2022-2023学年河北省石家庄市第二中学高一上学期12月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年河北省石家庄市第二中学高一上学期12月月考数学试题

一、单选题

1．已知，，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据集合交集、并集、补集的运算，可得答案.

【详解】，，则.

故选：C.

2．已知函数和的图象如图所示，则函数的图象可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据函数和的性质和符号即可得到结论.

【详解】由已知，函数和均为偶函数，

所以，函数为偶函数；

又因为，当时，，，则应有恒成立.

只有A项符合要求.

故选：A.

3．下列各函数中，值域为的是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据指数、对数函数的性质分别求出函数的值域进行判断即可．

【详解】解：∵，∴的值域是R，不满足条件．

∵，则函数的值域为，不满足条件．

∵，即函数的值域为，满足条件．

∵，∴，不满足条件．

故选：C．

4．一个扇形的弧长与面积的数值都是3，则该扇形圆心角的弧度数为（　　）

A． B． C． D．2

【答案】C

【分析】由扇形的弧长公式和面积公式列方程组求解．

【详解】设扇形的圆心角的弧度数为α，半径为r，则解得

故选：C．

5．若是第四象限角，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求出的取值范围，结合诱导公式以及同角三角函数的基本关系可求得结果.

【详解】由已知可得，则，

所以，，

因此，.

故选：A.

6．函数在单调递增，且关于对称，若，则的的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由函数的对称性可求出函数关于轴对称，再由单调性将转化成不等式求解即可.

【详解】解：因为的图像关于直线对称，

所以的图像关于轴对称，则有，

又在上单调递增，

所以由可得，

解得，

故选：D.

7．设，，，则，，的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用对数函数的性质及放缩法有、，可比较，的大小，再由并构造，根据其单调性即可确定，的大小.

【详解】由题意，，，

∴，

由，则，而在上递增，

∴，故，即，

∴.

故选：C

8．已知函数，若关于x的方程有五个不同的实数根，则实数m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】作出的图象，令，则，由题意结合图象可知方程有两个不相等的根，且，或，，令，则结合一元二次方程根分布情况可求得结果.

【详解】的图象如下图，

令，则，

因为关于x的方程有五个不同的实数根，

所以由函数图象可知关于的方程有两个不相等的实根，且，或，，

令，

若，则

，即，解得，

若，，则，无解，

综上，，

故选：C

二、多选题

9．设a，b，c都是正数，且，那么（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】利用与对数定义求出，，，再根据对数的运算性质可得，然后进行化简变形即可得到.

【详解】由于，，都是正数，故可设，

，，，则，，.

，，即，去分母整理得，.

故选AD.

【点睛】本题考查对数的定义及运算性质，属于基础题.

10．下列函数中，最小正周期为的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】利用特殊值排除B，利用图象以及三角函数最小正周期的知识求得正确答案.

【详解】A选项，的图象如下图所示，由此可知的最小正周期为.

B选项，令， ，

，所以B选项错误.

C选项，令，，

所以不是的最小正周期.

D选项，对于函数，当时，，

当时，，

所以，其最小正周期为，D选项正确.

故选：AD

11．已知，关于一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则的值可以是（    ）

A．6 B．7 C．8 D．9

【答案】ABC

【分析】利用对应二次函数的性质，结合题设不等式解集仅有3个整数可得求a的范围，即知其可能值.

【详解】由开口向上且对称轴为，

∴要使题设不等式解集有且仅有3个整数，则，解得，

∴的可能值A、B、C.符合.

故选：ABC.

12．已知函数的定义域为，若对于任意分别为某个三角形的边长，则称为“三角形函数”，其中为“三角形函数”的函数是（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】ACD

【分析】分别选项中函数的最值，根据条件转化为判断是否恒成立，即可判断选项.

【详解】由题可知“三角形函数”的函数满足恒成立，

①，则,

则恒成立，则满足条件；

②，

当时，，

所以当时，函数取得最小值，当时，函数取得最大值，，

则不恒成立，则不满足条件；

③函数单调递增，，，满足条件恒成立，故满足条件；

④，，则

，

所以，则恒成立，故满足条件.

故选：ACD.

三、填空题

13．在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则______．

【答案】

【分析】由诱导公式求出点的坐标，由三角函数的定义求出的值，再由诱导公式即可求解.

【详解】因为，，

因为角的终边经过点，

因为，所以，

所以

故答案为：.

14．已知幂函数的图像过点，则不等式的解集为__________．

【答案】##

【分析】根据题意，求出函数，结合单调性与一元二次不等式，即可求解.

【详解】因幂函数的图像过点，所以设且，解得，

又因在上单调递增，且，

所以，解得.

故答案为：.

15．已知在区间上单调递减，则实数的取值范围是____________.

【答案】

【分析】根据复合函数单调性的判断方法,结合对数函数的定义域,即可求得的取值范围.

【详解】在区间上单调递减

由对数部分为单调递减,且整个函数单调递减可知

在上单调递增,且满足

所以,解不等式组可得

即满足条件的的取值范围为

故答案为:

【点睛】本题考查了复合函数单调性的应用,二次函数的单调性,对数函数的性质,属于中档题.

16．已知关于x的方程在区间有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为______________.

【答案】

【分析】经整理可得，故构造函数，在上单调递增可得，转化为在上有两个不相等的实数根，再根据对勾函数的图像与性质，即可得解.

【详解】

由

可得：，

构造函数，

由在上都为增函数，

则在上单调递增，

故由，就有，

即在上有两个不相等的实数根，

即在上有两个不相等的实数根，

如图考查对勾函数的图像，在时取最小值，

由，

所以若要两个交点可得，

实数a的取值范围为.

故答案为：.

四、解答题

17．已知求：

(1)

(2)

【答案】(1)0

(2)

【分析】（1）根据给定条件，利用诱导公式及正余弦齐次式法计算作答.

（2）根据给定条件，利用正余弦齐次式法计算作答.

【详解】（1）因，所以.

（2）因，所以

.

18．已知命题：关于的方程的两根均在区间内.

(1)若命题为真命题，求实数的取值集合；

(2)设，是否存在实数，使得“”是“”的必要不充分条件，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由.

【答案】(1)；

(2)存在，.

【分析】（1）先求出的两个解，在根据两根均在区在内，列出不等式组，求出实数m的取值集合；

（2）根据p是q的必要不充分条件得到是的真子集，分与求解实数a的取值范围.

【详解】（1）由得:，

所以或，

因为命题p为真命题，所以，得.

所以

（2）集合，集合，

由题设，是的真子集，

当时，，解得:；满足题意

当时，或，解得：.

综上所述：，

所以存在实数，满足条件.

19．已知函数的最小正周期．

(1)求函数单调递增区间；

(2)若函数在上有零点，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由最小正周期求得，函数式化简后由正弦函数的单调性求得结论；

（2）转化为求在上的值域．

【详解】（1）因为函数的最小正周期，

所以，由于，所以．

所以，

所以函数单调递增区间，只需求函数的单调递减区间，

令，解得，

所以函数单调递增区间为．

（2）因为函数在上有零点，

所以函数的图像与直线在上有交点，

因为，

故函数在区间上的值域为

所以当时，函数的图像与直线在上有交点，

所以当时，函数在上有零点．

20．已知某种稀有矿石的价值y（单位：元）与其重量t（单位：克）的平方成正比，且3克该种矿石的价值为18000元.

(1)写出y（单位：元）关于t（单位：克）的函数关系式；

(2)若把一块该种矿石切割成重量比为1：4的两种矿石，求价值损失的百分率；

(3)把一块该种矿石切割成两块矿石，切割的重量比为多少时，价值损失的百分率最大.

注：价值损失的百分率×100%，在切割过程中的重量损耗忽略不计.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）由题意设，然后代入求解；

（2）先计算重量比为切割后的价值，然后代入价值损失的百分率公式求解；

（3）设一块该种矿石按重量比为切割成两块，然后计算价值损失的百分率，然后利用基本不等式求解最值.

【详解】（1）解：由题意可设，当时，，，

故.

（2）设这块矿石的重量为克，由（1）可知，按重量比为切割后的价值为，价值损失为，

价值损失的百分率为.

（3）设这块矿石的重量为克，由（1）可知，

按重量比为切割后的价值为，

价值损失为，

价值损失的百分率为

，

又，

当且仅当时取等号，即重量比为时，价值损失的百分率达到最大.

【点睛】解函数应用题的一般步骤：

(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．

(2)根据题意将实际问题抽象成函数问题．

(3)根据题意选择合适的函数模型求解．

21．设函数.

(1)判断函数的奇偶性并证明；

(2)设，若，求的取值范围.

【答案】(1)函数是奇函数，证明见解析

(2)答案见解析

【分析】（1）利用函数奇偶性的定义即可证明；

（2）先求出函数的单调性，利用单调性将不等式，转化为，再分类讨论m即可求出的取值范围.

【详解】（1）解：函数是奇函数，证明如下：

函数，，

因为，，且

所以，函数是奇函数.

（2）解：，设，

则，

，，

而，

故，即

在R上是增函数，

若，即

，即，

已知，令

解得或，

①当时，要使，则，

②当时，此时，

要使，则；

③当时，要使，则，

综上，若，当时，的取值范围为；当时，的取值范围为；当时，的取值范围为.

22．已知，其中，且函数为奇函数；

(1)若函数的图像过点，求的值域；

(2)设函数，若对任意，总存在唯一的使得成立，求实数的范围；

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由图像过及为奇函数，可求得解析式，后利用分类讨论，基本不等式结合函数奇偶性可得函数值域；

（2）经验证可得，当时，不合题意.当时，经计算可得，

对于，由图像分析可得答案.对于，由值域关系可得答案.

【详解】（1）函数为奇函数，可得，

即，则.

由的图像过，可得，即，解得；

所以.

当时，；

当时，，又，当时取等号，则.

又为奇函数得：时，

故值域为

（2）当时，；

当时，.

①当时，时；时不满足题设；

②当时，时，当取等号，又，则.

设，则任意，.

.

得在上单调递增，即在上单调递减.

注意到当时，，得在上单调递增，

当时，，得在上单调递减.

又令，.

得在上单调递增，则，

则.

由此可画出大致图像如下：

由图可得，当时满足题设；

③当时，时，，且在上单调递减.当时， ，得在上单调递增，

则此时，,即此时.

要使对任意，总存在使得成立，

则，又由单调性知，此时的是唯一的.

令，因均在R上单调递减，则在上递减，又，

则，即满足题设.

综上，的范围是.

【点睛】结论点睛：对于含有全称量词，特称量词的题目，有以下常见结论：

；

；

.