2022-2023学年湖北省恩施州利川市五校教联体八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年湖北省恩施州利川市五校教联体八年级（下）期中数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知二次根式 b有意义，则b的取值范围是( )
A. b≤0B. b<0C. b≥0D. b>0
2. 下列图形中，不一定是轴对称图形的是( )
A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 正方形
3. 下列计算正确的是( )
A. 12+ 12= 2B. 4− 2= 2
C. 12× (−2)2=− 2D. 12÷ 2= 22
4. 已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简|a−1|+ a2的结果是( )
A. −1B. 1C. 1−2aD. 2a−1
5. 下列二次根式中是最简二次根式的是( )
A. x33B. x3C. 24D. 6x
6. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC=a，则斜边AC上的高BD等于( )
A. 2a
B. 22a
C. 2a2
D. a
7. 如图，四边形ABCD是菱形，顺次连接菱形各边的中点E、F、G、H，则说法正确的是( )
A. EFGH是菱形
B. EFGH是正方形
C. EFGH是矩形
D. EFGH是平行四边形
8. 三条线段首尾相连，能组成直角三角形的是( )
A. 1，1，2B. 2，5 2，4C. 3，4， 7D. 8， 35，10
9. ①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；
②对角线互相平分的四边形是平行四边形；
③在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，那么这个四边形是平行四边形；
④一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形．
其中正确命题的个数是( )
A. 0个B. 1个C. 3个D. 4个
10. 下列说法错误的是( )
A. 若△ABC中，a2=(b+c)(b−c)，则△ABC是直角三角形
B. 若△ABC中，a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形
C. 若△ABC中，a：b：c=13：5：12，则∠A=90°
D. 若△ABC中，a、b、c三边的长分别为n2−1、2n、n2+1(n>1)，则△ABC是直角三角形
11. 已知代数式 1−x+ x−1在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A. −1≤x≤1B. x=±1C. 0≤x≤1D. x=1
12. 如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，过A点作AF⊥BF，垂足为F并延长交BC于点GD为AB中点，连接DF延长交AC于点E.若AB=12，BC=20，则线段EF的长为( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 计算2 3×3 2= ______ ．
14. 如图，在边长为4cm的正方形ABCD中，点P为AB边上的任一点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF= ______ ．
15. 已知直角三角形的两直角边长分别为12cm和5cm.则第三边长为 cm．
16. 观察下列等式：1 2+1= 2−11 3+ 2= 3− 21 4+ 3= 4− 3
……
从上述等式中找出规律，并利用这一规律计算：
(1 3+ 2+1 4+ 3+…+1 2020+ 2019)( 2020+ 2)=______．
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
计算下列各题
(1)3 5+ 2−2 2−2 5；
(2) 36÷ 3+ 12× 18−3 43．
18. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，AC=4，BC=3，DB=95．
(1)求AD的长；
(2)△ABC是直角三角形吗？请说明理由．
19. (本小题8.0分)
如图，在平行四边形ABCD中，E、F为对角线BD上的三等分点.求证：四边形AFCE是平行四边形．
20. (本小题8.0分)
如图，圆柱的底面周长为12cm，高为6 2cm，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是多少cm？(结果精确到0.1cm，参考数据 2≈1.414， 3≈1.732)
21. (本小题8.0分)
如图，BD是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边CD、DA上，且CE=AF．
求证：BE=BF．
22. (本小题10.0分)
如图，在平行四边形ABCD中，O是边BC的中点，连接AO并延长，交DC的延长线于点F，连接AC，BF．
(1)求证：四边形ABFC为平行四边形；
(2)如果∠AOC=2∠ABC，求证：四边形ABFC为矩形．
23. (本小题10.0分)
如图，已知△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边ED上，连接BD．
(1)求证：BD=AE；
(2)求证：AE2+AD2=2AC2．
24. (本小题12.0分)
(1)【探究发现】如图①，已知矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别交于点E，F.求证：四边形AFCE是菱形；
(2)【类比应用】如图②，直线EF分别交矩形ABCD的边AD，BC于点E，F，将矩形ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为D′，若AB=3，BC=4，求四边形ABFE的周长；
(3)【拓展延伸】如图③，直线EF分别交平行四边形ABCD的边AD，BC于点E，F，将平行四边形ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为D′，若AB=2 2，BC=4，∠C=45°，求EF的长．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵二次根式 b有意义，
∴b≥0，
故选：C．
根据被开方数大于等于0即可得解．
本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
2.【答案】A
【解析】解：A、不是轴对称图形，本选项正确；
B、是轴对称图形，本选项错误；
C、是轴对称图形，本选项错误；
D、是轴对称图形，本选项错误．
故选A．
结合选项根据轴对称图形的概念求解即可．
本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3.【答案】A
【解析】解：A． 12+ 12= 22+ 22= 2，所以A选项符合题意；
B. 4− 2=2− 2，所以B选项不符合题；
C. 12× (−2)2= 12×4= 2，所以C选项不符合题意；
D. 12÷ 2= 12×12=12，所以D选项不符合题．
故选：A．
根据二次根式的加法运算对A选项进行判断；根据二次根式的减法运算对B选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对C选项进行判断；根据二次根式的除法法则对D选项进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：由数轴可知，0则|a−1|+ a2=1−a+a=1，
故选：B．
本题主要考查利用实数与数轴上点的关系进行化简，根据数轴确定a的范围，再根据 a2=a、绝对值的性质，化简可得．
5.【答案】D
【解析】解：A． x33=x x3，故选项A不是最简二次根式；
B. x3= 3x3，故选项B不是最简二次根式；
C. 24=2 6，故选项C不是最简二次根式；
D. 6x是最简二次根式．
故选：D．
化简每个选项，根据化简结果得结论．
本题考查了二次根式，掌握最简二次根式的定义是解决本题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC=a，
AC= BA2+BC2= a2+a2= 2a，
∵BD是斜边AC上的高，
∴S△ABC=12BA⋅BC=12AC⋅BD，
∴BD=BA⋅BCAC=a⋅a 2a= 22a.
故选：B．
由勾股定理求出AC，根据三角形的面积公式即可求出BD．
本题主要考查了勾股定理和三角形的面积公式，熟记勾股定理是解决问题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：如图，连接AC，BD，
∵点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，
∴EF=12AC，GH=12AC，
∴EF=GH，同理EH=FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴对角线AC、BD互相垂直，
∴EF与FG垂直．
∴四边形EFGH是矩形．
故选：C．
首先利用三角形的中位线定理证得四边形EFGH为平行四边形，然后利用有一个角是直角的平行四边形是矩形判定即可．
本题考查了中点四边形的知识，解题的关键是灵活运用三角形的中位线定理，菱形的判定及矩形的判定与性质进行证明，是一道综合题．
8.【答案】C
【解析】解：A、12+12≠22，不可以组成直角三角形，
故本选项不符合题意；
B、22+42≠(5 2)2，不可以组成直角三角形，
故本选项不符合题意；
C、( 7)2+32=42，可以组成直角三角形，
故本选项符合题意；
D、82+( 35)2≠102，不可以组成直角三角形，
故本选项不符合题意．
故选：C．
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，所以①错误；
对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以②正确；
在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，那么这个四边形不一定为平行四边形，所以③错误；
一组对边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形，所以④错误．
故选B．
根据平行四边形的判定方法分别进行判断．
本题考查了命题：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题．
10.【答案】B
【解析】解：A、由a2=(b+c)(b−c)，可得a2+c2=b2，所以△ABC是直角三角形，本选项正确，不符合题意；
B、若△ABC中，c为最长边，且a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形，本选项错误，符合题意；
C、a：b：c=13：5：12，可得b2+c2=a2，所以∠A=90°，本选项正确，不符合题意；
D、由a、b、c三边的长分别为n2−1、2n、n2+1(n>1)，可得a2+b2=c2，所以△ABC是直角三角形，本选项正确，不符合题意．
故选：B．
根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形判定即可．
本题主要考查了勾股定理的逆定理，已知三条线段的长，判断是否能构成直角三角形的三边，判断的方法是：判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断．
11.【答案】D
【解析】解：由题意得，1−x≥0，x−1≥0，
解得x=1．
故选：D．
根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
12.【答案】C
【解析】解：在△BFA和△BFG中，
∠ABF=∠GBFBF=BF∠BFA=∠BFG，
∴△BFA≌△BFG(ASA)
∴BG=AB=12，AF=FG，
∴GC=BC−BG=8，
∵AF=FG，AE=EC，
∴EF=12GC=4，
故选：C．
证明∴△BFA≌△BFG，根据全等三角形的性质得到BG=AB=12，AF=FG，根据三角形中位线定理计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
13.【答案】6 6
【解析】解：原式=2×3× 3× 2=6 6，
故答案为：6 6．
根据二次根式的乘除法的计算法则进行计算即可．
本题考查二次根式的乘除法，掌握二次根式乘除法的计算法则是正确解答的关键．
14.【答案】2 2cm
【解析】解：设AC，BD交于点O，

∵四边形ABCD为正方形，且边长为4cm，
∴AC⊥BD，OA=12AC，∠OAB=45°，AB=BC=4cm，
在Rt△ABC中，AB=BC=4cm，
由勾股定理得：AC= AB2+BC2=4 2(cm)，
∴OA=12AC=2 2(cm)，
∵PE⊥AC，PF⊥BD，AC⊥BD，
∴四边形PEOF为矩形，
∴PF=OE，
∵PE⊥AC，∠OAB=45°，
∴△PAE为等腰直角三角形，
∴PE=AE，
∴PE+PF=AE+OE=OA=2 2(cm)．
故答案为：2 2cm．
先求出OA=12AC=2 2cm，再证四边形PEOF为矩形得：PF=OE，然后证△PAE为等腰直角三角形得PE=AE，据此得PE+PF=OA，进而可得出答案．
此题主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等，解答此题的关键是证明四边形PEOF为矩形，从而把求PE+PF的长转化为求OA的长．
15.【答案】13
【解析】解：因为直角三角形的两直角边长分别为12cm和5cm．
由勾股定理得：第三边= 52+122=13(cm)．
故答案为：13．
根据勾股定理求出即可．
本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
16.【答案】2018
【解析】解：原式=( 3− 2+ 4− 3+⋅⋅⋅+ 2020− 2019)( 2020+ 2)
=( 2020− 2)( 2020+ 2)
=( 2020)2−( 2)2
=2020−2
=2018，
故答案为：2018．
先根据已知算式得出规律，根据所得出的规律求出原式=( 3− 2+ 4− 3+⋅⋅⋅+ 2020− 2019)( 2020+ 2)=( 2020− 2)( 2020+ 2)，再根据平方差公式求出答案即可．
本题考查了二次根式的混合运算，数字的变化类，分母有理化等知识点，能根据已知算式得出规律是解此题的关键．
17.【答案】解：(1)3 5+ 2−2 2−2 5
=(3 5−2 5)+( 2−2 2)
= 5− 2；
(2) 36÷ 3+ 12× 18−3 43
= 12+ 9−2 3
=2 3+3−2 3
=3．
【解析】(1)先把同类二次根式放在一起，再合并即可；
(2)先化简，再合并同类二次根式即可．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18.【答案】解：(1)∵CD是边AB上的高，
∴∠CDB=∠CDA=90°，
∵BC=3，DB=95，
∴CD= CB2−DB2
= 32−(95)2
=125，
∴AD= AC2−CD2= 42−(125)2=165；
(2)△ABC是直角三角形，
理由：∵AC=4，
∴AD= AC2−CD2
=165；
∵BD=95，
∴AB=5，
∵AC2+BC2=42+32=25=52=AB2，
∴△ABC是直角三角形．
【解析】(1)利用勾股定理计算出CD长，再利用勾股定理计算出AD长即可；
(2)首先计算出AB长，然后再利用勾股定理逆定理判定△ABC是直角三角形．
此题主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理，关键是掌握运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．
19.【答案】证明：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠ADB=∠DBC，DA=CB，
∵E、F为BD的三等分点，
∴DE=FB．
在△ADE和△CBF中
DA=CB∠ADB=∠DBCDE=BF
∴△ADE≌△CBF(SAS)，
∴AE=CF，
同理△CDE≌△ABF，
∴AF=CE，
∴四边形AFCE是平行四边形．
【解析】利用平行四边形的性质，结合条件可证得△ADE≌△CBF，则可求得AE=CF，同理可证得△CDE≌△ABF，可求得AF=CE，则可证得结论．
本题主要考查平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
20.【答案】解：如图所示，
∵圆柱的底面周长为12cm，高为6 2cm，
∴AD=6cm，BD=6 2cm，
∴从点A爬到点B的最短路程为：AB= 62+(6 2)2=6 3≈6×1.73=10.38≈10.4(cm)，
答：蚂蚁在圆柱表面从点A爬到点B的最短路程约10.4cm．
【解析】根据题意画出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求解即可．
本题考查的是平面展开−最短路径问题，能根据两点之间，线段最短，在平面图形上构造出直角三角形是解决问题的关键．
21.【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，∠A=∠C，
∵在△ABF和△CBE中，
AF=CE∠A=∠CAB=CB，
∴△ABF≌△CBE(SAS)，
∴BF=BE．
【解析】根据菱形的性质可得AB=BC和∠A=∠C，再证明△ABF≌△CBE，根据全等三角形的性质可得BF=BE．
本题主要考查了菱形的性质和全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握菱形的四条边都相等．
22.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD，
∴∠ABO=∠FCO，∠BAO=∠CFO，
∵点O是BC边的中点，
∴BO=CO，
在△ABO和△FCO中，
∠ABO=∠FCO∠BAO=∠CFOBO=CO，
∴△ABO≌△FCO(AAS)，
∴AO=FO，
∴四边形ABFC为平行四边形；
(2)∵∠AOC=2∠ABC，∠AOC=∠ABC+∠BAO，
∴∠ABC=∠BAO，
∴OB=OA，
∴AF=BC，
∴平行四边形ABFC是矩形．
【解析】(1)由平行四边形的性质得AB//CD，AB=CD，则∠ABO=∠FCO，∠BAO=∠CFO，而BO=CO即可证明△ABO≌△FCO，得AO=FO，则四边形ABFC为平行四边形；
(2)根据对角线相等的平行四边形是矩形解答即可．
此题重点考查平行四边形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定等知识，证明△ABO≌△FCO是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：如图所示：
∵△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，
∴∠ECD=∠ACB=90°，∠E=∠ADC=∠CAB=45°，AC=BC，AC2+BC2=AB2，
∴2AC2=AB2，∠ECD−∠ACD=∠ACB−∠ACD，
∴∠ACE=∠BCD，
在△AEC和△BDC中，
AC=BC∠ACE=∠BCDEC=DC，
∴△AEC≌△BDC(SAS)．
∴AE=BD，
(2)∵△AEC≌△BDC(SAS)．
∴∠E=∠BDC．
∴∠BDC=45°，
∴∠BDC+∠ADC=90°，
即∠ADB=90°．
∴AD2+BD2=AB2，
∴AD2+AE2=2AC2．
【解析】(1)连接BD，由等腰直角三角形的性质得出∠ECD=∠ACB=90°，∠E=∠ADC=∠CAB=45°，EC=DC，AC=BC，AC2+BC2=AB2，得出2AC2=AB2.由SAS证明△AEC≌△BDC，得出AE=BD，
(2)由(1)得∠E=∠BDC=45°，证出∠BDA=∠BDC+∠ADC=90°，在Rt△ADB中．由勾股定理即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键．
24.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AE//CF，
∴∠EAO=∠FCO，
∵EF垂直平分AC，
∴∠AOE=∠COF=90°，AO=OC，
∴△EAO≌△FCO(ASA)，
∴OE=OF，
∴四边形AFCE为平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴平行四边形AFCE为菱形；
(2)解：过点F作FH⊥AD于H，
由折叠可知：AF=CF，∠AFE=∠EFC，
在Rt△ABF中，AF2=BF2+AB2，即(4−BF)2=BF2+9，
∴BF=78，
∴AF=CF=258，
∵AD//BC，
∴∠AEF=∠EFC=∠AFE，
∴AE=AF=258，
∵∠B=∠BAD=∠AHF=90°，
∴四边形ABFH是矩形，
∴AB=FH=3，AH=BF=78，
∴EH=94，
∴EF= EH2+FH2= 9+8116=154，
∴四边形ABFE的周长=AB+BF+AE+EF=3+78+258+154=434；
(3)解：过点A作AN⊥BC，交CB的延长线于N，过点F作FM⊥AD于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠C=45°，
∴∠ABC=135°，
∴∠ABN=45°，
∵AN⊥BC，
∴∠ABN=∠BAN=45°，
∴AN=BN= 22AB=2，
由折叠的性质可知：AF=CF，∠AFE=∠EFC，
∵AD//BC，
∴∠AEF=∠EFC=∠AFE，
∴AE=AF，
∵AF2=AN2+NF2，
∴AF2=4+(6−AF)2，
∴AF=103，
∴AE=AF=103，
∵AN//MF，AD//BC，
∴四边形ANFM是平行四边形，
∵AN⊥BC，
∴四边形ANFM是矩形，
∴AN=MF=2，
在Rt△AMF中，AM= AF2−MF2= 1009−4=83，
∴ME=AE−AM=23，
在Rt△MFE中，EF= MF2+ME2= 49+4=2 103．
【解析】(1)通过证明△EAO≌△FCO(ASA)，得到OE=OF，可证四边形AFCE为平行四边形，再由EF⊥AC，可证平行四边形AFCE为菱形；
(2)过点F作FH⊥AD于H，先判断四边形ABFH是矩形，再求矩形的边长，进而求出周长；
(3)过点A作AN⊥BC，交CB的延长线于N，过点F作FM⊥AD于M，先证明四边形ANFM是平行四边形，再证明四边形ANFM是矩形，在Rt△AMF中，求出ME=AE−AM=23，Rt△MFE中，求出EF即可．
本题是四边形的综合题，熟练掌握菱形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，图形折叠的性质是解题的关键．