高考数学一轮复习第9章第1节随机抽样学案

第一节　随机抽样

考试要求：了解简单随机抽样和分层随机抽样的必要性，掌握分层随机抽样的样本平均数，知道获取数据的基本途径．

一、教材概念·结论·性质重现

1．简单随机抽样

(1)定义：一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中逐个抽取n(1≤n＜N)个个体作为样本，如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样；如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样．放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样．

(2)最常用的简单随机抽样方法有两种——抽签法和随机数法．

(3)应用范围：总体个体数较少．

2．分层随机抽样

一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样．

(1)每一个子总体称为层．在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配．

(2)如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n，则2层的样本平均数分别为，，2层的总体平均数分别为，，总体平均数为，样本平均数为两种抽样方法的特点、联系及适用范围

二、基本技能·思想·活动经验

1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．

(1)简单随机抽样的每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关．                             (　×　)

(2)在抽签法中，先抽的人抽中的可能性大． (　×　)

(3)在分层随机抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关．                             (　×　)

2．现有以下两项调查：

①从10台冰箱中抽取3台进行质量检查；②某社区有600户家庭，其中高收入家庭180户，中等收入家庭360户，低收入家庭60户，为了调查家庭购买力的某项指标，拟抽取一个容量为30的样本．

则完成这两项调查最适宜采用的抽样方法分别是(　　)

A．①②都采用简单随机抽样

B．①②都采用分层随机抽样

C．①采用简单随机抽样，②采用分层随机抽样

D．①采用分层随机抽样，②采用简单随机抽样

C　解析：对于①，“从10台冰箱中抽取3台进行质量检查”，总体容量比较少，应采用简单随机抽样法；对于②，总体容量较多，且样本差异比较明显，应采用分层随机抽样法．

3．在“世界读书日”前夕，为了了解某地5 000名居民的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5 000名居民的阅读时间的全体是(　　)

A．总体 

B．个体

C．样本量 

D．从总体中抽取的一个样本

A　解析：由题目条件知，5 000名居民的阅读时间的全体是总体；其中每1名居民的阅读时间是个体；从5 000名居民某天的阅读时间中抽取的200名居民的阅读时间是从总体中抽取的一个样本，样本量是200．

4．某学校高二年级选择“史政地”“史政生”和“史地生”这三种组合的学生人数分别为210,90和60．若采用分层随机抽样的方法从中随机抽取12名学生，则从“史政生”组合中抽取的学生人数为(　　)

A．7   B．6 

C．3   D．2

C　解析：由题意可知，“史政地”“史政生”和“史地生”这三种组合的学生人数分别为210,90和60，故“史政生”所占的比例为＝．由于分层随机抽样是按比例抽取，可得“史政生”组合中抽取的学生人数为12×＝3．

5．下列情况适合用全面调查的是(　　)

A．了解一批玉米种子的发芽率

B．了解某城市居民的食品消费结构

C．调查一个县各村的粮食播种面积

D．调查一条河的水质

C　解析：A．了解一批玉米种子的发芽率适合抽样调查，故不符合题意；B．了解某城市居民的食品消费结构适合抽样调查，故不符合题意；C．调查一个县各村的粮食播种面积适合全面调查，故符合题意；D．调查一条河的水质适合抽样调查，故不符合题意．故选C．

6．某班60名同学中选出4人参加户外活动，利用随机数法抽取样本时，先将60名同学按01,02，…，60进行编号，然后从随机数表第1行的第5列数字开始从左往右依次选取两个数字，则选出的第4个同学的编号为(　　)

(注：表中的数据为随机数表的第1行和第2行)

A．24   B．36 

C．46   D．47

C　解析：由题知从随机数表的第1行的第5列和第6列数字开始，由表可知依次选取43,36,47,46．故选出的第4个同学的编号为46．

7．要完成下列三项调查：①某商城从10台同款平板电脑中抽取4台作为商城促销的奖品；②某市从老、中、青三代市民中抽取100人调查他们网络购物的情况．适合采用的抽样方法依次为_______．

①抽签法；②分层随机抽样　解析：对于①，所收集的数据没有明显差异，且数量较少，应用抽签法；

对于②，所收集的数据差异明显，应用分层随机抽样．

考点1　统计中的基本概念、数据获取——基础性

1．为了了解某省高考数学考试的情况，抽取2 000名考生的数学试卷进行分析，2 000叫作(　　)

A．个体   B．样本  

C．样本量   D．总体

C　解析：2 000是个数字，没有单位，由样本量的定义可知2 000是样本量．故选C．

2．某中学进行了该学年度期末统一考试，该校为了了解高一年级1 000名学生的考试成绩，从中随机抽取了100名学生的考试成绩，就这个问题来说，下面说法正确的是(　　)

A．1 000名学生是总体

B．每个学生是个体

C．1 000名学生的考试成绩是一个个体

D．样本量是100

D　解析：根据题意得，本题的总体、个体与样本考查的对象都是学生成绩，而不是学生，选项A，B表达的对象都是学生，不是成绩，A，B都错误；C中1 000名学生的成绩是总体，不是个体，所以C错误；D中样本量是100，所以D正确．

考点2　简单随机抽样及其应用——综合性

(1)下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数为(　　)

①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本；

②从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验；

③某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛．

A．0   B．1 

C．2   D．3

A　解析：①不是简单随机抽样，因为被抽取样本的总体的个数是无限的，而不是有限的；②不是简单随机抽样，因为这是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取；③不是简单随机抽样，因为不是等可能抽样．故选A．

(2)总体由编号为01,02,03，…，50的50个个体组成，利用随机数表从中抽取5个个体，下面提供随机数表的第5行到第7行：

9312　4779　5737　8918　4550　3994

6111　6098　4965　7350　9847　3030

9837　2310　4476　9146　0679　2662

若从表中第6行的第6列数字开始向右依次读取，则抽取的第3个个体的编号是(　　)

A．09   B．03 

C．35   D．37

B　解析：利用随机数表从第6行第6列开始向右读取，依次为09,84(舍弃)，96(舍弃)，57(舍弃)，35,09(重复，舍弃)，84(舍弃)，73(舍弃)，03，所以抽取的第3个个体的编号是03．

(2021·郑州期末)某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001,002，…，599,600，从中抽取60个样本，现提供随机数表的第4行到第6行：

第4行：

32　21　18　34　29　78　64　54　07　32　52　42　06

44　38　12　23　43　56　77　35　78　90　56　42

第5行：

84　42　12　53　31　34　57　86　07　36　25　30　07

32　86　23　45　78　89　07　23　68　96　08　04

第6行：

32　56　78　08　43　67　89　53　55　77　34　89　94

83　75　22　53　55　78　32　45　77　89　23　45

若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第7个样本编号为(　　)

A．522   B．324 

C．535   D．578

B　解析：第6行第6列的数开始的数为808(舍弃)，436,789(舍弃)，535,577,348,994(舍弃)，837(舍弃)，522,535(重复舍弃)，578,324．

所以抽取的7个编号为436,535,577,348,522,578,324．即第7个样本编号为324．

考点3　分层随机抽样——综合性

考向1　求总体或样本量

(1)近年来，很多学生因为手机的缘故其视力受到了很大的伤害，中小学生的近视率也呈明显的上升趋势．某区为了了解中小学生的视力健康状况，决定从城区的几所学校随机抽取一个样本进行调查．已知这几所学校的小学生、初中生、高中生的人数比为5∶6∶7，现用分层随机抽样的方法抽取一个样本量为n的样本，样本中初中生的人数比小学生人数多50，则n＝(　　)

A．250   B．300 

C．800   D．900

D　解析：这几所学校的小学生、初中生、高中生的人数比为5∶6∶7，

现用分层随机抽样的方法抽取一个样本量为n的样本，样本中初中生的人数比小学生人数多50，

则n＝50，解得n＝900．故选D．

(2)(2022·宝鸡模拟)我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百零八人，问北乡人数几何？”其意思为：今有某地北面若干人，西面有7 488人，南面有6 912人，这三面要征调300人，而北面共征调108人(用分层随机抽样的方法)，则北面共有(　　)

A．8 000人   B．8 100人 

C．8 200人   D．8 300人

B　解析：设北面人数为x，根据题意知，＝，解得x＝8 100，所以北面共有8 100人．故选B．

考向2　分层随机抽样的均值

某市的3个区共有高中学生20 000人，且3个区的高中学生人数之比为2∶3∶5．现要从所有学生中抽取一个容量为200的样本，调查该市高中学生的视力情况．

(1)试写出抽样过程；

(2)若样本中3个区的高中学生的平均视力分别为4.8,4.8,4.6，试估计该市高中学生的平均视力．

解：(1)①由于该市高中学生的视力有差异，按3个区分成三层，用分层随机抽样法抽取样本．②确定每层抽取的个体数，在3个区分别抽取的学生人数之比也是2∶3∶5，所以抽取的学生人数分别是200×＝40,200×＝60,200×＝100．③在各层分别按简单随机抽样法抽取样本．④综合每层抽样，组成容量为200的样本．

(2)样本中高中学生的平均视力为×4.8＋×4.8＋×4.6＝4.7．

所以估计该市高中学生的平均视力约为4.7．

某校高二年级“化生史”组合只有2个班，且每班50人．在一次数学测试中，从两个班抽取了20名学生的数学成绩进行分析，统计得在该次测试中，两班中各抽取的20名学生的平均成绩分别为110分和106分，则该组合学生的平均成绩约为________分．

108　解析：样本中40名学生的平均分为×110＋×106＝108(分)，所以估计该组合学生的平均分为108分．