2022-2023学年贵州省安顺市高一上学期期末教学质量监测考试数学试题（解析版）

2022-2023学年贵州省安顺市高一上学期期末教学质量监测考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，，，则集合（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据交集的运算求出，然后根据补集的运算即可求出结果.

【详解】由已知可得，，所以.

故选：B.

2．下列集合中表示同一集合的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据集合元素的性质及集合相等定义判断即可.

【详解】对AD，两集合的元素类型不一致，则，AD错；

对B，由集合元素的无序性可知，，B对；

对C，两集合的唯一元素不相等，则，C错；

故选：B

3．已知扇形的面积为8，且圆心角弧度数为2，则扇形的周长为（    ）

A．32 B．24 C． D．

【答案】D

【分析】根据扇形面积和弧长公式即可求解.

【详解】圆心角，扇形面积，

即，得半径，

所以弧长，

故扇形的周长.

故选：D

4．下列函数中周期为，且为偶函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】按三角函数的周期公式和偶函数的定义式逐一检验排除即可.

【详解】A选项，，周期为，A不正确；

B选项，，周期为，且不是偶函数，B不正确；

C选项，，是偶函数，又，故其周期为，C正确；

D选项，周期为，D不正确；

故选：C.

5．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用对数函数、指数函数、正弦函数的性质比较大小即可.

【详解】，，，∴.

故选：B.

6．设，命题“存在，使方程有实根”的否定是（    ）

A．对，方程无实根 B．对，方程有实根

C．对，方程无实根 D．对，方程有实根

【答案】A

【分析】只需将“存在”改成“任意”，有实根改成无实根即可.

【详解】由特称命题的否定是全称命题，知“存在，使方程有实根”的否定是

对，方程无实根

故选：A

7．随着社会的发展，人与人的交流变得便捷，信息的获取、传输和处理变得频繁，这对信息技术的要求越来越高，无线电波的技术也越来越成熟.已知电磁波在空间中自由传播时能损耗公式为，其中D为传输距离单位：，F为载波频率单位：，L为传输损耗单位：若载波频率变为原来的100倍，传输损耗增加了60 dB，则传输距离变为原来的（    ）

A．100倍 B．50倍 C．10倍 D．5倍

【答案】C

【分析】由题可知，前后两传输公式作差，结合题设数量关系及对数运算，即可得出结果.

【详解】设是变化后的传输损耗，是变化后的载波频率，是变化后的传输距离，

则，，

，则，即，

从而，故传输距离变为原来的10倍.

故选：C

8．已知函数，若是的最小值，则实数a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先根据端点处的函数值，求得.然后讨论以及，即可得出实数a的取值范围.

【详解】由已知可得，，所以，解得.

当时，，

显然在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得最小值，于题意不符；

当时，，此时函数在上单调递减，在上单调递增，且满足，所以有是的最小值.

故选：A.

【点睛】思路点睛：利用单调性求参数的取值（范围）的思路是：根据其单调性直接构建参数满足的方程（组）（不等式（组））或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，还要注意衔接点的取值.

二、多选题

9．下列命题是真命题的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则（且）

【答案】AB

【分析】根据不等式的性质逐一判断选项ABC，根据对数函数的单调性即可判断选项D.

【详解】对于A：当，且，则，A正确；

对于B：当时，有，B正确；

对于C：当时，因为，所以，即，

不满足，C错误；

对于D：当时，函数在上单调递减，

若，则，D错误.

故选：AB.

10．下列函数中，最小值为4的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】配方即可判断A项；根据基本不等式以及等号成立的条件，即可判断B、C、D.

【详解】对于A项，，当时，等号成立，故A项正确；

对于B项，因为，所以.

，

当且仅当，即时，等号成立.

因为，所以，故B项错误；

对于C项，当时，，当且仅当，即时，等号成立.

当时，，当且仅当，即时，等号成立.所以，或，故C项错误；

对于D项，显然，所以，

当且仅当，即，时等号成立.所以，，故D项正确.

故选：AD.

11．已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A．的值域是R B．在定义域内是增函数

C．的最小正周期是 D．的解集是

【答案】AC

【分析】根据正切函数的性质，即可判断A项；求出函数的单调递增区间，即可判断B项；由周期公式，求出周期，即可判断C项；由时，由的解，即可得出，求解不等式即可得出解集，判断D项.

【详解】对于A项，根据正切函数的性质，可知的值域是R，故A项正确；

对于B项，由可得，，所以的定义域为.

由可得，，所以在每一个区间上单调递增，故B项错误；

对于C项，由已知可得，的最小正周期是，故C项正确；

对于D项，当时，由，可得.

则由可得，，

所以的解集是，故D项错误.

故选：AC.

12．已知偶函数的定义域为，且，，则以下说法正确的是（    ）

A． B．函数的图像关于直线对称

C． D．

【答案】ABD

【分析】根据奇偶性结合得出，由判断B；由对称性判断C；根据周期性判断D.

【详解】因为是偶函数，且，所以，即，所以，周期为，故A正确；

因为是偶函数，所以，即函数的图像关于直线对称，故B正确；

因为，且函数的图像关于直线对称，所以，故C错误；

因为，所以，故D正确；

故选：ABD

三、填空题

13．已知α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点（－3，4），则cos α的值为 ______________．

【答案】

【详解】试题分析：由题角的终边过点（－3，4）， 则由三角函数的定义可得：

【解析】三角函数的定义.

14．已知，则_________．

【答案】8

【分析】令求解.

【详解】解：令，解得，

所以，

故答案为：8

15．写出一个同时具有下列性质（1）（2）的函数：________.

（1）；（2）在上是增函数.

【答案】（答案不唯一）

【分析】根据题干要求的奇偶性和单调性，直接写出即可.

【详解】根据（1）（2）可得，为偶函数，且在单调递增，

故满足题意的不唯一，可以是；

故答案为：.

四、双空题

16．已知函数的图像过点，则在区间_________零点（填“有”或“无”）；且函数有三个零点，实数是_________．

【答案】     无     或

【分析】由已知可得，由分别得出函数在区间和上没有零点；当时，，即当时，有最小值为.作出的图象，根据图象即可得出的取值.

【详解】由已知可得，，所以，

所以.

当时，，所以在区间上没有零点；

当时，，所以在区间上没有零点.

所以，在区间上无零点；

当时，，

即当时，有最小值为.

作出图象如下图

由图象可知，当或时，函数有三个零点.

故答案为：无；或.

【点睛】方法点睛：已知函数零点的个数，求参数值或参数范围时.常常作出函数的图象，根据函数图象，结合已知得出参数的值或范围.

五、解答题

17．计算：

(1)；

(2)已知，求的值．

【答案】(1)11.5

(2)

【分析】（1）利用指数运算和对数运算法则计算得到答案；

（2）利用诱导公式结合化弦为切求解即可.

【详解】（1）原式；

（2）由题意得，

故.

18．设p：实数x满足，q：实数x满足．

(1)若q为真，求实数x的取值范围；

(2)若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）通过分式不等式的等价变形，转化为一元二次不等式进行求解.

（2）通过解一元二次不等式以及必要不充分条件进行求解.

【详解】（1）若q为真，则实数x满足，即，

所以，解得：，

即q为真时，实数x的取值范围为；

（2）对于p：实数x满足，变形为：，

即，所以，

对于q，由（1）有：，

因为p是q的必要不充分条件，则q可推出p，而p不能推出q

则，解得，

故实数a的取值范围为.

19．函数．

(1)求的单调递增区间；

(2)求在上的值域．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）解，即可得出的单调递增区间；

（2）令，求出的范围，得到的最值，即可得出的最值.

【详解】（1）由可得，，

所以，

所以函数单调递增区间为：.

（2）令.

由可得，.

又因为函数在单调递增，在单调递减，

所以在时有最大值1.

又，，所以在或时有最小值0.

所以函数在上的值域为.

20．某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为100吨，最多为600吨，月处理成本（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为．

(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使月处理成本最低？月处理成本最低是多少元？

(2)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？每吨的平均处理成本最低是多少元？

【答案】(1)该单位每月处理量为200吨时，才能使月处理成本最低，月处理成本最低是60000元；

(2)该单位每月处理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低，为200元．

【分析】（1）由已知可得，根据二次函数的性质，即可得出答案；

（2），然后用基本不等式即可得出该式的最值.

【详解】（1）该单位每月的月处理成本：

，

因，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

从而得当时，函数取得最小值，即.

所以该单位每月处理量为200吨时，才能使月处理成本最低，月处理成本最低是60000元.

（2）由题意可知：，

每吨二氧化碳的平均处理成本为：

当且仅当，即时，等号成立.

所以该单位每月处理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低，为200元．

21．已知_________，且函数．①函数在定义域为上为偶函数；②函数在区间上的最大值为2．在①，②两个条件中，选择一个条件，将上面的题目补充完整，求出b的值，并解答本题．

(1)判断的奇偶性，并证明你的结论；

(2)设，对任意的，总存在，使得成立，求实数c的取值范围．

【答案】(1)奇函数，证明见解析

(2)

【分析】（1）选①：根据在定义域为上为偶函数，得到，再利用奇偶性的定义判断；选②：由，单调递增且最大值为2求得b，再利用奇偶性的定义判断；

（2）分别求得，的值域A、B，再由求解.

【详解】（1）解：当选①时：因为在定义域为上为偶函数，

所以，所以，

所以，所以对，都有，

故，即，所以是奇函数．

当选②时：因为，∴单调递增，

所以，解得，

所以，

所以对，都有，

故，即,所以是奇函数；

（2）由（1）知当，

当时，，当且仅当时等号成立，

所以，即时，，

因为是奇函数，所以即时，，

综上：，

记值域为集合A，所以，

因为，记值域为集合B，

所以，

因为，使得成立，

所以，

得，所以.

22．已知函数（，且）是奇函数．

(1)判断函数在上的单调性，并用定义证明；

(2)令函数.当时，存在最大实数t，使得时，恒成立，请写出t关于a的表达式．

【答案】(1)答案见解析；

(2)．

【分析】（1）由为奇函数，可求得，得到.然后分以及两种情况，根据定义法判断函数的单调性即可；

（2），根据二次函数的性质结合已知可得对称轴为，函数在上单调递减，即.然后根据已知可推得，解不等式即可得出的最大值.

【详解】（1）由已知条件得对定义域中的x均成立，

所以，即，

得，对定义域中的x均成立，即，所以.

当时，无意义；

当时，，此时奇函数，定义域为.

设，

所以当时，，

∴．

当时，，即，所以在上是减函数，

当时，，即，所以在上是增函数．

综上，当时在上单调递减，当时在上单调递增．

（2）因为，，

所以，

则函数开口向下，对称轴为，

因为，所以，

所以函数在上单调递减.

则当时，有，

因为，又，所以.

因为t是实数，使得上恒成立，所以，

即，所以，即，

所以，解得，

所以．

【点睛】关键点睛：本题的突破口是利用二次函数的性质，结合的范围得出的对称轴为，从而得出函数在上单调递减.