2022-2023学年河南省信阳高级中学高一上学期1月测试(一)数学试题(解析版)
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一、单选题
1.下列函数中,其定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是( )
A.y=x B.y=lnx C.y= D.y=
【答案】D
【分析】分别求出各个函数的定义域和值域,比较后可得答案.
【详解】解:函数的定义域和值域均为,
函数的定义域为,值域为,不满足要求;
函数的定义域为,值域为,不满足要求;
函数的定义域为,值域为,不满足要求;
函数的定义域和值域均为,满足要求;
故选:.
【点睛】本题考查的知识点是函数的定义域和值域,熟练掌握各种基本初等函数的定义域和值域,是解答的关键.
2.已知,则的值是
A. B.
C. D.
【答案】B
【分析】由题意结合根式的运算法则整理计算即可求得最终结果.
【详解】由题意知,
,
由于,故,则原式.
故选B.
【点睛】本题主要考查根式的运算法则及其应用,属于中等题.
3.区块链作为一种新型的技术,已经被应用于许多领域.在区块链技术中,某个密码的长度设定为512B,则密码一共有种可能,为了破解该密码,最坏的情况需要进行次运算.现在有一台计算机,每秒能进行次运算,那么在最坏的情况下,这台计算机破译该密码所需时间大约为( )(参考数据:,)
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】根据题意所求时间为,利用对数的运算进行求解即可.
【详解】设在最坏的情况下,这台计算机破译该密码所需时间为秒,则有;
两边取常用对数,得;
;
所以.
故选:D.
4.已知,则的大小关系为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【分析】利用正弦函数、对数函数、指数函数的图像和性质求解即可.
【详解】因为,,,
所以,
故选:C
5.已知函数的图象如图所示,当时,有,则下列判断中正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【分析】根据的定义域为得到,排除A选项;
根据,得到,再结合时,得到,排除D选项;
根据,得到,排除C选项.
【详解】由图象可得,定义域为,所以可能是的解,也可能是的解,
当是的解时,,此时的解为,跟题意不符;
当是的解时,,符合要求,所以,故A错;
因为,,,所以,
当时,,而,所以的符号在时不变,则的符号也不变,所以只能大于零,即,故D错;
因为,,所以,即,故B正确,C错.
故选:B.
6.已知是定义在R上的增函数,且对任意,都有,则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【分析】根据题意,分析可得原不等式可以转化为,由函数的单调性解不等式,即可得答案.
【详解】根据题意,满足,
则,
则,
又由是定义在上的增函数,
则有,解可得,
即不等式的解集为.
故选:C.
7.若函数在区间上单调递增,则实数a的取值范围( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】根据复合函数的单调性可得在区间上单调递减,
分、、讨论,根据在上单调性可得答案.
【详解】因为是减函数,函数在区间上单调递增,
所以在区间上单调递减,
当时,在单调递减, 时,符合题意;
当时,若在单调递减,
则,解得;
当时,若在单调递减,
则,解得;
综上所述,实数a的取值范围.
故选:A.
8.已知函数,若在定义域上恒成立,则的值是( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
【答案】D
【分析】首先将函数分成两部分,和,然后考察的零点,利用两部分同号相乘为正数的原则,可知两部分的零点相同,代入并讨论去绝对值,即可求解.
【详解】由题设,f(x)定义域为
令,可得或
∴在上,在上,
若,
∴要使在定义域上恒成立,则在上,在]上,
∴或也是g(x)的零点,则:
,无解;,解得:; ,无解.
∴
故选:D
二、多选题
9.下列三角函数值为负数的是( )
A. B. C. D.
【答案】BCD
【分析】根据诱导公式,逐个选项进行计算,即可判断答案.
【详解】对于A,,故A为正数;
对于B,,故B为负数;
对于C,,故C为负数;
对于D,,故D为负数;
故选:BCD
10.已知实数a,b,c满足:且,则( )
A. B.
C. D.
【答案】AB
【分析】对于A:利用不等式的乘方直接判断;
对于B:由即可判断;
对于C:取特殊值,否定结论;
对于D:由即可判断.
【详解】因为实数a,b,c满足:且,所以a、b、c同号.
对于A:若,,则,所以;若,,则,所以;故A正确;
对于B:因为,所以,所以成立.故B正确;
对于C:可取,则,所以不成立.故C错误;
对于D:因为,所以.因为,所以.
故D错误.
故选:AB
11.已知函数,则下列说法正确的是( )
A.函数的单调减区间是;
B.函数在定义域上有最小值为0,无最大值;
C.若方程有1个实根,则实数t的取值范围是
D.设函数,若方程有四个不等实根,则实数m的取值范围是
【答案】ABD
【分析】函数变形得,即可根据函数形式得出函数的单调性及值域,即可判断AB;由数形结合即可判断C;对D,方程等价于,结合①解的个数的情况,即可判断②中解的个数及范围,即可根据零点存在定理列不等式求解.
【详解】
由于在上单调递减,在上单调递增,且在单调递减,
所以由复合函数单调性可得当时,在上单调递增,在上单调递减,
故的图象如图所示,
对AB,在,单调递增,值域;
在,当时,有最大值,即在单调递增,在单调递减,值域为,
综上,的值域为,故AB对;
对C,方程有1个实根等价于与有一个交点,则实数t的取值范围是,C错;
对D,方程等价于,
由于时方程①一解;时方程①两解;时方程①三解.
故有四个不等实根等价于有两根,其中,.
∵,,∴只需即可,此时,,故m的取值范围为,D对.
故选:ABD
12.定义“正对数”:,若a>0,b>0,则下列结论中正确的是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】AD
【分析】根据所给的定义及对数的运算性质对四个命题进行判断,由于在不同的定义域中函数的解析式不一样,故需要对进行分类讨论,判断出每个命题的真假.
【详解】对A,当,时,有,从而,,
所以;
当,时,有,从而,,
所以.
所以当,时,,故A正确.
对B,当,时满足,,而,,所以,故B错误;
对C,令,,则,,显然,故C错误;
对D,由“正对数”的定义知,当时,有,
当,时,有,
从而,,
所以;
当,时,有,
从而,,
所以;
当,时,有,
从而,,
所以;
当,时,,,
因为,
所以,所以.
综上所述,当,时,,故D正确.
故选:AD.
【点睛】本题考查新定义及对数的运算性质,理解定义所给的运算规则是解题的关键,考查分类讨论思想、转化与化归思想的灵活运用,考查运算求解能力,注意本题容易因为理解不清定义使解题无法入手.
三、填空题
13.计算=______.
【答案】5
【分析】根据对数和指数的运算求解即可.
【详解】
.
故答案为:5.
14.在平面直角坐标系中,若角的终边经过点,则______.
【答案】
【分析】由诱导公式求出点的坐标,由三角函数的定义求出的值,再由诱导公式即可求解.
【详解】因为,,
因为角的终边经过点,
因为,所以,
所以
故答案为:.
15.设函数和函数,若对任意的,t],当时,都有,则t的最大值为___________.
【答案】1
【分析】将条件进行整理,最后转化为一个函数的在区间上的单调性问题.
【详解】不妨设
对于
即单调递增;
,在上单调递增,故
故答案为:1
16.已知函数对于任意均满足,且当时,,若存在实数满足,则的取值范围为___________.
【答案】
【分析】由抽象函数关系式可知关于直线对称,由此可得;作出在上的图象,采用数形结合的方式可确定且,令,将问题转化为二次函数值域的求解问题,结合对勾函数性质可得的范围,进而确定结果.
【详解】,关于直线对称,,令;
作出在上的图象如下图所示,
由图象可得:,,且,,
令,则,即,
的取值范围为.
故答案为:.
四、解答题
17.设,集合
(1)若,求
(2)若,求a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据对数函数定义域与单调性,结合二次不等式与交集的定义求解即可;
(2)由题意且,再分别代入求解不等式即可.
【详解】(1)当时,
所以
(2)集合,所以
因为,所以且.
则,即,解得.
18.在平面直角坐标系中,O是坐标原点,角的终边与单位圆的交点坐标为,射线绕点O按逆时针方向旋转弧度后交单位圆于点B,点B的纵坐标y关于的函数为.
(1)求函数的解析式.并求的值;
(2)若,求的值.
【答案】(1),
(2)
【分析】(1)根据题意,得到,而,根据所在象限,得出,进而求出,再代入,即可求得;
(2)由,得到,根据,得,利用平方关系解得,进而可求出的值.
【详解】(1)因为,且,点在第三象限,所以,
由此得,
(2)由于知,即
由于,得,与此同时,所以
由平方关系解得:,
所以
19.2020年12月17日凌晨,经过23天的月球采样旅行,嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆预定区域,我国首次对外天体无人采样返回任务取得圆满成功,成为时隔40多年来首个完成落月采样并返回地球的国家,标志着我国探月工程“绕,落,回”圆满收官.近年来,得益于我国先进的运载火箭技术,我国在航天领域取得了巨大成就.据了解,在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下,可以用公式计算火箭的最大速度,其中是喷流相对速度,是火箭(除推进剂外)的质量,是推进剂与火箭质量的总和,从称为“总质比”,已知A型火箭的喷流相对速度为.
(1)当总质比为200时,利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度;
(2)经过材料更新和技术改进后,A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的倍,总质比变为原来的,若要使火箭的最大速度至少增加,求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值.参考数据:,.
【答案】(1);(2)在材料更新和技术改进前总质比的最小整数为74.
【解析】(1)代入公式中直接计算即可
(2)由题意得,,则,求出的范围即可
【详解】(1),
(2),.
因为要使火箭的最大速度至少增加,
所以,
即:,
所以,
即,所以,
因为,所以.
所以在材料更新和技术改进前总质比的最小整数为74.
【点睛】此题考查了函数的实际运用,考查运算求解能力,解题的关键是正确理解题意,列出不等式,属于中档题
20.已知,
(1)当,求的值;
(2)求函数的最大值
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据得到,,代入计算得到答案.
(2)确定,化简得到,讨论,和三种情况,分别计算得到答案.
【详解】(1),故,
,,又,故,则,
,故,
.
(2),,故,故,
,
设,二次函数的对称轴为,
当时,;
当时,;
当时,.
综上所述:
21.已知定义在上的增函数,函数,.
(1)用定义证明函数是增函数,并判断其奇偶性;
(2)若,不等式对任意恒成立,求实数m的取值范围;
(3)在(2)的条件下,函数有两个不同的零点,且,求实数a的取值范围.
【答案】(1)证明详见解析,是奇函数
(2)
(3)
【分析】(1)根据函数单调性的定义证得是增函数,根据函数奇偶性的定义判断出是奇函数.
(2)由分离常数,结合基本不等式以及函数的单调性求得的取值范围.
(3)利用换元法,将转化为一元二次方程的形式,结合二次函数零点分布的知识列不等式,从而求得的取值范围.
【详解】(1)设,且.因为是上的增函数,则,
又,则,则,
即,所以是增函数;
的定义域是,且对于,,故是奇函数.
(2)由,即,则,即,对恒成立.
令,,当且仅当时等号成立,即,
则,对任意恒成立.
对于函数,
任取,
,
当时,由于,
所以,
所以在区间上递增.
所以,故.
故实数的取值范围为.
(3)由,即,则.
因为,
设,则,令,则,
因为有两个不同零点,故上述方程有两个不同的实根,
且,.
记,则有,解得:.
故实数a的取值范围为.
【点睛】利用定义法判断函数的单调性,主要的步骤是:在定义域上任取,且;通过计算判断出的符号;从而判断出函数的单调性.研究不等式恒成立问题,可考虑利用分离常数法进行求解.
22.设定义在实数集上的函数,恒不为0,若存在不等于1的正常数,对于任意实数,等式恒成立,则称函数为函数.
(1)若函数为函数,求出的值;
(2)设,其中为自然对数的底数,函数.
①比较与的大小;
②判断函数是否为函数,若是,请证明;若不是,试说明理由.
【答案】(1)或;(2)①②是函数,证明见解析.
【分析】(1)根据题意,列出方程,即可求解参数值.
(2)①根据函数单调性定义,比较与的大小关系,进而比较与的大小
②根据题意,列出方程,证明方程有解,令,判断在上存在零点,即可证明是函数.
【详解】(1)因为函数为函数.
所以对任意实数都成立,即,即,
所以或
(2)①因为,所以,即
又因为在R上为增函数,所以
②若是函数.则存在不等于1的正常数,
使等式对一切实数恒成立,即关于的方程有解,
令,则函数在上的图像是一条不间断的曲线,
据零点存在性定理,可知关于的方程在上有解,
从而是函数.
【点睛】本题考查:(1)理解与辨析新定义问题.(2)①单调性定义②零点存在性定理.本题属于难题.
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