新教材高一数学第二学期期末试卷九（原卷版+教师版）

这是一份新教材高一数学第二学期期末试卷九（原卷版+教师版），共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
新教材高一数学第二学期期末试卷
试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，时量120分钟．
第I卷（选择题，共60分）
一、单选题（本大题共计8个小题，每小题5分，共计40分）
1. 已知集合，则（ ）
A. {－1，0，1} B. {0，1} C. D.
2. 已知且，则的最大值等于
A. B. C. D.
3. 已知复数，其中是虚数单位，则复数|z|等于（ ）
A. 3 B. 2 C. 10 D.
4. 如图所示，在长方形ABCD中，设又，则（ ）

A. B. － C. 1 D.
5. 《易经》是中国文化中的精髓，如图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线， 表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦中阳线之和为的概率（ ）

A. B. C. D.


6. 轴截面为正三角形的圆锥称为等边圆锥，已知一等边圆锥的母线长为，则该圆锥的内切球体积为（ ）
A. B. C. D.
7. 某校为更好地支持学生个性发展，开设了学科拓展类、创新素质类、兴趣爱好类三种类型的校本课程，每位同学从中选择一门课程学习.现对该校6000名学生的选课情况进行了统计，如图①，并用分层抽样的方法从中抽取的学生对所选课程进行了满意率调查，如图②.

则下列说法错误的是（ ）
A. 抽取的样本容量为120
B. 该校学生中对兴趣爱好类课程满意的人数约为1050
C. 若抽取的学生中对创新素质类课程满意的人数为36，则
D. 该校学生中选择学科拓展类课程的人数为1500
8. 已知，分别是方程，的根，则（ ）
A. 1 B. 2 C. D.
二、多选题（本大题共4个小题，每小题5分，共计20分，每小题有2个或2个以上正确答案，所选正确答案不完整的得2分，选错得0分）
9. 下列说法正确的是（ ）
A.
B. 是充分不必要条件
C. 已知函数的零点为1
D. 若的定义域为[0，2]，则的定义域为[－1，1]
10. 下列四个命题中错误的是（ ）
A. 若事件A，B相互独立，则满足
B. 若事件A，B，C两两独立，则
C. 若事件A，B，C彼此互斥，则
D. 若事件A，B满足，则A，B是对立事件
11. 已知函数（其中，，）部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A. 函数f(x)的图象的周期为
B. 函数f(x)的图象关于点（，0）对称
C. 函数f(x)在区间[－，]上的最大值为2
D. 直线与）图像所有交点的横坐标之和为
12. 如图，在直三棱柱中，，P为线段上的动点，则下列结论中正确的是（ ）

A. 点A到平面的距离为
B. 平面与底面ABC的交线平行于
C. 三棱柱的外接球的表面积为
D. 二面角的大小为


三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分，要求答案写成最简形式）
13. 已知函数f(x)为奇函数，当时，，则___．
14. 设，，，若A，B，C三点构成以角B为90°直角三角形，则实数m的值为___．
15. 在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，且，则△ABC的面积为___．
16. 定义在R上的奇函数和偶函数满足，当时，恒成立，则实数k的取值范围______．
四、解答题（本大题共计6小题，记70分）
17. （1）计算的值．
（2）已知，求tan的值．

18. 常德市汉寿县新建的野生动物园，声名远播，“五一”假期入园游客近16万人次，目前已建成的一期项目分为猛兽区、食草区、灵长类、大象馆、鳄鱼馆、鸟语林等52个馆舍，入园物种有150多种约3500头（羽）．现在汉寿县的野生动物园已成为省内外游客旅游的目的地．为了了解游客的参观体验的满意度，从游客中随机抽取若干游客进行评分（满分为100分），并统计他们参观馆舍个数情况，根据调查数据制成如下频率分布直方图和频数表．已知评分在[70，90]的游客有11人．
参观馆舍数
频数
10
1
30
3
35
4
40
6
45
2
50
t
52
1
（1）求频率分布直方图和频数分布表中未知量a，t的值；
（2）从频率分布直方图中求评分的下四分位数，从频数分布表中求参观馆舍数的80%分位数；
（3）规定评分不低于90分为“非常满意”，评分低于60分为“不满意”．现从评分为“非常满意”和“不满意”的游客中任意选取2人评为幸运游客，求评分为“非常满意”和“不满意”的游客恰各一人的概率．

19. 已知在直三棱柱的底面ABC中．，E、F分别为AC和的中点．，D为棱上的动点．

（1）请作出过、、E三点截直三棱柱的截面（只要求画出图形，不要求写出做法）
（2）证明：
（3）当D为的中点时，求直线DE与平面所成的线面角的正切值．



20. 四边形中，，，，设．

（1）当时，求线段的长度；
（2）求面积的最大值．






21. 已知二次函数（为实数）
（1）若的解集为（1，2），求不等式的解集；
（2）若对任意，时，恒成立，求最小值；
（3）若对任意，恒成立，求ab的最大值．










22. 已知．
（1）若时，，求实数k的取值范围；
（2）设若方程有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．















新教材高一数学第二学期期末试卷
试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，时量120分钟．
第I卷（选择题，共60分）
一、单选题（本大题共计8个小题，每小题5分，共计40分）
1. 已知集合，则（ ）
A. {－1，0，1} B. {0，1} C. D.
【答案】B
【解析】【分析】由交集的定义即可判断答案.
【详解】因为，所以.
故选：B.
2. 已知且，则的最大值等于
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【详解】∵a，b∈R＋，∴1＝a＋b≥2，∴ab≤，当且仅当a＝b＝时等号成立．选B.
3. 已知复数，其中是虚数单位，则复数|z|等于（ ）
A. 3 B. 2 C. 10 D.
【答案】D
【解析】【分析】根据复数的乘法与模长公式求解即可
【详解】，故
故选：D
4. 如图所示，在长方形ABCD中，设又，则（ ）


A. B. － C. 1 D.
【答案】A
【解析】【分析】利用平面向量的三角形和平行四边形法则，把向量用表示，即可求的值，从而得的值.
【详解】解：

即，，.
故选：A.
5. 《易经》是中国文化中的精髓，如图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线， 表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦中阳线之和为的概率（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】首先得到根阳线的有一卦，根阳线的有三卦，根阳线的有三卦，根阳线的有一卦，再求出基本事件总数，与满足条件的事件数，再利用古典概型的概率公式计算可得.
【详解】解：由图可知有根阳线的有一卦，根阳线的有三卦，根阳线的有三卦，根阳线的有一卦，
记根阳线的分别为、、，根阳线的分别为、、，根阳线的为，
从八卦中任取两卦，一共有种，
其中满足阳线之和为的有，，，，，共种，
故两卦中阳线之和为的概率.
故选：B


6. 轴截面为正三角形的圆锥称为等边圆锥，已知一等边圆锥的母线长为，则该圆锥的内切球体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】【分析】画出轴截面，设内切球的半径为，则，，，从而可求出，进而可求出内切球体积
【详解】轴截面如图所示，设内切球的半径为，则，
由题意可得，，在中，，
所以，即，
所以内切球体积为，故选：D

7. 某校为更好地支持学生个性发展，开设了学科拓展类、创新素质类、兴趣爱好类三种类型的校本课程，每位同学从中选择一门课程学习.现对该校6000名学生的选课情况进行了统计，如图①，并用分层抽样的方法从中抽取的学生对所选课程进行了满意率调查，如图②.

则下列说法错误的是（ ）
A. 抽取的样本容量为120
B. 该校学生中对兴趣爱好类课程满意的人数约为1050
C. 若抽取的学生中对创新素质类课程满意的人数为36，则
D. 该校学生中选择学科拓展类课程的人数为1500
【答案】C
【解析】【分析】根据分层抽样的比例可确定样本容量，从而判断选项A；根据饼状图可知选择兴趣爱好类课程的学生人数占比为，又根据柱状图可得对兴趣爱好类课程满意率为，由总人数6000即可计算对兴趣爱好类课程满意的人数；根据饼状图可知创新素质类学生占比为，分层抽样比例为，即可计算抽取的创新素质类课程学生人数，接着计算学生对创新素质类课程的满意率；根据饼状图分析得到选择学科拓展类课程的人数占比为，根据总人数即可计算选择学科拓展类课程的人数.
【详解】抽取的样本容量为，故A正确；
该校学生中对兴趣爱好类课程满意的人数约为，故B正确；
根据题意，创新素质类课程的满意率为，，故C错误；
该校学生中选择学科拓展类课程的人数为，故D正确.
故选：C.
8. 已知，分别是方程，的根，则（ ）
A. 1 B. 2 C. D.
【答案】B
【解析】【分析】由题意可得，分别是函数，的图象与直线交点的横坐标，由于的图象与图象关于直线对称，而直线也关于直线对称，所以两交点的中点就是直线与的交点，求出交点坐标，再利用中点坐标公式可求出的值
【详解】由题意可得是函数的图象与直线交点的横坐标，是函数图象与直线交点的横坐标，
因为的图象与图象关于直线对称，而直线也关于直线对称，
所以线段的中点就是直线与的交点，
由，得，即线段的中点为，
所以，得，
故选：B


二、多选题（本大题共4个小题，每小题5分，共计20分，每小题有2个或2个以上正确答案，所选正确答案不完整的得2分，选错得0分）
9. 下列说法正确的是（ ）
A.
B. 是的充分不必要条件
C. 已知函数的零点为1
D. 若的定义域为[0，2]，则的定义域为[－1，1]
【答案】BC
【解析】【分析】由配方法判断的符号进而判断A，根据充分不必要条件的定义即可判断B，求出函数的零点即可判断C，根据题意求出中x+1的范围，进而得到的定义域，最后判断D.
【详解】对A，因为，所以A错误；
对B，由可以得到，但由得不到，所以B正确；
对C，令，所以C正确；
对D，因为的定义域为[0，2]，即，所以的定义域为[1,2]，所以D错误.
故选：BC.
10. 下列四个命题中错误的是（ ）
A. 若事件A，B相互独立，则满足
B. 若事件A，B，C两两独立，则
C. 若事件A，B，C彼此互斥，则
D. 若事件A，B满足，则A，B是对立事件
【答案】BCD
【解析】【分析】A选项，事件A，B相互独立，则满足；BCD可举出反例，说法错误.
【详解】若事件A，B相互独立，则满足，A说法正确；
举例说明：投掷两个骰子，记事件A：第一个骰子点数为奇数，
事件B：第二个骰子点数为奇数，
事件C：两个骰子的点数之和为奇数，
于是有，，
，可以看出事件A，B，C两两独立，但A，B，C不互相独立，所以，B说法错误；举例说明：投掷一个骰子三次，记事件A：第一次骰子的点数为1，
事件B：第二次骰子点数为2，事件C：第三次骰子点数为3，则
事件A，B，C被此互斥，则，C说法错误；
举例说明：记事件A：投掷一个骰子，骰子的点数为奇数，事件B：投掷一枚硬币，正面朝上，
则，满足，但A，B不是对立事件，D说法错误.
故选：BCD
11. 已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A. 函数f(x)的图象的周期为
B. 函数f(x)的图象关于点（，0）对称
C. 函数f(x)在区间[－，]上的最大值为2
D. 直线与）图像所有交点的横坐标之和为
【答案】AC
【解析】【分析】先利用函数图象 ，从而求得函数解析式，然后利用零点，对称性及正弦三角形最值求解得结果.
【详解】依题意，，得，故A正确；
，，则，当时，取最小值，
则，得，即，
当时，，故B错误；
当[－，]，则，则，故C正确；
，则，设直线与）图像所有交点的横坐标为，则，解得，故D错误；
故选：AC.
12. 如图，在直三棱柱中，，P为线段上的动点，则下列结论中正确的是（ ）

A. 点A到平面的距离为
B. 平面与底面ABC的交线平行于
C. 三棱柱的外接球的表面积为
D. 二面角的大小为
【答案】ABD
【解析】【分析】对A，根据线面垂直的性质与判定可得平面，进而求得点A到平面的距离；对B，根据线面平行的性质判定即可；对C，根据外接球的性质求得外接球的直径进而求得表面积即可；对D，根据线面垂直的判定可得二面角即，再求解即可；
【详解】对A，因为直三棱柱，故，又，故，又，平面，故平面，又平面，故，又，故正方形，故，又，平面，故平面.所以点A到平面的距离为，故A正确；
对B，易得平面，平面，根据线面平行的性质有，平面与底面ABC的交线平行于，故B正确；
对C，根据题意可得，因为，所以三棱柱的外接球的直径为，其表面积，故C错误；
对D，因为平面，故二面角的平面角即，因为，故，故D正确；
故选：ABD
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分，要求答案写成最简形式）
13. 已知函数f(x)为奇函数，当时，，则___．
【答案】
【解析】【分析】利用奇函数的性质，求对称区间上的函数值转化成已知区间函数值求解即可.
【详解】解：为奇函数，当时，，
.
故答案为：.
14. 设，，，若A，B，C三点构成以角B为90°的直角三角形，则实数m的值为___．
【答案】－3
【解析】【分析】先求出的坐标，进而根据平面向量垂直的坐标运算求得答案.
【详解】由题意，，，于是.
故答案为：-3.
15. 在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，且，则△ABC的面积为___．
【答案】
【解析】分析】由正弦定理化简可得，再根据面积公式求解即可
【详解】由正弦定理，，因为，故，故
故答案为：
16. 定义在R上的奇函数和偶函数满足，当时，恒成立，则实数k的取值范围______．
【答案】
【解析】【分析】先根据函数奇偶性的定义，求出的表达式，然后代入中，分离出参数，得，令，则，然后利用基本不等式可求出的最小值，从而可求得结果
【详解】因为为奇函数，为偶函数，所以，
由，得，所以，
所以，
所以不等式可化为，
因为，所以，所以，
令，则，
因为，当且仅当时取等号，所以的最小值为，
所以，即实数k的取值范围为，
故答案为：


四、解答题（本大题共计6小题，记70分）
17. （1）计算的值．
（2）已知，求tan的值．
【答案】（1）1 ；（2） ．
【解析】【分析】（1）根据指数幂运算性质以及对数的运算法则即可化简求值；（2）根据同角平方和为1的关系即可联立方程求解.
【详解】（1）原式
（2）法1：由题得，① 又②．
由①②解得，
∴
解得或．
又，故sin，且，所以，
因此．法2：由①
平方得．
又，所以
而，故有②．
由①②解得，即






18. 常德市汉寿县新建的野生动物园，声名远播，“五一”假期入园游客近16万人次，目前已建成的一期项目分为猛兽区、食草区、灵长类、大象馆、鳄鱼馆、鸟语林等52个馆舍，入园物种有150多种约3500头（羽）．现在汉寿县的野生动物园已成为省内外游客旅游的目的地．为了了解游客的参观体验的满意度，从游客中随机抽取若干游客进行评分（满分为100分），并统计他们参观馆舍个数情况，根据调查数据制成如下频率分布直方图和频数表．已知评分在[70，90]的游客有11人．
参观馆舍数
频数
10
1
30
3
35
4
40
6
45
2
50
t
52
1

（1）求频率分布直方图和频数分布表中未知量a，t的值；
（2）从频率分布直方图中求评分的下四分位数，从频数分布表中求参观馆舍数的80%分位数；
（3）规定评分不低于90分为“非常满意”，评分低于60分为“不满意”．现从评分为“非常满意”和“不满意”的游客中任意选取2人评为幸运游客，求评分为“非常满意”和“不满意”的游客恰各一人的概率．
【答案】（1） （2）下四分位数70；80%分位数是 （3）
【解析】【分析】（1）由频率分布直方图和频数分布表计算可得；
（2）利用下四分位数和80%分位数概念计算可得；
（3）列举基本事件所有样本点数及所求事件样本点数，利用古典概型求解即可.
【小问1详解】解：由题意，
抽取人数为所以；
【小问2详解】解:频率分布直方图得，前两组的频率和恰好为
所以评分的下四分位数为70；
，从小到大第16、17个数分别是45，50
则参观馆舍数的80%分位数是：．
【小问3详解】解:“不满意”的游客有人，设编号分别为A，B，“非常满意”的游客有20×0.2＝4人，设编号分别为a，b，c，d
则基本事件的总数有：AB、Aa，Ab，Ac、Ad，Ba，Bb，Bc、Bd，ab，ac，ad，bc、bd，cd共15种，
事件M“非常满意”和“不满意”的游客恰各一人有：Aa、Ab、Ac，Ad、Ba、Bb，Bc、Bd共8种.
故．
19. 已知在直三棱柱的底面ABC中．，E、F分别为AC和的中点．，D为棱上的动点．

（1）请作出过、、E三点截直三棱柱的截面（只要求画出图形，不要求写出做法）
（2）证明：
（3）当D为的中点时，求直线DE与平面所成的线面角的正切值．
【答案】（1）作图见解析；
（2）证明见解析； （3）.
【解析】【分析】（1）利用面面平行性质作出截面与平面的交线即可作答.
（2）利用线面垂直的判定证明平面，再利用线面垂直的性质即可推理作答.
（3）取AB的中点H，证明面，再在中计算作答.
【小问1详解】在直三棱柱中，过、、E的截面交平面于，又截面与平面有公共点E，
平面平面，因此，过、、E的截面与平面相交于过点E的一条直线，该直线平行于，
而，则有过、、E的截面与平面的交线平行于，过E作交于，
连接，所以四边形即为过、、E三点截直三棱柱的截面，如图，

【小问2详解】由（1）知，，而E为的中点，则为的中点，
在正方形中，F为中点，，则，
因此，有，而，
则有，又平面，平面，有，而，平面，
于是得平面，又平面，则有，
因，平面，从而得平面，又平面，
所以.
【小问3详解】因，，平面，则平面，
取的中点，连，如图，因E为的中点，即有，则平面，

于是得为直线DE与平面所成的角，在正方形中，D为的中点，
即有，
而，在中，
所以直线DE与平面所成的线面角的正切值为.

20. 在四边形中，，，，设．

（1）当时，求线段的长度；
（2）求面积的最大值．
【答案】（1） （2）
【解析】【分析】（1）在中，直接利用正弦定理可求得的长度；
（2）利用正弦定理可求得，进而求得、，利用三角形的面积公式、弦化切以及基本不等式可求得面积的最大值．
小问1详解】解：当时，在中，，，，
由正弦定理，得．
【小问2详解】
解：在中，，，
由正弦定理，
在中，，，
此时
，
当且仅当时等号成立，故面积的最大值为．

21. 已知二次函数（为实数）
（1）若的解集为（1，2），求不等式的解集；
（2）若对任意，时，恒成立，求的最小值；
（3）若对任意，恒成立，求ab的最大值．
【答案】（1） （2）1 （3）
【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式的解与一元二次方程的根之间的关系即可求解.
（2）根据二次函数的性质可得，进而根据基本不等式即可求解.
（3）取得，根据判别式小于0可得，进而可得的关系，根据基本不等式即可求解
【小问1详解】依题意知，，且方程的两根为1，2
由根与系数间关系得，则．
故不等式
解得：，即原不等式的解集为．
【小问2详解】因为时，恒成立，
故得，那，即，
所以（当且仅当时等号成立）
【小问3详解】令，则，所以．
对任意，恒成立，所以恒成立．
所以且
所以，此时，
因此，当且仅当时等号成立，此时，（或）
验证，成立
故a的最大值为．
22. 已知．
（1）若时，，求实数k的取值范围；
（2）设若方程有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．
【答案】（1）； （2）[，＋∞）
【解析】【分析】（1）将含参不等式，进行参变分离，转换为二次函数求最值即可求函数最值，得k的取值范围；
（2）将原方程转换为，利用整体换元，结合二次函数的实根分布即可求解.
【小问1详解】解： 即，
令，记．∴，∴
即k的取值范围是．
【小问2详解】解：由得，
即，且，
令，则方程化为．
又方程有三个不同的实数解，由的图象可知，

有两个根，且或．
记，
则 或，解得或
综上所述，k的取值范围是[，＋∞）.