高考数学一轮复习课时质量评价29正弦定理、余弦定理及应用含答案

这是一份高考数学一轮复习课时质量评价29正弦定理、余弦定理及应用含答案，共8页。
课时质量评价(二十九)A组　全考点巩固练1．(2021·哈尔滨模拟)边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角之和为　　(　　)A．90°   B．120°  C．135°   D．150°B　解析：根据三角形角边关系可得，最大角与最小角所对的边的长分别为8与5．设长为7的边所对的角为θ，则最大角与最小角的和是180°－θ，由余弦定理可得，cos θ＝＝，易得θ＝60°，则最大角与最小角的和是180°－θ＝120°，故选B．2．(2021·北京东城区二模)在△ABC中，已知A＝，2a－2c＝b，那么＝(　　)A．   B．  C．   D．B　解析：根据余弦定理得cos 60°＝＝，化简得3a2－10ac＋7c2＝0，则(3a－7c)(a－c)＝0．又因为2a－2c＝b>0，有a>c，所以＝，故选B．3．△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2(1－sin A)，则A＝(　　)A．   B．  C．   D．C　解析：由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝2b2－2b2cos A＝2b2(1－cos A)．因为a2＝2b2(1－sin A)，所以cos A＝sin A．因为cos A≠0，所以tan A＝1．因为A∈(0，π)，所以A＝．故选C．4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2acos C－3bcos C＝3ccos B，则角C的大小为(　　)A．   B．  C．   D．A　解析：因为2acos C－3bcos C＝3ccos B，所以2sin Acos C－3sin B cos C＝3sin Ccos B，所以2sin A·cos C＝3sin(C＋B)＝3sin A．因为A，C∈(0，π)，所以sin A≠0，cos C＝．又C∈(0，π)，所以C＝．故选A．5．在△ABC中，D是BC的中点，已知AD＝，AC＝2，cos B＝，则△ABC的面积为(　　)A．   B．  C．   D．D　解析：设AB＝c，BC＝a，在△ABC中，a2＋c2－2accos B＝8，在△ABD中，＋c2－2··ccos B＝2，解得a＝4，c＝2，所以S△ABC＝acsin B＝．故选D．6．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足＋＝，则角B＝________．　解析：因为 ＋＝，所以 b2＝a2＋c2－ac．又由余弦定理得 cos B＝＝，且B∈(0，π)，解得 B＝．7．在△ABC中，设BC＝a，AB＝c，∠ABC为锐角且满足lg a－lg c＝lg sin B＝－lg ，则△ABC的形状是____________．等腰直角三角形　解析：由题可知lg a－lg c＝lgsin B＝－lg．因为lg a－lg c＝lg，－lg＝lg()－1＝lg，所以lg＝lg sin B＝lg， 得到 ＝sin B＝．因为∠B是锐角，所以∠B＝45°，cos B＝．因为＝，所以a2＝c2，b2＝a2＋c2－2ac·cos B＝c2＋c2－2·c2·＝c2＋c2－c2＝c2，所以a2＝b2＝c2，所以a2＋b2＝c2．因此三角形ABC的形状是等腰直角三角形．8．(2021·辽宁丹东二模)已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，那么当a＝__________时，满足条件“b＝2，A＝30°”的△ABC有两个．(写出一个a的具体数值即可)(1,2)内任一数　解析：由正弦定理得＝，所以sin B＝＝．若满足条件的△ABC有两个，则<1且a<b＝2，所以1<a<2．故答案为(1,2)内任一数．9．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2＋cos A＝．(1)求A；(2)若b－c＝a，证明：△ABC是直角三角形．(1)解：由已知得sin2A＋cos A＝，即cos2A－cos A＋＝0．所以＝0，cos A＝．由于0＜A＜π，故A＝．(2)证明：由正弦定理及已知条件可得sin B－sin C＝sin A．由(1)知B＋C＝，所以sin B－sin＝sin，即sin B－cos B＝，所以sin＝．由于0＜B＜，B－＝，故B＝．从而△ABC是直角三角形．10．(2021·新高考全国Ⅱ卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，b＝a＋1，c＝a＋2．(1)若2sin C＝3sin A，求△ABC的面积．(2)是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．解：(1)由2sin C＝3sin A及正弦定理可得2c＝3a，结合b＝a＋1，c＝a＋2，解得a＝4，b＝5，c＝6．在△ABC中，由余弦定理得cos C＝＝＝，所以sin C＝＝，S△ABC＝absin C＝×4×5×＝．(2)设存在正整数a满足条件，由已知c>b>a，所以C为钝角，所以cos C＝<0⇒a2＋b2<c2⇒a2＋(a＋1)2<(a＋2)2⇒(a＋1)(a－3)<0．因为a为正整数，所以a＝1,2．当a＝1时，b＝2，c＝3，不能构成三角形，舍去．当a＝2时，b＝3，c＝4，满足条件．综上，当a＝2时，△ABC为钝角三角形．B组　新高考培优练11．(多选题)在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是(　　)A．b＝7，c＝3，C＝30°   B．b＝5，c＝4，B＝45°C．a＝6，b＝3，B＝60°   D．a＝20，b＝30，A＝30°BC　解析：对于A，因为b＝7，c＝3，C＝30°，所以由正弦定理可得sin B＝＝＝＞1，无解；对于B，因为b＝5，c＝4，B＝45°，所以由正弦定理可得sin C＝＝＝＜1，且c＜b，有一解；对于C，因为a＝6，b＝3，B＝60°，所以由正弦定理可得sin A＝＝＝1，A＝90°，此时C＝30°，有一解；对于D，因为a＝20，b＝30，A＝30°，所以由正弦定理可得sin B＝＝＝＜1，且b＞a，所以B有两个值，有两解．12．(多选题)对于△ABC，有如下判断，其中正确的是(　　)A．若cos A＝cos B，则△ABC为等腰三角形B．若A＞B，则sin A＞sin BC．若a＝8，c＝10，B＝60°，则符合条件的△ABC有两个D．若sin2A＋sin2B＜sin2C，则△ABC是钝角三角形ABD　解析：对于A，若cos A＝cos B，则A＝B，所以△ABC为等腰三角形，故正确；对于B，若A＞B，则a＞b，由正弦定理＝＝2R，得2Rsin A＞2Rsin B，即sin A＞sin B成立，故正确；对于C，由余弦定理可得b＝＝，只有一解，故错误；对于D，若sin2A＋sin2B＜sin2C，则根据正弦定理得a2＋b2＜c2，cos C＝<0，所以C为钝角，所以△ABC是钝角三角形，故正确．13．(多选题)(2021·福建漳州二模)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2，b＝，则角B可以是(　　)A．15°   B．30°  C．45°   D．75°AB　解析：cos B＝＝＝＝＋≥2＝，当且仅当＝，c＝时等号成立，所以cos B∈，B∈(0°，30°]，所以AB选项正确，CD选项错误．故选AB．14．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acos B－c－＝0，a2＝bc，b＞c，则＝__________．2　解析：由acos B－c－＝0及正弦定理可得sin Acos B－sin C－＝0．因为sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，所以－－cos Asin B＝0．因为sin B≠0，所以cos A＝－，即A＝．由余弦定理得a2＝bc＝b2＋c2＋bc，即2b2－5bc＋2c2＝0，又b＞c，所以＝2．15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin A＋sin B＝sin C，且△ABC的周长为9，△ABC的面积为3sin C，则c＝________，cos C＝________．4　－　解析：因为sin A＋sin B＝sin C，所以由正弦定理得a＋b＝．因为△ABC的周长为9，所以a＋b＋c＝c＋＝9，解得c＝4．因为△ABC的面积等于3sin C，所以absin C＝3sin C，整理得ab＝6．由于a＋b＝＝5，故　解得或所以cos C＝＝－．16．(2021·北京卷)已知在△ABC中，c＝2bcos B，C＝．(1)求B的大小；(2)在三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，并求BC边上的中线的长度．①c＝b；②周长为4＋2；③面积S△ABC＝．解：(1)由正弦定理＝，c＝2bcos B，得sin C＝2sin Bcos B＝sin 2B，故C＝2B(舍去)或C＋2B＝π．故B＝A＝．(2)由(1)知，c＝2bcos B＝b，故不能选①．若选②，设BC＝AC＝2x，则AB＝2x，故周长为(4＋2)x＝4＋2，解得x＝1，从而BC＝AC＝2，AB＝2．设BC中点为D，则在△ABD中，由余弦定理可得，cos B＝＝＝，解得AD＝．若选③，设BC＝AC＝2x，则AB＝2x，故S△ABC＝·(2x)2·sin＝x2＝，解得x＝，即BC＝AC＝，AB＝3．设BC中点为D，则在△ABD中，由余弦定理可得，cos B＝＝＝，解得AD＝．17．(2022·邯郸摸底考试)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知asin 2B＝bsin A．(1)求角B的大小；(2)给出三个条件①b＝2，②△ABC外接圆半径r＝，③a＋c＝2，试从中选择两个可以确定△ABC的条件，并求△ABC的面积．解：(1)因为asin 2B＝bsin A，所以2asin Bcos B＝bsin A．由正弦定理得2abcos B＝ba，所以cos B＝．因为0<B<π，所以B＝．(2)显然可知当选择条件①②时，△ABC不唯一．当选择条件①③时，△ABC唯一，此时，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，即4＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac＝12－3ac，解得ac＝．所以△ABC的面积S＝acsin B＝××＝．当选择条件②③时，△ABC唯一，此时，由正弦定理可知b＝2r·sin B＝2．由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，即4＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac＝12－3ac．解得ac＝．所以△ABC的面积S＝acsin B＝××＝．