2022-2023学年山东省日照市高一上学期期末校际联合考试数学试题（解析版）

2022-2023学年山东省日照市高一上学期期末校际联合考试数学试题

一、单选题

1．设集合，，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】直接利用并集的概念求解.

【详解】解：因为，，

所以.

故选：C

2．已知符号函数则“” 是“” 的（    ）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据符号函数的定义及充分条件与必要条件的定义求解即可.

【详解】若，则；

若，则同号，所以．

故“”是“”的必要不充分条件．

故选:C.

3．容量为100的样本，其数据分布在，将样本数据分为4组：，得到频率分布直方图如图所示，则下列说法不正确的是

A．样本数据分布在的频率为0.32 B．样本数据分布在的频数为40

C．样本数据分布在的频数为40 D．估计总体数据大约有10%分布在

【答案】D

【分析】根据频率分布直方图对给出的四个选项逐一分析、判断后可得结果．

【详解】对于A，由图可得样本数据分布在的频率为，所以A正确．

对于B，由图可得样本数据分布在的频数为，所以B正确．

对于C，由图可得样本数据分布在的频数为，所以C正确.

对于D，由图可估计总体数据分布在的比例为，故D不正确．

故选D．

【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，考查识图和用图解题的能力，解题时容易出现的错误是误认为图中小长方形的高为频率，求解时要注意这一点．

4．已知命题：“，”，则为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【分析】利用存在量词命题的否定为全称量词命题，通过改变量词否定结论即可解答.

【详解】因为命题为：“，”，

所以为：“，”

故选：B.

5．为了给地球减负，提高资源利用率，年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚，假设某市年全年用于垃圾分类的资金为万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长，则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过亿元的年份是（    ）（参考数据：，）

A．年 B．年 C．年 D．年

【答案】C

【分析】可设经过年后，投入资金为万元，可得出，解该不等式即可.

【详解】由题意，可设经过年后，投入资金为万元，则.

由题意有，即，则，

所以，所以，即年该市全年用于垃圾分类的资金开始超过亿元.

故选：C.

6．已知函数是定义在的奇函数，且在上单调递增，若，则实数t的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据奇函数将化简一下，再根据是定义在上的增函数，建立不等式组进行求解即可．

【详解】是奇函数

等价为，

在上单调递增,且是奇函数，

在上单调递增，

，即

解得：．

故选：B

7．有5个相同的球，分别标有数字，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，则（    ）

A．甲与丙相互独立 B．乙与丁不相互独立

C．甲与丁相互独立 D．乙与丙相互独立

【答案】C

【分析】首先令事件：“第一次取出的球的数字是1”， 事件：“第二次取出的球的数字是2”， 事件：“两次取出的球的数字之和是”， 事件：“两次取出的球的数字之和是6”，得到，，，，再根据独立事件的性质依次判断选项即可.

【详解】从5个标有数字的小球中有放回的随机取两次，每次取1个球，

共有个基本事件，

令事件：“第一次取出的球的数字是1”，

事件包含：，，，，共5个基本事件，

则，

令事件：“第二次取出的球的数字是2”，

事件包含：，，，，共5个基本事件，

则，

令事件：“两次取出的球的数字之和是”，

事件包含：，，，，共4个基本事件，

则，

令事件：“两次取出的球的数字之和是6”，

事件包含：，，，，共5个基本事件，

则，

对选项A，，故A错误.

对选项B，，，

所以乙与丁相互独立，故B错误.

对选项C，，，

所以甲与丁相互独立，故C正确.

对选项D，，，

所以乙与丙不相互独立，故D错误.

故选：C

8．已知，则与的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．不确定

【答案】C

【分析】令，结合题意可知，进而有，再利用对数函数的单调性和运算性质即可求解

【详解】令，

则当时，，当时，；

由，得

考虑到得，

由，得，

即

故选：C

二、多选题

9．幸福指数是某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度指标，常用内的一个数来表示，该数越接近表示满意程度越高．现随机抽取位小区居民，他们的幸福指数分别是，则（    ）

A．这组数据的极差是 B．这组数据的平均数是

C．这组数据的第分位数是 D．这组数据的方差是

【答案】AD

【分析】根据数据的极差、平均数、百分位数、方差计算即可.

【详解】解：极差为9－3=6，故A正确；

平均数，故B错误；

因为，所以从小到大排序第6个数7为第70%分位数，故C错误；

，故D正确．  

故选：AD.

10．已知函数定义域为，且，，，则（    ）

A．的图象关于直线对称 B．

C．的图象关于点中心对称 D．为偶函数

【答案】BCD

【分析】由条件求，证明的图象不关于直线对称，判断A，根据周期函数定义结合条件证明为周期函数，周期为4，判断B，根据奇函数定义证明函数为奇函数，判断C，根据偶函数定义证明为偶函数，判断D.

【详解】对于A，因为，所以，

又，所以，

假设的图象关于直线对称，则，矛盾，

故A错误；

对于B, 函数定义域为，且，则，

由得，则，

所以，故，故B正确；

对于C，因为，所以，

又因为，所以，

所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，

故的图象关于点中心对称，

又函数,是周期函数，周期为4，

所以的图象关于点中心对称，

故C正确；

对于D，由可得，

由得，

故，即为偶函数，D正确.

故选：BCD.

11．已知，，，则下列不等式恒成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】由、结合条件等式可判断A、B，由结合条件等式可判断C、由结合条件等式可判断D.

【详解】对于A，B，由，，利用基本不等式，可得，解得，

又（当且仅当时，等号成立），而，所以，所以，故B正确，A错误：

对于C，由，，利用基本不等式，

变形得（当且仅当时，等号成立），解得，

即，故C正确；

对于D，由，，利用基本不等式化简

得（当且仅当时，等号成立），

解得，故D错误；

故选：BC

12．设函数，若关于x的方程有四个实根（），则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．的最小值为16

【答案】ABD

【分析】作出函数的大致图象，由图象分析可得，，可判断A，B；由解出可判断C；又因为，然后表示出，利用基本不等式求出的最小值可判断D.

【详解】作出函数的大致图象，如图所示：

要使直线与的图像有四个不同的交点，则，故A正确；

当时，对称轴为，所以，故B正确；

由，得或，则，

又，所以，

所以，故C错误；

所以，且，

，

当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为，

故D正确.  

故选：ABD

三、填空题

13．已知函数为幂函数，且在区间上单调递增，则______.

【答案】

【分析】利用幂函数的定义及性质即可求解.

【详解】因为函数为幂函数，且在区间上单调递增，

所以，解得或(舍)，

所以.

故答案为：.

14．已知函数，则的值为______.

【答案】

【分析】计算得出，结合函数解析式可得出，即可得解.

【详解】因为，所以，，

所以，.

故答案为：.

15．已知函数的值域为，其中，则的最小值为______.

【答案】

【分析】根据二次函数的值域确定，得，且可知，再结合基本的不等式即可得得最小值.

【详解】解：函数的值域为，则有，即，且，

所以，

又由，所以，则

，当且仅当且时等号成立，

即的最小值为.

故答案为：.

16．对于定义在区间上的函数，若满足对，且时都有，则称函数为区间上的“非减函数”，若为区间上的“非减函数”且，，又当时，恒成立，则______.

【答案】4

【分析】利用赋值法，先求得，然后根据“非减函数”的定义以及不等式恒成立的知识求得，，进而求得正确答案.

【详解】因为，所以，

又由，令，得，即；

令，得，即；

令，得，

因为当时，恒成立，故，

由于为区间上的“非减函数”，

所以，故，即

由于对，总有，故；

而当时，，

由，故时，.

因为，，所以，，

所以.   

故答案为：

四、解答题

17．已知全集，集合，集合.条件①；②是的充分条件：③，使得.

(1)若，求；

(2)若集合A，B满足条件___________.（三个条件任选一个作答），求实数m的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）可将带入集合B中，得到集合B的解集，即可求解出答案；

（2）可根据题意中三个不同的条件，列出集合A与集合B之间的关系，即可完成求解.

【详解】（1）若，则，

（2）（2）若选①因为

所以，

则 ，

所以

所以实数的取值范围为.

若选②是的充分条件，则，

则，

所以

所以实数的取值范围为.

若选③，使得，则，

则，

所以

所以实数的取值范围为.

18．已知函数．

(1)若不等式的解集为，求，的值；

(2)若，求不等式的解集．

【答案】(1)，；

(2)答案见解析.

【分析】（1）由题意可得和是方程的两个根，且，根据韦达定理即可求解；

（2）等式即，对分类讨论即可求解.

【详解】（1）因为不等式的解集为，

所以和是方程的两个根，且，

可得，解得，．

（2）当时，不等式即，即，

①当时，，解得；

②当时，不等式可化为，解得或；

③当时，不等式化为，

若，则；

若，则；

若，则，

综上所述，当时，解集为；当时，解集为或；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为．

19．我省从2021年开始，高考不分文理科，实行“3+1+2”模式，其中“3”指的是语文、数学，外语这3门必选科目，“1”指的是考生需要在物理、历史这2门首选科目中选择1门，“2”指的是考生需要在思想政治、地理、化学、生物这4门再选科目中选择2门。已知福建医科大学临床医学类招生选科要求是首选科目为物理，再选科目为化学、生物至少1门。

(1)从所有选科组合中任意选取1个，求该选科组合符合福建医科大学临床医学类招生选科要求的概率；

(2)假设甲、乙、丙三人每人选择任意1个选科组合是等可能的，求这三人中恰好有一人的选科组合符合福建医科大学临床医学类招生选科要求的概率.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由古典概型的概率公式求解，

（2）由概率乘法公式与加法公式求解

【详解】（1）用a，b分别表示“选择物理”“选择历史”，用c，d，e，f分别表示选择“选择化学”“选择生物”“选择思想政治”“选择地理”，

则所有选科组合的样本空间，

∴，

设“从所有选科组合中任意选取1个，该选科组合符合福建医科大学临床医学类招生选科要求”，

则，

∴，

∴.

（2）设甲、乙、丙三人每人的选科组合符合医科大学临床医学类招生选科要求的事件分别是，，，

由题意知事件，，相互独立

由（1）知.

记“甲、乙、丙三人中恰好有一人的选科组合符合福建医科大学临床医学类招生选科要求”，

则

易知事件，，两两互斥，

根据互斥事件概率加法公式得

.

20．已知函数（是常数）．

(1)若为奇函数，求的值域；

(2)设函数，若对任意，以，，为边长总可以构成三角形，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)根据奇函数性质求a，再结合指数函数的性质求的值域；

(2)转化条件为，令，按照、、、分类，结合二次函数的性质即可得解.

【详解】（1）由题意，，即，

整理得：，

所以，即，   

故；由可得，

所以，

故函数的值域为；

（2）由题意，若对任意，以，，为边长总可以构成三角形，即当时，，   

，

令，则，其对称轴为，

①当，即时，此时在单调递减，

所以即，

解得或，

此时；    

②当，即时，

此时在上单调递减，在上单调递增，

由，可得，无解；

③当，即时，

此时在上单调递减，在上单调递增，

由，可得，无解；

④当，即时，此时在单调递增，

由，可得，

解得或，此时；  

综上所述，实数的取值范围为

【点睛】本题解决的关键在于将条件对任意，以，，为边长总可以构成三角形转化为.

21．设函数.

(1)当时，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；

(2)设，且函数在区间上存在零点，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）分类讨论，和时，不等式在上恒成立，求解即可；

（2）函数在区间上存在零点，即方程在，上有解，分类求出的值域即可.

【详解】（1）当时，若不等式在，上恒成立；

当时，不等式恒成立，则；

当，则在，上恒成立，

即在，上恒成立，

因为在，上单调增，，，

则，解得，；

则实数的取值范围为，；

（2）函数在，上存在零点，即方程在，上有解；

设

①当时，则，，，且在，上单调递增，

所以，（2），

则当时，原方程有解，则；

②当时，，

则在上单调增，在上单调减，在上单调增；

所以，，，

当，即时，，

则当时，原方程有解，则；

当，即时，，

则当时，原方程有解，则；

综上，当时，实数的取值范围为，；

当时，实数的取值范围为.

22．已知函数，函数.

(1)若关于的方程在区间上有实数根，求实数的取值范围；

(2)设的反函数为，且，，若对任意的，均存在，满足，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设，将所求问题转化为在区间上有实数根，求出在区间上的值域即可得出答案；

（2）对任意的，均存在，满足，转化为求解，然后根据参数的取值范围进行分类讨论，先求得的最大值，然后转化为恒成立问题即可.

【详解】（1）由，可得：，设，

则，又，故，

因此当时，取得最小值为；

当时，取得最大值为， 故.

所以实数的取值范围为.

（2）的反函数为，

若对任意的，均存在，满足 ，则只需恒成立即可.

由已知，设，因为，故.

设，在上可分如下情形讨论：

①当时，，此时，不满足恒成立.   

②当时，，此时只需在上恒成立，

则只需：在上恒成立，

因为在上单调递增，

故只需：时，不等式成立即可，解得：，与矛盾；

③当时，，此时，只需保证：

即只需：在上恒成立；

当时，只需保证：当时，成立

故有：，解得：，

又，故有：；

当时，只需保证：当时，成立，

此时解得，又故有：；

故当时，.

综上所述，实数的取值范围为.