　　）
A． B． C． D．
7．（5分）已知函数的零点分别为a，b，c，下列各式正确的是（　　）
A．a+b＞0 B．2a+log2b＞0 C．b＞c D．2a＞c2
8．（5分）a为实数，函数f（x）＝|x2﹣2ax|在区间[0，1]上的最大值记为g（a）．当g（a）取得最小值时，a＝（　　）
A． B． C． D．1
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
（多选）9．（5分）若椭圆的焦点为F1（﹣c，0），F2（c，0）（c＞0），长轴长为2a，则椭圆上的点（x，y）满足（　　）
A．
B．
C．
D．
（多选）10．（5分）设α，β为两个平面，则α∥β的必要不充分条件是（　　）
A．α内有无数条直线与β平行
B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β垂直于同一条直线
D．α，β垂直于同一平面
（多选）11．（5分）已知点A、B、P在⊙C上，则下列命题中正确的是（　　）
A．，则的值是
B．，则的值是
C．，则的范围是
D．，且，则λ+μ的范围是
（多选）12．（5分）定义全集U的子集M的特征函数．已知A⊆U，B⊆U，则以下结论中正确的是（　　）
A．若A⊆B，则对于任意x∈U，都有fA（x）≤fB（x）
B．对于任意x∈U，都有
C．对于任意x∈U，都有fA∩B（x）＝fA（x）•fB（x）
D．对于任意x∈U，都有fA∪B（x）＝fA（x）+fB（x）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，16题第1空2分，第2空3分。
13．（5分）　 　．
14．（5分）已知，则sinα＝　 　．
15．（5分）某地现有耕地10000公顷．规划10年后粮食单产比现在增加20%，人均粮食占有量比现在至少提高16%．如果人口年增长率为3‰（即千分之三），那么耕地平均每年至多只能减少 　 　公顷（精确到小数点后一位，1.00310≈1.0304）．
（备注：粮食单产，人均粮食占有量）
16．（5分）过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在直线上，则∠ACB的最大值是 　 　；若△ACB为正三角形，则其边长为 　 　．
四、解答题：本题包括6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，在①，②2acosA＝bcosC+ccosB，③（a+b）（sinA﹣sinB）＝（c﹣b）sinC这三个条件中任选一个，并解答下列问题：
（1）求角A；
（2）若b＝5，c＝3，求BC边上的中线长．
18．（12分）某城市为节能减排，提出了在保障生活必需的基础上，“低碳生活，节约用电”的倡议．以下是某社区随机提取的100户居民的月平均用电量（单位：度）的数据，根据这些数据，以[160，180），[180，200），[200，240），[240，260），[260，280），[280，300]分组的频率分布直方图如图所示．
（1）求月平均用电量的25%分位数（精确到小数点后1位）；
（2）在月平均用电量最小组[160，180）和最大组[280，300]用户中，各随机抽取1户到社区做用电情况交流，其中最小组的甲与最大组的乙恰有一人被选到的概率．

19．（12分）莱昂哈德•欧拉（LeonhardEuler，瑞士数学家），1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心（三条中线的交点）、垂心（三条高线的交点）和外心（三条中垂线的交点）共线．这条线被后人称为三角形的欧拉线．已知△QMN的顶点M（1，0），N（3，﹣2），Q（1，﹣4）．
（1）求△QMN的欧拉线方程；
（2）记△QMN的外接圆的圆心为C，直线l：kx﹣y﹣k﹣1＝0（k∈R）与圆C交于A，B两点，且C∉l，求△ABC的面积最大值．
20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，二面角P﹣BC﹣A的大小是45°，E、G分别是PC、PA的中点，EF⊥PB交PB于点F．
（1）求证：D、E、F、G四点共面；
（2）设Q是线段AD的中点，求直线FQ与平面DFG所成角的正弦值．

21．（12分）已知双曲线C的离心率，左焦点F1（﹣c，0）到其渐近线的距离为．
（1）求双曲线C的方程；
（2）设T是y轴上的点，过T作两直线分别交双曲线C的左支于P、Q两点和A、B两点，若两点的中点为M，A，B两点的中点为N，O为坐标原点，求两直线OM和ON的斜率之和．
22．（12分）我们知道，函数y＝f（x）的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x）为奇函数，有同学发现了更一般结论：函数y＝f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x+a）﹣b为奇函数．试根据此结论解答下列问题：
（1）若函数y＝g（x）满足对任意的实数m，n，恒有g（m+n）＝g（m）+g（n）﹣1，求g（0）的值，并判断此函数图象是否中心对称图形？若是，请求出对称中心坐标；
（2）若（1）中的函数还满足m＞0时，g（m）＞1，求不等式g（3x2﹣2x﹣1）＞1的解集；
（3）若函数．若h（x）与g（x）的图象有3个不同的交点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）其中x1＜x2＜x3，且．，求g（1）值．

2021-2022学年浙江省杭州市七县市、八县区高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知全集U＝{0，﹣1，﹣2，﹣3，﹣4}，集合M＝{0，﹣1，﹣2}，N＝{0，﹣3，﹣4}，则（∁UM）∩N＝（　　）
A．{0} B．{﹣3，﹣4} C．{﹣1，﹣2} D．∅
【解答】解：∵全集U＝{0，﹣1，﹣2，﹣3，﹣4}，集合M＝{0，﹣1，﹣2}，N＝{0，﹣3，﹣4}
∴∁UM＝{﹣3，﹣4}，（∁UM）∩N＝{﹣3，﹣4}
故选：B．
2．（5分）若复数z满足z（1+2i）＝3﹣4i（其中i为虚数单位），则z的虚部是（　　）
A．2i B．﹣2i C．2 D．﹣2
【解答】解：∵z（1+2i）＝3﹣4i，
∴，
∴z的虚部为﹣2．
故选：D．
3．（5分）已知x2+y2﹣6x﹣7＝0与抛物线y＝ax2（a＞0）的准线相切，则a＝（　　）
A． B．16 C． D．8
【解答】解：圆x2+y2﹣6x﹣7＝0转化为（x﹣3）2+y2＝16，
∵抛物线y＝ax2（a＞0）的准线与圆x2+y2﹣6y﹣7＝0相切，
抛物线y＝ax2（a＞0）的准线为y，
∴4，解得a．
故选：A．
4．（5分）下列命题中，不正确的是（　　）
A．若事件A，B互斥，则P（A∪B）＝P（A）+P（B）
B．若事件A，B互为独立，则
C．若事件A，B，C两两互斥，则P（A∪B∪C）＝P（A）+P（B）+P（C）
D．若事件A，B，C两两独立，则P（ABC）＝P（A）P（B）P（C）
【解答】解：对于A，由互斥事件的性质得：
若事件A，B互斥，则P（A∪B）＝P（A）+P（B），故A正确；
对于B，由相互独立事件的性质得：
若事件A，B互为独立，则，故B正确；
对于C，由互斥事件的性质得：
若事件A，B，C两两互斥，则P（A∪B∪C）＝P（A）+P（B）+P（C），故C正确；
对于D，事件A、B、C两两独立，不能推出P（ABC）＝P（A）P（B）P（C），
例如：从1，2，3，4中随机选出一个数字，
记事件A＝“取出的数字为1或2”，B＝”取出的数字为1或3”，C＝“取出的数字为1或4”，
则AB＝BC＝AC＝ABC＝“取出的数字为1”，
P（A）＝P（B）＝P（C），
P（AB）＝P（AC）＝P（BC）＝P（ABC），
满足P（AB）＝P（A）P（B），P（AC）＝P（A）P（C），P（BC）＝P（B）P（C），
所以A、B、C两两独立，但是P（ABC）≠P（A）P（B）P（C），故D错误．
故选：D．
5．（5分）如图所示，是某厂生产的一批不倒翁型台灯外形，它由一个圆锥和一个半球组合而成，其中，圆锥的底面和球的直径都是0.2m，圆锥的高是0.24m．要对1000个这样的台灯表面涂一层胶，如果每平方米需要涂胶100克，则共需胶（　　）克．

A．340π B．440π C．4600π D．6600π
【解答】解：由题意圆锥的母线长为，
所以台灯表面积为S＝π×0.1×0.26+2π×0.12＝0.046π，
需胶重量为0.046π×100×1000＝4600π（克）．
故选：C．
6．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π），其图象关于点成中心对称，相邻两条对称轴的距离为，且对任意x∈R，都有，则在下列区间中，f（x）为单调递减函数的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）相邻两条对称轴的距离为，
∴其周期Tπ，解得ω＝2；
又其图象关于点成中心对称，
∴2×（）+φ＝kπ（k∈Z），又|φ|＜π，∴φ，
∴f（x）＝sin（2x），当x时，f（x）＝﹣1为最小值，
满足对任意x∈R，都有；
令2kπ2x2kπ，得kπx≤kπ（k∈Z），
∴f（x）的单调递减区间为[kπ，kπ]（k∈Z），
令k＝0，得f（x）的单调递减区间为[，]，
观察四个选项只有⊆[，]，故选项C符合题意，
故选：C．
7．（5分）已知函数的零点分别为a，b，c，下列各式正确的是（　　）
A．a+b＞0 B．2a+log2b＞0 C．b＞c D．2a＞c2
【解答】解：根据题意，在同一坐标系中作出函数y＝﹣x，y＝2x，y＝log2x和y＝﹣x2的图象，
函数的零点分别为a，b，c，
设y＝﹣x和y＝2x的交点为A，则A的横坐标为a，则A的坐标为（a，2a）或（a，﹣a），
设y＝﹣x和y＝log2x的交点为B，则B的横坐标为b，B的坐标为（b，log2b）或（b，﹣b），
设y＝﹣x2和y＝log2x的交点为C，则C的横坐标为c，则有c2＝﹣log2c，
函数y＝2x，y＝log2x互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，而y＝﹣x的图象也关于直线y＝x对称，
故AB两点也关于直线y＝x对称，而A、B都在直线y＝﹣x上，
则A、B两点关于原点对称，
依次分析选项：
对于A，A、B两点关于原点对称，则有a+b＝0，A错误，
对于B，2a＝﹣a，log2b＝﹣b，则2a+log2b＝﹣（b+a）＝0，B错误；
对于C，由函数的图象可得：b＜c，C错误；
对于D，2a﹣c2＝﹣a﹣c2＝b﹣c2＝log2c﹣log2b，又由b＜c，则2a﹣c2＞0，即2a＞c2，D正确；
故选：D．

8．（5分）a为实数，函数f（x）＝|x2﹣2ax|在区间[0，1]上的最大值记为g（a）．当g（a）取得最小值时，a＝（　　）
A． B． C． D．1
【解答】解：当a≤0时，函数f（x）＝x2﹣2ax在I0，1]单调递增，故g（a）＝f（1）＝1﹣2a；
当a＞1时，函数h（x）＝x2﹣2ax在[0，1]单调递减，此时g（a）＝2a﹣1；
当a≤1时，此时f（0）＝0，f（1）＝|1﹣2a|＝2a﹣1，f（a）＝a2，
而f（a）﹣f（1）＝（a﹣1）2≥0，故g（a）＝a2；
当0＜a时，f（0）＝0，f（1）＝|1﹣2a|＝1﹣2a，f（a）＝a2，g（a）＝max{f（1），f（a）}，
由f（a）＞f（1），解得a1，
则1＜a时，g（a）＝a2；当0＜a1时，g（a）＝1﹣2a，
综上所述，g（a），
而a1时，1﹣2a的最小值为3﹣21．
当1＜a≤时，3﹣2a2≤1．
当a＞1时，2a﹣1＞1．
综合上述：当g （a）取得最小值时，a1．
故选：A．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
（多选）9．（5分）若椭圆的焦点为F1（﹣c，0），F2（c，0）（c＞0），长轴长为2a，则椭圆上的点（x，y）满足（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由椭圆的定义可知A正确；
B中，由椭圆的标准方程：1可得1⇒1，（y≠0）时才成立，所以B不正确；
C中，由椭圆的第二定义可得P到右焦点的距离与到右准线的距离为离心率，即，所以C不正确；
D中由椭圆的第二定义可得|x|，因为x，所以ax，所以D正确；
故选：AD．
（多选）10．（5分）设α，β为两个平面，则α∥β的必要不充分条件是（　　）
A．α内有无数条直线与β平行
B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β垂直于同一条直线
D．α，β垂直于同一平面
【解答】解：对于A：α内有无数条直线与β平行不能推出α∥β，但由α∥β则可以推出β平行于α内的任意一条直线，
故α有无数条直线与平行β是α∥β必要不充分条件；
对于B：α内有两条相交直线与β平行，则一定能推出α∥β，故α内有两条相交直线与β平行是α∥β的充分条件；
对于C：α，β垂直于同一条直线，则一定能推出α∥β，由α∥β则能推出α，β垂直于于同一条直线，
故α，β垂直于同一条直线是α∥β的充要条件．
对于D：α，β垂直于同一平面则不一定能推出α∥β，但由α∥β则能推出α，β垂直于同一平面，
故α，β垂直于同一平面是α∥β必要不充分条件；
故选：AD．
（多选）11．（5分）已知点A、B、P在⊙C上，则下列命题中正确的是（　　）
A．，则的值是
B．，则的值是
C．，则的范围是
D．，且，则λ+μ的范围是
【解答】解：由，
当时，，则A错，B正确；
由，
因为，所以的范围是，故C正确；
设⊙C方程为，
由得，
则，得，
所以，故D正确．
故选：BCD．
（多选）12．（5分）定义全集U的子集M的特征函数．已知A⊆U，B⊆U，则以下结论中正确的是（　　）
A．若A⊆B，则对于任意x∈U，都有fA（x）≤fB（x）
B．对于任意x∈U，都有
C．对于任意x∈U，都有fA∩B（x）＝fA（x）•fB（x）
D．对于任意x∈U，都有fA∪B（x）＝fA（x）+fB（x）
【解答】解：对于A，fA（x），fB（x），
而∁UA中可能有B的元素，但∁UB中不可能有A的元素
∴fA（x）≤fB（x），
即对于任意x∈U，都有fA（x）≤fB（x）故A正确；
对于B，∵f∁UA（x），
结合fA（x）的表达式，可得f∁UA（x）＝1﹣fA（x），故B正确；
对于C，fA∩B（x）•fA（x）•fB（x），故C正确；
对于D，fA∪B（x），
当某个元素x在A中但不在B中，由于它在A∪B中，故fA∪B（x）＝1，
而fA（x）＝1且fB（x）＝0，可得fA∪B（x）≠fA（x）+fB（x），故D不正确．
故选：ABC．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，16题第1空2分，第2空3分。
13．（5分）　　．
【解答】解：原式＝﹣2，
故答案为：．
14．（5分）已知，则sinα＝　　．
【解答】解：因为tanα0，2π＜α＜3π，
所以α＜3π，
所以cosα，可得sinα＝cosα•tanα．
故答案为：．
15．（5分）某地现有耕地10000公顷．规划10年后粮食单产比现在增加20%，人均粮食占有量比现在至少提高16%．如果人口年增长率为3‰（即千分之三），那么耕地平均每年至多只能减少 　3.9　公顷（精确到小数点后一位，1.00310≈1.0304）．
（备注：粮食单产，人均粮食占有量）
【解答】解：设耕地平均每年至多只能减少x公顷，又设该地区现有人口为P人，
粮食单产为M吨/公顷，由题意可得，
化简可得x3.9，
即x≤4，所以耕地平均每年至多只能减少3.9公顷，
故答案为：3.9．
16．（5分）过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在直线上，则∠ACB的最大值是 　90°　；若△ACB为正三角形，则其边长为 　6p　．
【解答】解：由抛物线的方程可得准线方程为x，
令A，B到准线的距离dA，dB，弦AB的中点N到准线的距离为dN，
则dN，即以AB为直径的圆与准线相切，
所以准线与以AB为直径的圆只有一个切点，其它点都在圆外，当C点与切点重合时，∠ACB最大为90°，当C不与切点重合时，∠ACB为锐角，
所以∠ACB最大角为90°；
若△ACB为正三角形，焦点F（，0），显然直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程 为x＝my，
设A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB的中点N（x0，y0），
联立，整理可得：y2﹣2mpy﹣p2＝0，则y1+y2＝2mp，y1y2＝﹣p2，
则x1+x2＝m（y1+y2）+p＝2m2p+p，y0＝mp，x0＝m2p，即N（m2p，mp），
弦长|AB|＝x1+x2+p＝2m2p+2p，
直线CN的方程为：y﹣mp＝﹣m（x﹣m2p），令x，
可得y＝m3p+2mp，即C（，m3p+2mp），
因为|CN||AB|，
即（m2p）2+（mp﹣m3p﹣2mp）2（2m2p+2p）2，整理可得：m2＝2，
所以|AB|＝6p，
即等边三角形的边长为：6p，
故答案为：90°，6p．

四、解答题：本题包括6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，在①，②2acosA＝bcosC+ccosB，③（a+b）（sinA﹣sinB）＝（c﹣b）sinC这三个条件中任选一个，并解答下列问题：
（1）求角A；
（2）若b＝5，c＝3，求BC边上的中线长．
【解答】解：（1）选①，可得sinAsinBsinBcosA，
由于sinB≠0，可得sinAcosA，
则tanA，
由于0＜A＜π，可得A；
选②2acosA＝bcosC+ccosB，可得2sinAcosA＝sinBcosC+sinCcosB＝sin（B+C）＝sinA，
由于sinA≠0，可得2cosA＝1，即cosA，
由于0＜A＜π，可得A；
选③（a+b）（sinA﹣sinB）＝（c﹣b）sinC，
可得（a+b）（a﹣b）＝（c﹣b）c，
化为c2+b2﹣a2＝bc，
则cosA，
由于0＜A＜π，可得A；
（2）设BC边上的中线为AD，
由（），可得2（22+2•）
（9+25+2×5×3），
所以BC边上的中线长为．
18．（12分）某城市为节能减排，提出了在保障生活必需的基础上，“低碳生活，节约用电”的倡议．以下是某社区随机提取的100户居民的月平均用电量（单位：度）的数据，根据这些数据，以[160，180），[180，200），[200，240），[240，260），[260，280），[280，300]分组的频率分布直方图如图所示．
（1）求月平均用电量的25%分位数（精确到小数点后1位）；
（2）在月平均用电量最小组[160，180）和最大组[280，300]用户中，各随机抽取1户到社区做用电情况交流，其中最小组的甲与最大组的乙恰有一人被选到的概率．

【解答】解：（1）由图可得月平均用电量在[160，180）的频率为0.002×20＝0.04，
[180，200）的频率为0.0095×20＝0.19，
[200，220 ）的频率为0.011×20＝0.22，
0.04+0.19＝0.23＜0.25，0.04+0.19+0.22＞0.25，
所以25%分位数一定位于[200，220）内，
由，
所以，月平均用电量的25%分位数约为 201.8．
（2）最小组中有4户，设为甲，A，B，C，最大组有 5 户，设为乙，a，b，c，d，
各随机抽取1户，有（ 甲，a），（甲，b ），（甲，c ），（甲，d），（甲，乙），
（A，乙 ），（A，a），（A，b），（A，c），（A，d），
（B，乙），（B，a），（B，b），（B，c），（B，d），
（C，乙），（C，a），（C，b），（C，c），（C，d），
共20种可能，
其中最小组的甲与最大组的乙恰有一人被选到有：（甲，a ），（甲，b ），（甲，c ），（甲，d ），（A，乙），（B，乙），（C，乙），共7种，
甲、乙被选到的事件分别记为 A、B，
所以最小组的甲与最大组的乙恰有一人被选到的概率为：．
19．（12分）莱昂哈德•欧拉（LeonhardEuler，瑞士数学家），1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心（三条中线的交点）、垂心（三条高线的交点）和外心（三条中垂线的交点）共线．这条线被后人称为三角形的欧拉线．已知△QMN的顶点M（1，0），N（3，﹣2），Q（1，﹣4）．
（1）求△QMN的欧拉线方程；
（2）记△QMN的外接圆的圆心为C，直线l：kx﹣y﹣k﹣1＝0（k∈R）与圆C交于A，B两点，且C∉l，求△ABC的面积最大值．
【解答】解：（1）△QMN的顶点M（1，0），N（3，﹣2），Q（1，﹣4），
利用两点之间距离公式知|MN|＝|QN|＝2，|MQ|＝4，
又|MN|2+|QN|2＝|MQ|2，所以△QMN为等腰直角三角形，
MQ的中垂线方程是y＝﹣2，也是∠MNQ的平分銭，三线合一，
所以欧拉线方程是y＝﹣2．
（2）由（l）知△QMN为等腰直角三角形，故外心为斜边MQ中点，
即外心是C（1，﹣2），r＝2，
圆心C到直线的距离d1，|AB|＝2，
所以S△ABC|AB|•d，
利用二次函数性质知，当d2＝1时，即k＝0时，S△ABC的最大值为．
20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，二面角P﹣BC﹣A的大小是45°，E、G分别是PC、PA的中点，EF⊥PB交PB于点F．
（1）求证：D、E、F、G四点共面；
（2）设Q是线段AD的中点，求直线FQ与平面DFG所成角的正弦值．

【解答】解：（1）证明：∵在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，
∴CD⊥BC，PC⊥BC，
∴∠PCD是二面角P﹣BC﹣A的大小，
∵二面角P﹣BC﹣A的大小是45°，∴∠PCD＝45°，
∵E是PC中点，∴DE⊥PC，
∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC，
∵BC⊥CD，且PD∩CD＝D，∴BC⊥平面PCD，
∵DE⊂平面PCD，∴BC⊥DE，
∵DE⊥PC，且BC∩PC＝C，∴DE⊥平面PBC，
∴DE⊥PB，同理，DG⊥PB，
又PB⊥EF，EF∩DE＝E，∴PB⊥平面DEF，
∴PB⊥DF，且DF∩DG＝D，PB⊥DG，
∴PB⊥平面DFG，
∴平面DFG与平面DEF是同一平面，∴D、E、F、G四点共面．
（2）以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，
设AD＝2，则Q（1，0，0），P（0，0，2），B（2，2，0），E（0，1，1），G（1，0，1），
（2，2，﹣2），设（2λ，2λ，﹣2λ），（λ＞0），
则（2λ，2λ﹣1，﹣2λ+1），
由4λ+4λ﹣2+4λ﹣2＝0，得λ，
∴（），
（），
由（1）知（2，2，﹣2）是平面DFG的法向量，
设直线FQ与平面DFG所成角为θ，
则直线FQ与平面DFG所成角的正弦值为：
sinθ．

21．（12分）已知双曲线C的离心率，左焦点F1（﹣c，0）到其渐近线的距离为．
（1）求双曲线C的方程；
（2）设T是y轴上的点，过T作两直线分别交双曲线C的左支于P、Q两点和A、B两点，若两点的中点为M，A，B两点的中点为N，O为坐标原点，求两直线OM和ON的斜率之和．
【解答】解：（1）由题意可知双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的实半轴，虚半轴分别为a，b，
则双曲线的渐近线方程为y，
则左焦点到渐近线的距离为d，
而双曲线的离心率为e，解得a2＝3，
则双曲线的方程为；
（2）设T（0，m），直线AB：y＝k1x+m，A（x1，y1），B（x2，y2），
直线PQ的方程为：y＝k2x+m，P（x3，y3），Q（x4，y4），
联立，消去y整理可得：（2﹣k）x，
则，所以，
同理可得，，
因为，所以，
所以，化简可得k，
因为k1≠k2，所以k1＝﹣k2，即k1+k2＝0，
因为k，k，
所以kOM+kON＝0．
22．（12分）我们知道，函数y＝f（x）的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x）为奇函数，有同学发现了更一般结论：函数y＝f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x+a）﹣b为奇函数．试根据此结论解答下列问题：
（1）若函数y＝g（x）满足对任意的实数m，n，恒有g（m+n）＝g（m）+g（n）﹣1，求g（0）的值，并判断此函数图象是否中心对称图形？若是，请求出对称中心坐标；
（2）若（1）中的函数还满足m＞0时，g（m）＞1，求不等式g（3x2﹣2x﹣1）＞1的解集；
（3）若函数．若h（x）与g（x）的图象有3个不同的交点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）其中x1＜x2＜x3，且．，求g（1）值．
【解答】解：（1）取m＝n＝0，得g（0）＝g（0）+g（0）﹣1，所以g（0）＝1，取m＝x，n＝﹣x，得g（0）＝g（x）+g（﹣x）﹣1，于是g（﹣x）﹣1＝﹣（g（x）﹣1），
即y＝g（x）﹣1是奇函数，
所以g（x）是中心对称图形，其对称中心为（0，1）；
（2）若m＞0时，g（m）＞1，则g（n+m）＝g（n）+g（m）﹣1＞g（n），
所以g（x）是R上单调递增函数，
由g（3x2﹣2x﹣1）＞1＝g（0）得，3x2﹣2x﹣1＞0，解得x＞1或x，
所以不等式的解集为（）∪（1，+∞）；
（3）因为h（x）+h（﹣x）2，于是h（﹣x）﹣1＝﹣（h（x）﹣1），
所以h（x）的图象也是以（0，1）为中心的对称图形，
又g（x）的图象也是以（0，1）为中心的对称图形，
因此B（0，1），x1+x3＝0，y1+y3＝2y2＝2，
|AC|＝2|BC|＝22，
解得x3＝2，
∴g（x3）＝h（x3），即g（2），
又g（2）＝2g（1）﹣1，
∴g（1）．
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