2022-2023学年福建省莆田第五中学高一上学期期末考试数学试题（解析版）

2022-2023学年福建省莆田第五中学高一上学期期末考试数学试题

一、单选题

1．已知A＝{－1，0，1，3，5}，B＝{x|2x－3＜0}，（    ）

A．{0，1} B．{－1，1，3} C．{－1，0，1} D．{3，5}

【答案】D

【分析】求出集合B，然后求出即可

【详解】因为

所以

所以

故选：D.

2．函数的零点所在区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先判断出函数的单调性，然后得出的函数符号，从而得出答案

【详解】由在上单调递减，在上单调递增，

所以函数在上单调递减，

又，

所以由零点存在定理可得函数在(3，4)之间存在零点，

故选：C

3．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标 中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由图象知函数的定义域排除选项选项A、D，再根据不成立排除选项C，即可得正确选项.

【详解】由图知的定义域为，排除选项A、D，

又因为当时，，不符合图象，所以排除选项C，

故选：B.

4．已知，则（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【分析】根据指数函数的单调性求出，，又进而可得结果.

【详解】根据指数函数的单调性知，即；

，即；

根据对数函数的单调性知，故，

所以.

故选：D

5．若，则（    ）

A．0 B． C． D．

【答案】B

【分析】利用整体代换法与诱导公式化简求值即可.

【详解】依题意，令，则，，，

所以.

故选：B.

6．已知函数（且）的图象恒过定点，若点的坐标满足关于，的方程，则的最小值为（    ）

A．4 B．6 C．12 D．24

【答案】B

【分析】根据函数的图象横过定点得到，然后代入方程得到，最后利用基本不等式求最值即可.

【详解】函数的图象横过定点，所以，将点代入方程可得，所以，

当且仅当，即，时等号成立.

故选：B.

7．已知函数在区间上是增函数,则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由时,恒成立,可得,设,只需函数是减函数即可得结果.

【详解】因为时,恒成立,

所以,

设,

因为函数是增函数,所以要使在上是增函数,

则需函数是减函数,可得,

所以,

实数的取值范围为.

故选:A.

8．已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】推导出函数是周期函数，且周期为，利用对数的运算性质结合函数的周期性可求得的值.

【详解】因为，所以，，且，

由题意可得，所以，，

故函数为周期函数，且周期为，

所以，

.

故选：B.

二、多选题

9．在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点，则下列各式的值一定为负的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】CD

【分析】首先确定在第二象限，得到，即得解.

【详解】解：因为角终边经过点，所以在第二象限，

所以，

如果，所以，所以选项A不满足题意；

；；，故CD正确.

故选：CD

10．已知命题：，，则命题成立的一个充分不必要条件可以是下列选项中的（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】根据一元二次方程根的判别式，结合充分不必要条件与集合的关系进行求解即可.

【详解】若命题:，成立，则，解得，

故命题成立的充分不必要条件是属于的真子集，因此选项AD符合要求，故AD正确.

故选：AD.

11．已知定义域为的函数，若对任意，存在正数，都有成立，则称函数是定义域为上的“有界函数”.则下列函数中，其中“有界函数”是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】由题意可知有界函数的值域是不可能取到无穷大的，所以只要值域没取到无穷大的函数都是“有界函数”，每个选项依次判断即可.

【详解】选项A：显然，，对任意，不存在正数，使得，故 不是“有界函数”；

选项B：显然，，所以对任意，存在正数，都有成立，故是“有界函数”；

选项C：显然,，所以对任意，存在正数，都有成立，故是“有界函数”；

选项D：显然，，所以对任意，不存在正数，使得，故 不是“有界函数”.

故选：BC

12．关于函数的性质的描述，正确的是（    ）

A．的定义域为 B．有一个零点

C．的图像关于原点对称 D．的值域为

【答案】AC

【分析】对于A：由得出定义域；对于B：由，便可求出零点；对于C：先化简，再根据判断函数奇偶性的定义进行判断；对于D：由奇偶性以及对数函数的单调性求值域.

【详解】对于A：由题意可知，函数有意义，则满足,

解得 ，且，即函数的定义域为，所以选项A正确；

对于B：因为的定义域为，所以

，由得，解得（舍），

即没有零点，所以选项B不正确；

对于C：由上可知，则满足，

所以函数为奇函数，则图像关于原点对称，所以选项C正确；

对于D：当时，，所以

，又由函数为奇函数，可得的值域为，所以选项D不正确.

故选：AC

三、填空题

13．已知偶函数在区间单调递增，则满足的x取值范围是______.

【答案】

【解析】利用偶函数可得图象关于轴对称，结合单调性把转化为求解.

【详解】是偶函数，，

∴不等式等价为，

在区间单调递增，

，解得.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查利用函数的性质求解抽象不等式，抽象不等式一般是利用单调性转化为具体不等式求解，侧重考查数学抽象的核心素养.

14．已知函数和的图象完全相同，若，则的取值范围是______.

【答案】

【分析】利用诱导公式将正弦型函数化余弦型求出，再利用正弦函数的图象即可求出值域.

【详解】解：因为，

所以，则.

因为，

所以，

所以，

所以.

故答案为：.

15．已知函数.若存在2个零点，则的取值范围是__________

【答案】

【分析】由有两个零点，得与的图像有两个交点，再用数形结合的方法求出的取值范围.

【详解】解：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，

也就是函数有两个零点，此时满足，即，

故答案为：.

【点睛】本题主要考查函数的零点与方程的解等知识，考查数学运算能力，可用数形结合的方式求解，属于基础题型.

16．已知函数，若对任意的，都存在唯一的，满足，则实数的取值范围是______．

【答案】

【分析】由题意可得函数在[2，＋∞）时的值域包含于函数在（−∞，2）时的值域，利用基本不等式先求出函数在x∈[2，＋∞）时的值域，当x∈（−∞，2）时，对a分情况讨论，分别利用函数的单调性求出值域，从而求出a的取值范围．

【详解】解：设函数的值域为，函数的值域为，

因为对任意的，都存在唯一的，满足，

则，且中若有元素与中元素对应，则只有一个.

当时，，

因为，当且仅当，即时，等号成立，

所以，

当时，

①当时，，此时，

，解得，

②当时，，

此时在上是减函数，取值范围是，

在上是增函数，取值范围是，

，解得，

综合得.

故答案为：

【点睛】关键点点睛：本题即有恒成立问题，又有存在性问题，最后可转化为函数值域之间的包含关系问题，最终转化为最值问题，体现了转化与化归的思想.

四、解答题

17．化简求值：

(1)；

(2)．

【答案】(1)；

(2)4.

【分析】（1）根据指数幂的运算法则计算可得；

（2）根据对数的运算法则及换底公式计算可得；

【详解】（1）

；

（2）

.

18．已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，终边经过点，且.

(1)求实数的值；

(2)若，求的值.

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）利用三角函数的定义可求的值.

（2）利用诱导公式可求三角函数式的值.

【详解】（1）由题意可得，

所以，整理得，

解得或.

（2）因为，所以由（1）可得，

所以，

所以.

19．设函数，图象的一个对称中心是.

（1）求；

（2）求函数的单调增区间.

【答案】（1）；（2）单调增区间为：，.

【分析】（1）将代入解析式，再根据，即可求得；

（2）由（1）得到，令，，解出x写成区间形式即可.

【详解】（1）因为是函数的图象的对称中心，

所以，则，所以

所以，则，

（2）由（1），令，，

即：，，

所以函数的单调增区间为：.

20．每年红嘴鸥都从西伯利亚飞越数千公里来到美丽的昆明过冬，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数，单位是，其中x表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，常数x0表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差.（结果保留到整数位.参考数据：lg5≈0.70，31.4≈4.66）

(1)若x0=5，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位.

(2)若雄鸟的飞行速度为1.3，雌鸟的飞行速度为0.8，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍.

【答案】(1)466个单位

(2)3倍

【分析】（1）将，代入函数解析式，求出的值即可答案；（2）设出雄鸟每分钟的耗氧量和雌鸟每分钟耗氧量，得到方程组，两式相减后得到，得到答案.

【详解】（1）将，代入函数，得：，

因为，所以，所以，所以.

答：候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量约为466个单位.

（2）设雄鸟每分钟的耗氧量为，雌鸟每分钟耗氧量为，由题意可得：

两式相减可得：，所以，即，

答：此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的3倍.

21．已知函数．

(1)当时，试判断单调性并加以证明．

(2)若存在，使得成立，求实数m的取值范围．

（提示：（其中且））

【答案】(1)见解析

(2)

【分析】（1）由定义结合指数的运算求解即可；

（2）由的奇偶性以及单调性得出，，令，得出，由对勾函数的单调性得出的最大值，进而得出实数m的取值范围．

【详解】（1）函数在上单调递增，证明如下：

任取，且，则

由得，，，即.

即函数在上单调递增.

（2），即为偶函数.

由（1）可知，函数在上单调递减，在上单调递增.

又，，所以.

令，则存在，使得成立，即成立.

令，由对勾函数的单调性可知，在上单调递增.

故，所以.

22．已知函数.

(1)若对于任意恒成立，求的取值范围；

(2)若函数，，是否存在实数，使得的最小值为0?若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.

【答案】(1)

(2)存在，

【分析】（1）利用分离参数法得到对于任意恒成立，令，利用对数的图像与性质即可求得；

（2）先整理得到，

令， ，研究函数，，根据二次函数的单调性对m进行分类讨论，即可求出m.

【详解】（1）由题意可知，对于任意恒成立

代入可得所以对于任意恒成立

令

因为，所以由对数的图像与性质可得：，所以.

即实数a的范围为.

（2）由，，且

代入化简可得.

令，因为，所以

则，

①当，即时，在上为增函数，

所以，解得，不合题意，舍去

②当，即时，在上为减函数，在上为增函数，

所以，解得，所以

③当，即时，在上为减函数，

所以解得不合题意，舍去，

综上可知，.

【点睛】二次函数中“轴动区间定”或“轴定区间动”类问题，分类讨论的标准是函数在区间里的单调性.