2022-2023学年湖北省十堰市竹溪县思源实验九年一贯制学校第一教联体八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年湖北省十堰市竹溪县思源实验九年一贯制学校第一教联体八年级（下）期中数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖北省十堰市竹溪县思源实验九年一贯制学校第一教联体八年级（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  下面式子是二次根式的是(    )A.  B.  C.  D. 2.  下列计算正确的是(    )A.  B.  C.  D. 3.  直角三角形中，两条直角边的边长分别为和，则斜边上的中线长是(    )

 A.  B.  C.  D. 4.  若，则的取值范围是(    )A.  B.  C.  D. 5.  如图，在平行四边形中，，则的度数是(    )A.
B.
C.
D. 6.  下列命题错误的是(    )A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形．
B. 对角线相等的平行四边形是矩形．
C. 一条对角线平分一组对角的四边形是菱形
D. 对角线互相垂直的矩形是正方形．7.  直角三角形的两边长为和，则第三边的长为(    )A.  B. 或 C.  D. 无法确定8.  若，且，则(    )A.  B.  C.  D. 9.  如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，，则的长是(    )A.
B.
C.
D. 10.  如图，在菱形中，、相交于点，为的中点，且，，则菱形的面积是(    )A.
B.
C.
D. 二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.  ______．12.  最简二次根式与能合并，则的值为______．13.  如图，在菱形中，点是对角线上的一点，于点若，则点到的距离为______．
 14.  如图，在菱形中，对角线、相交于点，为边中点，菱形的周长为，则的长为______ ．
 15.  如图，在矩形中，，对角线、相交于点，垂直平分于点，则的长为____________．


 16.  如图，在正方形中，是上一点，，，是上一动点，则的最小值是______．
 三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
计算题：
；
．18.  本小题分
先化简，再求值，其中，．19.  本小题分
已知的三边长分别为，，，且，，满足，试判断的形状，并说明理由．20.  本小题分
已知某开发区有一块四边形的空地，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量，，，，，若每平方米草皮需要元，问要投入多少元？
21.  本小题分
如图，、分别是的边、的中点，点是内部任意一点，连接、，点、分别是、的中点，顺次连接点、、、．
求证：四边形是平行四边形．

 22.  本小题分
折叠矩形的一边，点落在边上的点处，已知，，
求：求的长；
求的长．
23.  本小题分
如图，在▱中，过点作于点，点在边上，，连接，．
求证：四边形是矩形；
已知，是的平分线，若，求的长．
24.  本小题分
如图，已知正方形的边长为，连接、交于点，平分交于点，
求的长；
过点作，交于点，求的长；

 25.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，且，点在轴上，且．
求线段的长；
若点在线段上，，且，求的值；
在的条件下，过点作，交于点，试证明：．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：、是整式，不合题意；
B、是三次根式，不合题意；
C、无意义，不合题意；
D、，，是二次根式，符合题意．
故选：．
直接利用二次根式定义分析得出答案．
此题主要考查了二次根式的定义，正确把握二次根式的定义是解题关键．
 2.【答案】 【解析】解：，故此选项符合题意；
B.，故此选项不合题意；
C.，故此选项不合题意；
D.，故此选项不合题意．
故选：．
直接利用二次根式的性质分别化简，进而判断得出答案．
此题主要考查了二次根式的乘除法以及二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
 3.【答案】 【解析】解：两条直角边的边长分别为和，
根据勾股定理得，斜边，
所以，斜边上的中线的长．
故选：．
利用勾股定理求出斜边的长度，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，是基础题，熟练掌握性质是解题的关键．
 4.【答案】 【解析】【分析】
此题考查二次根式的性质与化简：，因为，由此性质求得答案即可．
【解答】
解：，

．
故选：．  5.【答案】 【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
故选：．
根据平行四边形的性质，邻角互补，即可得出答案．
此题主要考查了平行四边形的性质，灵活的应用平行四边形的性质是解决问题的关键．
 6.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定定理，难度不大．利用平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定定理分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】
解：、对角线互相平分的四边形是平行四边形是正确的，不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形是正确的，不符合题意；
C、一条对角线平分一组对角的四边形不一定是菱形，原来的说法错误，符合题意；
D、对角线互相垂直的矩形是正方形是正确的，不符合题意．
故选：．  7.【答案】 【解析】解：设第三边为，
若是直角边，则第三边是斜边，由勾股定理得：
，
；
若是斜边，则第三边为直角边，由勾股定理得：
，
；
第三边的长为或．
故选B．
本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．
本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．
 8.【答案】 【解析】解：，，，
，，
则．
故选：．
利用平方根的定义求出与的值，即可确定出的值．
此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．
 9.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了勾股定理、正方形的性质；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键．
和为两条直角边长时，求出小正方形的边长，即可利用勾股定理得出的值．
【解答】
解：，，即和为两条直角边长时，
小正方形的边长，
；
故选：．  10.【答案】 【解析】解：为的中点，，
，
四边形是菱形，
，
，
为等边三角形．
四边形是菱形，
于，，
中，，
，
，
菱形的面积，
故选：．
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，再根据菱形的四条边都相等可得，然后求出，从而得到是等边三角形，再根据菱形的对角线互相平分求出，再根据直角三角形度角的性质得的长，则得对角线的长，根据菱形面积公式：两条对角线乘积一半可得结论．
本题考查了菱形的性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，熟记各性质是解题的关键．
 11.【答案】 【解析】【分析】
运用平方差公式进行计算即可．
【解答】
解：原式

．
故答案为．
【点评】
本题考查了二次根式的运算和平方差公式，熟知运算法则是解题关键．  12.【答案】 【解析】解：根据题意得，
解得．
故答案为．
根据最简二次根式的定义得到，然后解方程即可．
本题考查了同类二次根式：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
 13.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了菱形的性质．
作于，如图，根据菱形的性质得平分，然后根据角平分线的性质得．
【解答】
解：作于，如图，
四边形为菱形，
平分，
，，
，
即点到的距离为．
故答案为：．  14.【答案】 【解析】解：四边形是菱形，
，，
，
，
，
为边中点，
；
故答案为：．
由菱形的四边相等求出边长，再根据对角线互相垂直得出，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果．
本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质是解决问题的关键．
 15.【答案】 【解析】解：四边形是矩形，
，，，
，
垂直平分，
，
，
，
，
故答案为：．
由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出，得出，由勾股定理求出即可．
此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．
 16.【答案】 【解析】解：如图，连接，交于，连接，则此时的值最小．
四边形是正方形，
、关于对称，
，
．
，，
，，
，
故的最小值是．
故答案为：．
由正方形性质的得出、关于对称，根据两点之间线段最短可知，连接，交于，连接，则此时的值最小，进而利用勾股定理求出即可．
本题考查了轴对称最短路线问题，正方形的性质，解此题通常是利用两点之间，线段最短的性质得出．
 17.【答案】解：

；


． 【解析】先化简，再进行加减运算即可；
先算乘法，除法，化简，再算加减即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 18.【答案】解：；
因为，；
所以原式． 【解析】本题的关键是正确进行分式的通分、约分，并准确代值计算．
本题所考查的内容“分式的运算”是数与式的核心内容，全面考查了有理数、整式、分式运算等多个知识点，要合理寻求简单运算途径的能力及分式运算．尤其要注意的是最后结果要分母有理化．
 19.【答案】解：是直角三角形，理由：
由题意，，
，
是直角三角形． 【解析】利用绝对值以及偶次方的性质和二次根式的性质得出，，的值进而求出即可．
此题主要考查了勾股定理的逆定理及非负数的性质，根据题意得出，，的值是解题关键．
 20.【答案】解：连接，
在中，，
在中，，，
而，
即，
，


．
所以需费用元． 【解析】连接，在中，可求得的长，由、、的长度关系可得为一直角三角形，为斜边；由此看，四边形由和构成，则容易求解．
此题主要考查了勾股定理的应用以及勾股定理的逆定理，得出是直角三角形是解题关键．
 21.【答案】证明：、分别是、边的中点，
，且，
同理，，且，
且，
四边形是平行四边形． 【解析】本题考查了三角形的中位线定理以及平行四边形的判定，属于基础题．
根据三角形的中位线定理可得且，且，再结合平行四边形的判定即可证明．
 22.【答案】解：设，，
在中，，
．
故CF的长为；
在中，，即，
解得．
故EC的长为． 【解析】设，，先在中利用勾股定理即可求得的长，进一步得到的长；
在中利用勾股定理即可求得的长．
本题考查折叠变换和学生的逻辑思维能力，解决此类问题，应结合题意，最好实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系．
 23.【答案】证明四边形是平行四边形，
，，
，
且，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是矩形；
解：方法一：
，，，
，，
四边形是矩形，
，
平分，
，且，
．
方法二：
，，，
，
，
，
平分，
，
，
，
又，
． 【解析】由题意可证四边形是平行四边形，且，可得结论；
方法一根据含度角的直角三角形的边角关系可求的长度，则可得的长度，即可求的长度；
方法二可以利用含度角的直角三角形的边角关系，然后根据平行四边形及角平分线定义可得，所以，进而可以解决问题．
本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，运用含度角的直角三角形是解本题的关键．
 24.【答案】解：四边形是正方形，

，
，
平分，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
；
，

，
，
在和中，

≌，
． 【解析】求出，根据勾股定理求出，即可求出；
求出≌，根据全等三角形的性质得出即可．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键，题目比较好，难度偏大．
 25.【答案】解：在中，
，
．

，
，
在和中，
，
≌，
，
．

结论：，理由如下：
连接，，

垂直平分，
，
，，

由可知≌，
，，
，
，
． 【解析】根据即可解决．
先证明≌得，所以即可解决．
结论：只要证明，，在中利用勾股定理即可证明．
本题考查等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题关键是寻找全等三角形，属于中考常考题型．