2022-2023学年河南省信阳市浉河区信阳高级中学高一上学期10月月考数学试题含解析

2022-2023学年河南省信阳市浉河区信阳高级中学高一上学期10月月考数学试题

一、单选题

1．已知集合，则=

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．

【详解】由题意得，，则

．故选C．

【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．

2．已知a∈R，则“a＞3”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】解出不等式的解集，可解决此题.

【详解】解：解不等式得：a＜0或a＞3，所以a＞3是的充分不必要条件.

故选：A.

3．下列命题正确的是（       ）

A．命题“”的否定是“”

B．的充要条件是

C．

D．不是的充分条件

【答案】A

【分析】A.利用存在量词命题的否定判断；B.不是的充分条件；C.举反例判断；D. 是的充分条件.

【详解】命题“”的否定是“”，所以A正确；

当时，但不存在，所以不是的充分条件，所以B错误；

当时，，所以C错误；

由可得，所以是的充分条件，所以D错误.

故选：A.

4．若函数，且，则实数的值为（    ）

A． B．或 C． D．3

【答案】B

【分析】令，配凑可得，再根据求解即可

【详解】令（或），，，，.

故选；B

5．若关于x的不等式在上有实数解，则a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意转化为不等式在上有实数解，结合函数的单调性，求得，即可求解.

【详解】由不等式在上有实数解，

等价于不等式在上有实数解，

因为函数在上单调递减，在单调递增，

又由，

所以，所以，即实数的取值范围是.

故选：A.

6．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据抽象函数的定义域的求解，结合具体函数单调性的求解即可.

【详解】因为函数的定义域为，所以的定义域为.又因为，即，所以函数的定义域为.

故选：C.

7．已知偶函数的定义域为，当时，，则的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】采用分离常数法和偶函数的性质可确定的单调性，结合可构造不等式求得结果.

【详解】，在上单调递减，又为偶函数，

，，，解得：或，

的解集为.

故选：D.

8．设，则取得最小值时，的值为（    ）

A． B．2 C．4 D．

【答案】A

【解析】转化条件为原式，结合基本不等式即可得解.

【详解】

，

当且仅当，即，，时，等号成立.

故选：A.

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1） “一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

二、多选题

9．若函数的定义域为，值域为，则实数m的值可能为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】ABC

【分析】画出函数的图象，结合值域可得实数的取值范围，从而可得正确的选项.

【详解】函数的图象如图所示：

因为函数在上的值域为，结合图象可得，

故选：ABC.

10．设函数，当为增函数时，实数的值可能是（   ）

A．2 B．  C． D．1

【答案】CD

【分析】由题知，且，进而解不等式即可得,再结合选项即可得答案.

【详解】解：当时，为增函数，则，

当时，为增函数，

故为增函数，则，且，解得，

所以，实数的值可能是内的任意实数.

故选：CD.

11．若函数与的值域相同，但定义域不同，则称和是“同象函数”，已知函数，，则下列函数中与是“同象函数”的有（    ）

A．， B．，

C． ， D．，

【答案】ACD

【分析】分别求出各个选项中函数的值域，从而判断是否符合与的值域相同，但定义域不同，从而判断符合“同象函数”.

【详解】因为函数，，所以其定义域为，值域为；

对于选项A，，，其定义域为，值域为，是“同象函数”；

对于选项B，，，其定义域为，值域为，不是“同象函数”；

对于选项C， ，，其定义域为，值域为，是“同象函数”；

对于选项D，，，其定义域为，值域为，是“同象函数”.

故选：ACD

12．对任意两个实数，定义若，，下列关于函数的说法正确的是（    ）

A．函数是偶函数

B．方程有三个解

C．函数在区间上单调递增

D．函数有4个单调区间

【答案】ABD

【分析】结合题意作出函数的图象，进而数形结合求解即可.

【详解】解：根据函数与，，画出函数的图象，如图．

由图象可知，函数关于y轴对称，所以A项正确；

函数的图象与x轴有三个交点，所以方程有三个解，所以B项正确；

函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，所以C项错误，D项正确．

故选：ABD

三、填空题

13．已知函数，则__________.

【答案】0

【分析】根据分段函数解析式，代入即可求解.

【详解】因为，

所以，，

所以.

故答案为：0.

14．若函数的定义域为，则实数取值范围是______.

【答案】

【分析】题目等价于恒成立，讨论和两种情况，计算得到答案.

【详解】函数的定义域为，即恒成立.

当时，易知成立.

当时，需满足：  

综上所述：

故答案为

【点睛】本题考查了函数的定义域，忽略掉的情况是容易发生的错误.

15．已知奇函数在上单调，若正实数满足，则的最小值是__________.

【答案】

【分析】根据得到，然后利用均值不等式即得.

【详解】因为奇函数在上单调，正实数满足，

所以，

故，即，

所以，

当，即时等号成立，

即的最小值是.

故答案为：.

16．已知函数，若函数的最小值与函数的最小值相等，则实数的取值范围是__________．

【答案】

【分析】由二次函数的知识得，当时有．令，则，．结合二次函数可得要满足题意，只需，解不等式可得所求范围．

【详解】由已知可得，

所以当时，取得最小值，且．

令，

则，．

要使函数的最小值与函数的最小值相等，

只需满足，

解得或.

所以实数的取值范围是．

故答案为．

【点睛】本题考查二次函数最值的问题，求解此类问题时要结合二次函数图象，即抛物线的开口方向和对称轴与区间的关系进行求解，同时注意数形结合在解题中的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题．

四、解答题

17．已知，，．

(1)若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围；

(2)若是r的必要条件，求m的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设集合为命题对应的集合，为命题对应的集合，由题意可得集合是集合的真子集，从而可得出答案；

（2）设集合为命题对应的集合，为命题对应的集合，由题意可得，从而可得出答案.

【详解】（1）解：由，即或，

设，，

因为p是q的必要不充分条件，

所以集合是集合的真子集，

所以；

（2）解：由，即，

，

设，

因为是r的必要条件，

所以，

所以，解得，

所以m的最大值为.

18．设集合.已知.

(1)求集合A；

(2)若，求所有满足条件的的取值集合.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）由题可得，进而即得；

（2）分，讨论即可求解.

【详解】（1）因为，

又，，

所以，，

所以；

（2）由，可得，

当时，则关于的方程没有实数根，所以；

当时，此时，则，

所以或，解得或；

综上，所有满足条件的的取值集合为.

19．已知函数是定义在上的奇函数，且.

（1）求m，n的值；判断函数的单调性并用定义加以证明；

（2）求使成立的实数a的取值范围.

【答案】（1），为增函数，证明见解析；（2）[0，1).

【解析】（1）利用和可求出，，然后利用单调性的定义可得的单调性；

（2）利用的奇偶性可将不等式化为，然后利用其单调性去掉即可解出答案.

【详解】（1）是定义在上的奇函数，则，

即，则，

所以，又因为，得，所以，.    

设且，则

，

，，在上是增函数

（2）由（1）知，在上是增函数，

又因为是定义在上的奇函数，

由，得，

，

即，解得.

故实数的取值范围是[0，1).

20．黄山市某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某珍稀水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足关系：.肥料成本投入为元，其它成本投入（如培育管理，施肥等人工费）元.已知这种水果的市场售价为15元/千克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为（单位：元）.

(1)求的函数关系式；

(2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？

【答案】(1)

(2)当施用肥料为5千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润是750元

【分析】（1）用销售收入减去成本求得的函数关系式.

（2）结合二次函数的性质、基本不等式来求得最大利润以及此时对应的施肥量.

【详解】（1）由已知得：,

故.

（2）若，则,

此时，对称轴为，故有最大值为.

若，则

,

当且仅当，即时等号成立,

此时，有最大值为,

综上有，有最大值为750,

∴当施用肥料为5千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润是750元.

21．已知函数.

（Ⅰ）当时，解关于x的不等式；

（Ⅱ）若不等式的解集为D，且，求m的取值范围．

【答案】（Ⅰ）当时，解集为或；当时，解集为；

当时，解集为．；（II）．

【详解】分析：（Ⅰ）将不等式化为一般形式，然后根据的取值情况分类讨论求解即可．（Ⅱ）将条件中的集合间的包含关系转化为不等式恒成立的问题解决，然后分离参数后再转化为求函数的最值的问题，最后根据基本不等式求解可得所求．

详解：（Ⅰ）由得,

即

①当，即时，解得；

②当即时，解得或；

③当，即时，

由于 ，

故解得．

综上可得：当时，解集为或；

当时，解集为；

当时，解集为．

（II）不等式的解集为，且，即任意的不等式恒成立．

即对任意的恒成立，

由于，

∴对任意的恒成立．

令，

∵，

当且仅当，即时等号成立．

∴，

∴实数的取值范围是．

另解:

不等式的解集为，且，即任意的不等式恒成立．设

(1)当时,,解得

 (2)当时,, 当时恒小于0,不满足,舍去

 (3)当时,

(ⅰ),即,得

(ⅱ),解得

综上可得实数的取值范围是．

点睛：解含参数的一元二次不等式的步骤

（1）二次项系数若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．

（2）判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．

（3）确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集的形式．

22．已知不等式的解集为，记函数.

(1)求证：方程必有两个不同的根；

(2)若方程的两个根分别为、，求的取值范围；

(3)是否存在这样实数的、、及，使得函数在上的值域为.若存在，求出的值及函数的解析式；若不存在，说明理由.

【答案】(1)证明见解析

(2)

(3)存在，，

【分析】（1）依题意可得，再计算根的判定式即可说明；

（2）依题意和为方程的两根，且，利用韦达定理得到，再利用韦达定理将转化为关于的二次函数，根据二次函数的性质计算可得；

（3）依题意可得，根据函数的最小值求出，再对对称轴分两种情况讨论，求出的值，即可求出、，从而得解.

【详解】（1）解：由题意知：，所以

对于方程，恒成立，

所以方程有两个不相同的根；

（2）解：因为的解集为，

所以和为方程的两根，且，

所以，即，

所以

，

因为，所以，所以

（3）解：假设存在满足题意的实数、、及，

所以

，，

所以函数图像的对称轴为，且，

所以，解得，

要使函数在上的值域为，只要即可，

①当，即时，，解得，符合题意，

②当，即时，，解得（舍去）或（舍去），

综上所述，时符合题意，此时，解得，

所以函数的表达式为.